Eksamensoppgaver – Modelleringsprosjekt (R1)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 6 poeng

Tabellen nedenfor viser konsentrasjonen, i millimol per liter (mmol/L), av et stoff, $t$ sekunder etter at en kjemisk reaksjon startet. Når det har gått lang tid, vil konsentrasjonen av stoffet stabilisere seg på $2{,}5$ mmol/L.

Tid (s)	0	10	20	30	40	50	60
Konsentrasjon (mmol/L)	0	0,28	0,53	0,76	0,95	1,13	1,28
Konsentrasjon − 2,5 (mmol/L)	−2,5	−2,22	−1,97	−1,74	−1,55	−1,37	−1,22

a) Bruk blant annet regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved

$f(t) = 2{,}5 - 2{,}5\cdot 0{,}99^t$

er en god modell for konsentrasjonen av stoffet $t$ sekunder etter at reaksjonen startet.

b) Hvor lang tid vil det ta før konsentrasjonen er $2{,}0$ mmol/L?

c) Hvor lang tid vil det ta før konsentrasjonen øker med mindre enn $0{,}001$ mmol/L per sekund?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi vise, ved regresjon, at den oppgitte formelen faktisk passer godt til dataene. I b) skal vi løse $f(t)=2{,}0$ for $t$ . I c) skal vi finne når VEKSTFARTEN (den deriverte) blir mindre enn en gitt terskel: konsentrasjonen fortsetter å øke, men stadig langsommere.

Strategi og formel: a) Legg merke til at «Konsentrasjon $-2{,}5$ »-raden i tabellen er NEGATIV og ser ut til å avta eksponentielt mot $0$ : ta den naturlige logaritmen av (den positive) absoluttverdien av denne raden, og kjør LINEÆR regresjon på $(t,\ \ln|{\text{verdi}}|)$ : en god eksponentiell modell gir da nesten en rett linje, med stigningstall $\ln(0{,}99)$ og skjæringspunkt $\ln(2{,}5)$ . b) Løs likningen $f(t)=2{,}0$ algebraisk. c) Deriver $f(t)$ , og løs ulikheten $f'(t)<0{,}001$ .

Trinnvis utregning:

a) La $y_t=|{\text{Konsentrasjon}}-2{,}5|$ (raden i tabellen, med fortegn snudd). Regresjon av $\ln(y_t)$ mot $t$ gir stigningstall $\approx -0{,}0120$ og skjæringspunkt $\approx 0{,}9165$
$a_0=e^{0{,}9165}\approx 2{,}50$ og $b=e^{-0{,}0120}\approx 0{,}988$ , altså svært nær $2{,}5$ og $0{,}99$ . Siden $y_t\approx 2{,}5\cdot 0{,}99^t$ , er $f(t)=2{,}5-y_t\approx 2{,}5-2{,}5\cdot 0{,}99^t$ – nettopp den oppgitte formelen. Modellen passer godt. b) $2{,}5-2{,}5\cdot 0{,}99^t=2{,}0 \Rightarrow 2{,}5\cdot 0{,}99^t=0{,}5 \Rightarrow 0{,}99^t=0{,}2 \Rightarrow t=\dfrac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}99)}\approx 160{,}1$ sekunder. c) $f'(t)=-2{,}5\cdot\ln(0{,}99)\cdot 0{,}99^t$ . Siden $\ln(0{,}99)<0$ , er $f'(t)=2{,}5\cdot|\ln(0{,}99)|\cdot 0{,}99^t>0$ (konsentrasjonen øker, som forventet). Løs $f'(t)<0{,}001$ : $2{,}5\cdot 0{,}01005\cdot 0{,}99^t<0{,}001 \Rightarrow 0{,}99^t<\dfrac{0{,}001}{0{,}02514}\approx 0{,}0398 \Rightarrow t>\dfrac{\ln(0{,}0398)}{\ln(0{,}99)}\approx 320{,}8$ sekunder.

Svar: a) Regresjon på $\ln|{\text{Konsentrasjon}}-2{,}5|$ gir $a_0\approx 2{,}50$ og $b\approx 0{,}99$ : bekrefter at $f(t)=2{,}5-2{,}5\cdot 0{,}99^t$ er en god modell. b) Etter $t\approx 160{,}1$ sekunder. c) Etter $t\approx 320{,}8$ sekunder.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Utfører (eller beskriver korrekt) en regresjon som bekrefter modellen i a), løser riktig $t\approx 160{,}1$ i b), og deriverer riktig og løser riktig ulikhet fram til $t\approx 320{,}8$ i c).
4/6	Riktig i b), men i a) sammenlignes bare funksjonsverdier mot tabellen uten faktisk regresjon (svakere bekreftelse), og/eller c) har en mindre regnefeil i deriveringen.
2/6	Riktig algebraisk løsning i b), men ingen fungerende strategi i a) eller c).
0/6	Feil isolering av eksponentialleddet i b) (f.eks. glemmer å trekke fra $2{,}5$ først), og ingen fungerende strategi videre.

Sensor-tips

I a) er poenget at eleven bruker EKSPONENTIELL REGRESJON (evt. via en logaritme-linearisering) på dataene, ikke bare stoler blindt på formelen som er oppgitt: godta enhver metode (kalkulator/GeoGebra-regresjon direkte, eller den manuelle log-linje-metoden over) som faktisk sammenligner mot dataene.
Legg merke til at c) spør om når VEKSTFARTEN blir liten (nesten flat kurve), ikke når konsentrasjonen NÅR en bestemt verdi. Dette er en vanlig sammenblanding mellom $f(t)$ og $f'(t)$ som bør sjekkes eksplisitt.
Deloppgave c) forutsetter derivasjon av en eksponentialfunksjon og å løse en ulikhet med den deriverte: teknikken forklares ikke i selve modelleringsprosjekt-temaet, kun i «derivasjon-i-modellering-og-optimering/R1» (se forkunnskaper). En elev som ikke husker fremgangsmåten derfra bør henvises dit for repetisjon, ikke bare få forklart c) på nytt fra bunnen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Høst 2023, Del 2, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 4 poeng

Momentmagnitudeskalaen er en skala for å måle størrelsen på jordskjelv. Sammenhengen mellom momentmagnituden $M$ og energien $E$ er $M = \dfrac{2}{3}\lg(E) - 3{,}2$ . Energien $E$ måles i joule (J).

a) Bestem et uttrykk for energien $E$ som løses ut i et jordskjelv, uttrykt ved momentmagnituden $M$ . Bruk dette uttrykket til å regne ut hvor mye energi som løses ut i et jordskjelv som måler $4{,}7$ på momentmagnitudeskalaen.

b) Hvor mange ganger så stor er energien som løses ut i et jordskjelv, dersom $M$ øker med 1?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi snu formelen (løse ut $E$ i stedet for $M$ ), og deretter bruke den til å regne ut et konkret tall. I b) skal vi undersøke hvordan energien SKALERER når magnituden øker med nøyaktig én enhet: et klassisk kjennetegn ved logaritmiske skalaer.

Strategi og formel: a) Isoler $\lg(E)$ først, og bruk deretter at $E=10^{\lg(E)}$ for å bli kvitt logaritmen. b) Sett opp forholdet $\dfrac{E(M+1)}{E(M)}$ symbolsk, og forenkle. Dette forholdet vil vise seg å være UAVHENGIG av selve $M$ -verdien.

Trinnvis utregning:

a) $M=\dfrac{2}{3}\lg(E)-3{,}2$
$M+3{,}2=\dfrac{2}{3}\lg(E)$
$\lg(E)=\dfrac{3}{2}(M+3{,}2)=1{,}5M+4{,}8$
$E=10^{1{,}5M+4{,}8}$
ved $M=4{,}7$ : $E=10^{1{,}5\cdot 4{,}7+4{,}8}=10^{7{,}05+4{,}8}=10^{11{,}85}\approx 7{,}08\cdot 10^{11}$ J. b) $\dfrac{E(M+1)}{E(M)}=\dfrac{10^{1{,}5(M+1)+4{,}8}}{10^{1{,}5M+4{,}8}}=10^{1{,}5(M+1)+4{,}8-(1{,}5M+4{,}8)}$
$10^{1{,}5}=10\sqrt{10}\approx 31{,}6$ .

Svar: a) $E(M)=$ $10^{1{,}5M+4{,}8}$ J, og ved $M=4{,}7$ : $E\approx$ $7{,}08\cdot 10^{11}$ J. b) Energien blir $10\sqrt{10}\approx 31{,}6$ ganger så stor.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Løser riktig ut $E=10^{1{,}5M+4{,}8}$ og regner riktig ut $E\approx 7{,}08\cdot 10^{11}$ J ved $M=4{,}7$ i a), og finner riktig, generelt forhold $10\sqrt{10}\approx 31{,}6$ i b) (uavhengig av $M$ ).
2/4	Riktig uttrykk for $E(M)$ og riktig tallverdi i a), men i b) settes inn KONKRETE tall (f.eks. $M=4{,}7$ og $M=5{,}7$ ) i stedet for å vise forholdet generelt – gir riktig tallsvar, men mister poeng for ikke å vise at forholdet er uavhengig av $M$ .
1/4	Gjør en feil ved isolering av $\lg(E)$ i a) (f.eks. glemmer å multiplisere med $\frac{3}{2}$ ), som gir feil eksponent og kaskaderer til feil svar i begge deloppgaver.
0/4	Bruker feil logaritme-/eksponentregel til å løse ut $E$ (f.eks. $E=10\cdot(\text{uttrykket})$ i stedet for $E=10^{(\text{uttrykket})}$ ).

Sensor-tips

b) er sterkere besvart når forholdet vises GENERELT (symbolsk i $M$ ) enn ved å bare sette inn to konkrete magnitude-verdier og dividere. Begge gir riktig tall, men den generelle utledningen viser bedre forståelse av HVORFOR svaret er uavhengig av utgangspunktet.
Sjekk at eleven har riktig eksponent i a): $E=10^{1{,}5M+4{,}8}$ , IKKE $10^{\frac{2}{3}M-3{,}2}$ (det ville vært å beholde $M$ -formelens egne koeffisienter i stedet for å faktisk løse ut $E$ ).

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 4