NumiSum

Sentralmål og spredningsmål

Dette bygger direkte videre på sentralmål og spredningsmål fra ungdomsskolen. Gjennomsnitt og median forteller om MIDTEN av et datasett: se Gjennomsnitt og median (7. trinn) for hele gjennomgangen. Variasjonsbredde og kvartiler forteller om hvor SPREDT verdiene er: se Spredningsmål (9. trinn) for hele gjennomgangen. Et sentralmål beskriver en «typisk» verdi i et datasett. GJENNOMSNITTET (summen delt på antallet) er velkjent, men svært følsomt for UTELIGGERE: én ekstremverdi kan dra det langt fra det typiske. MEDIANEN (den midterste verdien i et sortert datasett) er mer robust, siden den bare bryr seg om REKKEFØLGEN. Har datasettet et PARTALL antall verdier, er medianen gjennomsnittet av de to midterste. VARIASJONSBREDDEN (størst minus minst) forteller i tillegg hvor mye verdiene sprer seg.

Gjennomsnitt

xˉ=sum av verdieneantall verdier\bar{x} = \frac{\text{sum av verdiene}}{\text{antall verdier}}

Median (partall antall)

gjennomsnittet av de to midterste verdiene i et sortert datasett

Variasjonsbredde

størst−minst\text{størst} - \text{minst}

Sju boligsalg, sortert (millioner kr)
PosisjonPris
12,8
22,9
33,0
4 (median)3,1
53,2
63,3
76,5

Tips

  • Er datasettet skjevt (én eller få ekstremverdier), sier medianen mer om det typiske enn gjennomsnittet gjør.
  • Sorter ALLTID datasettet før du finner medianen. Har datasettet et partall antall verdier, er medianen gjennomsnittet av de to midterste, ikke én av dem alene.
  • Regn gjennomsnittet på nytt uten ekstremverdien. En rask sjekk på hvor mye én verdi påvirker snittet: fjern den høyeste prisen (6,56{,}5 mill.) og regn gjennomsnittet av de resterende 66: 2,8+2,9+3,0+3,1+3,2+3,3=18,3:62{,}8 + 2{,}9 + 3{,}0 + 3{,}1 + 3{,}2 + 3{,}3 = 18{,}3 : 6 gir 3,053{,}05 millioner kr: mye nærmere medianen (3,13{,}1 mill.) enn det opprinnelige gjennomsnittet (3,543{,}54 mill.) var. Jo mer et gjennomsnitt flytter seg når du fjerner én verdi, jo mindre representativt var det opprinnelige gjennomsnittet.

Eksempel: Når gjennomsnittet lurer deg

Sju boliger i samme område er solgt for følgende priser (millioner kr): 2,82{,}8, 2,92{,}9, 3,03{,}0, 3,13{,}1, 3,23{,}2, 3,33{,}3, 6,56{,}5. Hva er gjennomsnittsprisen, og hvorfor gir medianen et mer rettvisende bilde?

Løsning:
  1. Vi summerer alle sju prisene: 2,8+2,9+3,0+3,1+3,2+3,3+6,5=24,82{,}8 + 2{,}9 + 3{,}0 + 3{,}1 + 3{,}2 + 3{,}3 + 6{,}5 = 24{,}8 (millioner kr)
  2. gjennomsnittet er 24,8:7≈3,5424{,}8 : 7 \approx 3{,}54 millioner kr
  3. sortert er datasettet allerede 2,82{,}8, 2,92{,}9, 3,03{,}0, 3,13{,}1, 3,23{,}2, 3,33{,}3, 6,56{,}5, og med 77 verdier er medianen den 4.4.: 3,13{,}1 millioner kr
  4. den ene høye boligprisen på 6,56{,}5 millioner drar gjennomsnittet opp med over 400 000400\ 000 kr sammenlignet med medianen, som viser hva en «typisk» bolig i området faktisk kostet.
Sentralmål sammenlignet
MålVerdi
Gjennomsnitt≈3,54 mill. kr
Median3,1 mill. kr
Forskjellca. 0,44 mill. kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva er gjennomsnittet av 5,10,155, 10, 15?

Vis fasit
  1. 5 + 10 + 15 = 30
  2. 303=\frac{30}{3} = 10

L-12Hva er medianen av 4,8,10,15,204, 8, 10, 15, 20?

Vis fasit
  1. Datasettet 4, 8, 10, 15, 20 har 5 tall, allerede sortert
  2. den midterste (3.) er 10

L-13Hva er variasjonsbredden til 3,9,143, 9, 14?

Vis fasit
  1. Datasettet 3, 9, 14 har størst verdi 14 og minst verdi 3
  2. 14 - 3 = 11
Middels(3)

M-11Fem boliger er solgt for (millioner kr): 2,52{,}5, 2,62{,}6, 2,72{,}7, 2,82{,}8, 7,07{,}0. Hva er gjennomsnittsprisen? Svar i millioner kroner.

Vis fasit
  1. 2,5 + 2,6 + 2,7 + 2,8 + 7,0 = 17,6
  2. 17,65=\frac{17{,}6}{5} = 3,52 mill. kr

M-12Samme datasett 2,52{,}5, 2,62{,}6, 2,72{,}7, 2,82{,}8, 7,07{,}0: hva er medianen? Svar i millioner kroner.

Vis fasit
  1. Datasettet 2,5, 2,6, 2,7, 2,8, 7,0 har 5 tall, allerede sortert
  2. den midterste (3.) er 2,7 mill. kr

M-13Hvorfor er medianen mer formålstjenlig enn gjennomsnittet i datasettet 2,52{,}5, 2,62{,}6, 2,72{,}7, 2,82{,}8, 7,07{,}0?

Vis fasit
  1. I datasettet 2,5, 2,6, 2,7, 2,8, 7,0 ligger gjennomsnittet 3,52 langt fra de fleste verdiene
  2. medianen 2,7 viser bedre hva som er typisk
Vanskelig(3)

V-11Et datasett med 66 verdier er 10,12,14,16,18,2010, 12, 14, 16, 18, 20. Hva er medianen?

Vis fasit
  1. 6 verdier er et partall antall
  2. de to midterste er 14 og 16
  3. gjennomsnittet av dem er 15

V-12Et datasett har variasjonsbredde 00. Hva forteller det deg?

Vis fasit
  1. Størst minus minst = 0
  2. alle verdiene må være like

V-13Bytt ut 6,56{,}5 med 10,010{,}0 i datasettet 2,82{,}8, 2,92{,}9, 3,03{,}0, 3,13{,}1, 3,23{,}2, 3,33{,}3, 6,56{,}5. Hvordan endres medianen sammenlignet med gjennomsnittet?

Vis fasit
  1. Sortert blir det 2,8, 2,9, 3,0, 3,1, 3,2, 3,3, 10,0
  2. midterste er fortsatt 3,1, mens gjennomsnittet stiger merkbart