Eksamensoppgaver – Modelleringsprosjekt (R1)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 6 poeng

Tabellen nedenfor viser konsentrasjonen, i millimol per liter (mmol/L), av et stoff, $t$ sekunder etter at en kjemisk reaksjon startet. Når det har gått lang tid, vil konsentrasjonen av stoffet stabilisere seg på $2{,}5$ mmol/L.

Tid (s)	0	10	20	30	40	50	60
Konsentrasjon (mmol/L)	0	0,28	0,53	0,76	0,95	1,13	1,28
Konsentrasjon − 2,5 (mmol/L)	−2,5	−2,22	−1,97	−1,74	−1,55	−1,37	−1,22

a) Bruk blant annet regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved

$f(t) = 2{,}5 - 2{,}5\cdot 0{,}99^t$

er en god modell for konsentrasjonen av stoffet $t$ sekunder etter at reaksjonen startet.

b) Hvor lang tid vil det ta før konsentrasjonen er $2{,}0$ mmol/L?

c) Hvor lang tid vil det ta før konsentrasjonen øker med mindre enn $0{,}001$ mmol/L per sekund?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi vise, ved regresjon, at den oppgitte formelen faktisk passer godt til dataene. I b) skal vi løse $f(t)=2{,}0$ for $t$ . I c) skal vi finne når VEKSTFARTEN (den deriverte) blir mindre enn en gitt terskel – konsentrasjonen fortsetter å øke, men stadig langsommere.

Strategi og formel: a) Legg merke til at «Konsentrasjon $-2{,}5$ »-raden i tabellen er NEGATIV og ser ut til å avta eksponentielt mot $0$ – ta den naturlige logaritmen av (den positive) absoluttverdien av denne raden, og kjør LINEÆR regresjon på $(t,\ \ln|{\text{verdi}}|)$ : en god eksponentiell modell gir da nesten en rett linje, med stigningstall $\ln(0{,}99)$ og skjæringspunkt $\ln(2{,}5)$ . b) Løs likningen $f(t)=2{,}0$ algebraisk. c) Deriver $f(t)$ , og løs ulikheten $f'(t)<0{,}001$ .

Trinnvis utregning:

a) La $y_t=|{\text{Konsentrasjon}}-2{,}5|$ (raden i tabellen, med fortegn snudd). Regresjon av $\ln(y_t)$ mot $t$ gir stigningstall $\approx -0{,}0120$ og skjæringspunkt $\approx 0{,}9165$
$a_0=e^{0{,}9165}\approx 2{,}50$ og $b=e^{-0{,}0120}\approx 0{,}988$ , altså svært nær $2{,}5$ og $0{,}99$ . Siden $y_t\approx 2{,}5\cdot 0{,}99^t$ , er $f(t)=2{,}5-y_t\approx 2{,}5-2{,}5\cdot 0{,}99^t$ – nettopp den oppgitte formelen. Modellen passer godt. b) $2{,}5-2{,}5\cdot 0{,}99^t=2{,}0 \Rightarrow 2{,}5\cdot 0{,}99^t=0{,}5 \Rightarrow 0{,}99^t=0{,}2 \Rightarrow t=\dfrac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}99)}\approx 160{,}1$ sekunder. c) $f'(t)=-2{,}5\cdot\ln(0{,}99)\cdot 0{,}99^t$ . Siden $\ln(0{,}99)<0$ , er $f'(t)=2{,}5\cdot|\ln(0{,}99)|\cdot 0{,}99^t>0$ (konsentrasjonen øker, som forventet). Løs $f'(t)<0{,}001$ : $2{,}5\cdot 0{,}01005\cdot 0{,}99^t<0{,}001 \Rightarrow 0{,}99^t<\dfrac{0{,}001}{0{,}02514}\approx 0{,}0398 \Rightarrow t>\dfrac{\ln(0{,}0398)}{\ln(0{,}99)}\approx 320{,}8$ sekunder.

Svar: a) Regresjon på $\ln|{\text{Konsentrasjon}}-2{,}5|$ gir $a_0\approx 2{,}50$ og $b\approx 0{,}99$ – bekrefter at $f(t)=2{,}5-2{,}5\cdot 0{,}99^t$ er en god modell. b) Etter $t\approx 160{,}1$ sekunder. c) Etter $t\approx 320{,}8$ sekunder.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Utfører (eller beskriver korrekt) en regresjon som bekrefter modellen i a), løser riktig $t\approx 160{,}1$ i b), og deriverer riktig og løser riktig ulikhet fram til $t\approx 320{,}8$ i c).
4/6	Riktig i b), men i a) sammenlignes bare funksjonsverdier mot tabellen uten faktisk regresjon (svakere bekreftelse), og/eller c) har en mindre regnefeil i deriveringen.
2/6	Riktig algebraisk løsning i b), men ingen fungerende strategi i a) eller c).
0/6	Feil isolering av eksponentialleddet i b) (f.eks. glemmer å trekke fra $2{,}5$ først), og ingen fungerende strategi videre.

Sensor-tips

I a) er poenget at eleven bruker EKSPONENTIELL REGRESJON (evt. via en logaritme-linearisering) på dataene, ikke bare stoler blindt på formelen som er oppgitt – godta enhver metode (kalkulator/GeoGebra-regresjon direkte, eller den manuelle log-linje-metoden over) som faktisk sammenligner mot dataene.
Legg merke til at c) spør om når VEKSTFARTEN blir liten (nesten flat kurve), ikke når konsentrasjonen NÅR en bestemt verdi – dette er en vanlig sammenblanding mellom $f(t)$ og $f'(t)$ som bør sjekkes eksplisitt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Høst 2023, Del 2, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 4 poeng

Momentmagnitudeskalaen er en skala for å måle størrelsen på jordskjelv. Sammenhengen mellom momentmagnituden $M$ og energien $E$ er $M = \dfrac{2}{3}\lg(E) - 3{,}2$ . Energien $E$ måles i joule (J).

a) Bestem et uttrykk for energien $E$ som løses ut i et jordskjelv, uttrykt ved momentmagnituden $M$ . Bruk dette uttrykket til å regne ut hvor mye energi som løses ut i et jordskjelv som måler $4{,}7$ på momentmagnitudeskalaen.

b) Hvor mange ganger så stor er energien som løses ut i et jordskjelv, dersom $M$ øker med 1?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi snu formelen (løse ut $E$ i stedet for $M$ ), og deretter bruke den til å regne ut et konkret tall. I b) skal vi undersøke hvordan energien SKALERER når magnituden øker med nøyaktig én enhet – et klassisk kjennetegn ved logaritmiske skalaer.

Strategi og formel: a) Isoler $\lg(E)$ først, og bruk deretter at $E=10^{\lg(E)}$ for å bli kvitt logaritmen. b) Sett opp forholdet $\dfrac{E(M+1)}{E(M)}$ symbolsk, og forenkle – dette forholdet vil vise seg å være UAVHENGIG av selve $M$ -verdien.

Trinnvis utregning:

a) $M=\dfrac{2}{3}\lg(E)-3{,}2$
$M+3{,}2=\dfrac{2}{3}\lg(E)$
$\lg(E)=\dfrac{3}{2}(M+3{,}2)=1{,}5M+4{,}8$
$E=10^{1{,}5M+4{,}8}$
ved $M=4{,}7$ : $E=10^{1{,}5\cdot 4{,}7+4{,}8}=10^{7{,}05+4{,}8}=10^{11{,}85}\approx 7{,}08\cdot 10^{11}$ J. b) $\dfrac{E(M+1)}{E(M)}=\dfrac{10^{1{,}5(M+1)+4{,}8}}{10^{1{,}5M+4{,}8}}=10^{1{,}5(M+1)+4{,}8-(1{,}5M+4{,}8)}$
$10^{1{,}5}=10\sqrt{10}\approx 31{,}6$ .

Svar: a) $E(M)=$ $10^{1{,}5M+4{,}8}$ J, og ved $M=4{,}7$ : $E\approx$ $7{,}08\cdot 10^{11}$ J. b) Energien blir $10\sqrt{10}\approx 31{,}6$ ganger så stor.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Løser riktig ut $E=10^{1{,}5M+4{,}8}$ og regner riktig ut $E\approx 7{,}08\cdot 10^{11}$ J ved $M=4{,}7$ i a), og finner riktig, generelt forhold $10\sqrt{10}\approx 31{,}6$ i b) (uavhengig av $M$ ).
2/4	Riktig uttrykk for $E(M)$ og riktig tallverdi i a), men i b) settes inn KONKRETE tall (f.eks. $M=4{,}7$ og $M=5{,}7$ ) i stedet for å vise forholdet generelt – gir riktig tallsvar, men mister poeng for ikke å vise at forholdet er uavhengig av $M$ .
1/4	Gjør en feil ved isolering av $\lg(E)$ i a) (f.eks. glemmer å multiplisere med $\frac{3}{2}$ ), som gir feil eksponent og kaskaderer til feil svar i begge deloppgaver.
0/4	Bruker feil logaritme-/eksponentregel til å løse ut $E$ (f.eks. $E=10\cdot(\text{uttrykket})$ i stedet for $E=10^{(\text{uttrykket})}$ ).

Sensor-tips

b) er sterkere besvart når forholdet vises GENERELT (symbolsk i $M$ ) enn ved å bare sette inn to konkrete magnitude-verdier og dividere – begge gir riktig tall, men den generelle utledningen viser bedre forståelse av HVORFOR svaret er uavhengig av utgangspunktet.
Sjekk at eleven har riktig eksponent i a): $E=10^{1{,}5M+4{,}8}$ , IKKE $10^{\frac{2}{3}M-3{,}2}$ (det ville vært å beholde $M$ -formelens egne koeffisienter i stedet for å faktisk løse ut $E$ ).

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 4