Eksamensoppgaver – Potenser, logaritmer og eksponentiallikninger (S1)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 1 – Oppgave 3

Uten hjelpemidler – 4 poeng

a) Sorter uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge.

$\log_2 8 \quad e^{3\ln 1} \quad \lg 7 \quad \sqrt[4]{3^3}$

Husk å begrunne svaret.

b) Skriv så enkelt som mulig

$\lg(ab) - \lg\dfrac{a}{b} + \lg(100b^3)$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi regne ut (eller anslå) den numeriske verdien av hvert av de fire uttrykkene, og sortere dem. I b) skal vi bruke logaritmereglene til å slå sammen uttrykket til én enkel logaritme.

Strategi og formel: I a), regn ut hvert uttrykk for seg med definisjonene av logaritme og potens – ikke sammenlign dem «på magefølelsen». I b), bruk produkt-, kvotient- og potensregelen for logaritmer til å samle alt til én logaritme, og forenkle innmaten.

Trinnvis utregning:

a) $\log_2 8 = 3$ (siden $2^3=8$ ). $e^{3\ln 1} = e^{3\cdot 0} = e^0 = 1$ (siden $\ln 1 = 0$ ). $\lg 7 \approx 0{,}845$ (siden $\lg 1 = 0$ og $\lg 10=1$ , og $7$ ligger mellom $1$ og $10$ , nærmere $10$ ). $\sqrt[4]{3^3} = 3^{\frac{3}{4}} \approx 2{,}280$ (siden $3^{\frac{3}{4}}$ ligger mellom $3^{\frac{1}{2}}\approx 1{,}73$ og $3^1=3$ ).
I stigende rekkefølge: $\lg 7 \ (\approx 0{,}845) \ < \ e^{3\ln 1} \ (=1) \ < \ \sqrt[4]{3^3} \ (\approx 2{,}280) \ < \ \log_2 8 \ (=3)$ . b) $\lg(ab) - \lg\dfrac{a}{b} = \lg\!\left(\dfrac{ab}{a/b}\right) = \lg\!\left(ab\cdot\dfrac{b}{a}\right) = \lg(b^2)$ (kvotientregelen baklengs, $a$ forkortes bort).
$\lg(b^2) + \lg(100b^3) = \lg(b^2\cdot 100b^3) = \lg(100b^5)$ (produktregelen).
$\lg(100b^5) = \lg 100 + \lg(b^5) = 2 + 5\lg b$ (siden $\lg 100 = 2$ , og potensregelen $\lg(b^5)=5\lg b$ ).

Svar: a) Stigende rekkefølge: $\lg 7 < e^{3\ln 1} < \sqrt[4]{3^3} < \log_2 8$ . b) $\lg(ab) - \lg\frac{a}{b} + \lg(100b^3) = 2 + 5\lg b$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Regner riktig ut (eller anslår korrekt) verdien av alle fire uttrykk i a) med begrunnelse, sorterer dem riktig, OG forenkler b) helt fram til $2+5\lg b$ .
2-3/4	Riktig i én av de to delene, eller riktig sortering i a) uten fullstendig tallmessig begrunnelse for hvert uttrykk, eller en mindre feil underveis i b) (f.eks. stopper ved $\lg(100b^5)$ uten å splitte videre til $2+5\lg b$ ).
1/4	Kjenner igjen at $e^{3\ln 1}=1$ og $\log_2 8=3$ , men bommer på de to andre uttrykkene i a), og har ingen fungerende strategi i b).
0/4	Sammenligner uttrykkene i a) uten å regne ut verdiene, eller prøver å forenkle b) uten å bruke logaritmereglene riktig (f.eks. «forkorter» $\lg$ -symbolene direkte).

Sensor-tips

Den klassiske fellen i a) er å tro $e^{3\ln 1}$ betyr «noe stort» fordi eksponenten har en $3$ -er i seg – poenget er nettopp at $\ln 1 = 0$ gjør HELE eksponenten null, uansett hva som står foran.
I b) er det vanlig å glemme at $-\lg\frac{a}{b}$ snur brøken når den flyttes inn i logaritmen (blir $+\lg\frac{b}{a}$ , ikke $-\lg\frac{b}{a}$ ) – sjekk fortegnet nøye i det steget.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S1 matematikk, Vår 2026, Del 1, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 1 – Oppgave 3

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Løs likningen

$100^x - 3\cdot 10^x = 4$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne verdien (eller verdiene) av $x$ som gjør likningen sann.

Strategi og formel: Legg merke til at $100^x = (10^x)^2$ – likningen er da egentlig en ANDREGRADSLIKNING i den nye ukjente $u=10^x$ . Løs den med substitusjon, og oversett svaret tilbake til $x$ til slutt.

Trinnvis utregning:

Sett $u=10^x$ (merk: $u>0$ alltid, siden en positiv base opphøyd i noe alltid gir et positivt tall). Da er $100^x=(10^2)^x=(10^x)^2=u^2$ .
Likningen blir $u^2 - 3u - 4 = 0$ . Andregradsformelen (eller faktorisering): $u^2-3u-4=(u-4)(u+1)=0$
$u=4$ eller $u=-1$ . Siden $u=10^x$ må være POSITIV, forkastes $u=-1$ som ugyldig løsning.
$u=4$ gir $10^x=4$
$x=\lg 4 \approx 0{,}602$ .

Svar: $x = \lg 4 \approx 0{,}602$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Innfører substitusjonen $u=10^x$ riktig, løser andregradslikningen for $u$ riktig, forkaster den negative løsningen med riktig begrunnelse, og finner riktig $x=\lg 4$ .
1/2	Innfører riktig substitusjon og løser andregradslikningen riktig, men forkaster ikke $u=-1$ (oppgir to $x$ -verdier), eller gjør en regnefeil i selve tilbakeoversettingen til $x$ .
0/2	Prøver å løse likningen uten substitusjon (f.eks. ved å «ta $\lg$ av begge sider» direkte på en sum), eller mangler en fungerende strategi helt.

Sensor-tips

Den vanligste feilen er å glemme at $u=10^x$ aldri kan være negativ – se etter at eleven eksplisitt forkaster $u=-1$ med en begrunnelse, ikke bare lar den forsvinne stille.
Godta både $x=\lg 4$ og en desimaltilnærming som $x\approx 0{,}602$ som fullverdig svarform.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S1 matematikk, Høst 2024, Del 1, Oppgave 3