NumiSum

Sentralmål og spredningsmål

Et sentralmål beskriver en «typisk» verdi i et datasett. GJENNOMSNITTET (summen delt på antallet) er velkjent, men svært følsomt for UTELIGGERE – én ekstremverdi kan dra det langt fra det typiske. MEDIANEN (den midterste verdien i et sortert datasett) er mer robust, siden den bare bryr seg om REKKEFØLGEN. Har datasettet et PARTALL antall verdier, er medianen gjennomsnittet av de to midterste. VARIASJONSBREDDEN (størst minus minst) forteller i tillegg hvor mye verdiene sprer seg.

Gjennomsnitt

xˉ=sum av verdieneantall verdier\bar{x} = \frac{\text{sum av verdiene}}{\text{antall verdier}}

Median (partall antall)

gjennomsnittet av de to midterste verdiene i et sortert datasett

Variasjonsbredde

størst−minst\text{størst} - \text{minst}

Sju boligsalg, sortert (millioner kr)
PosisjonPris
12,8
22,9
33,0
4 (median)3,1
53,2
63,3
76,5

Tips

  • Er datasettet skjevt (én eller få ekstremverdier), sier medianen mer om det typiske enn gjennomsnittet gjør.
  • Sorter ALLTID datasettet før du finner medianen. Har datasettet et partall antall verdier, er medianen gjennomsnittet av de to midterste, ikke én av dem alene.

Eksempel: Når gjennomsnittet lurer deg

Sju boliger i samme område er solgt for følgende priser (millioner kr): 2,82,8, 2,92,9, 3,03,0, 3,13,1, 3,23,2, 3,33,3, 6,56,5. Hva er gjennomsnittsprisen, og hvorfor gir medianen et mer rettvisende bilde?

Sentralmål sammenlignet
MålVerdi
Gjennomsnitt≈3,54 mill. kr
Median3,1 mill. kr
Forskjellca. 0,44 mill. kr
Løsning:
  1. Vi summerer alle sju prisene: 2,8+2,9+3,0+3,1+3,2+3,3+6,5=24,82,8 + 2,9 + 3,0 + 3,1 + 3,2 + 3,3 + 6,5 = 24,8 (millioner kr)
  2. gjennomsnittet er 24,8:7≈3,5424,8 : 7 \approx 3,54 millioner kr
  3. sortert er datasettet allerede 2,82,8, 2,92,9, 3,03,0, 3,13,1, 3,23,2, 3,33,3, 6,56,5, og med 77 verdier er medianen den 4.4.: 3,13,1 millioner kr
  4. den ene høye boligprisen på 6,56,5 millioner drar gjennomsnittet opp med over 400 000400\ 000 kr sammenlignet med medianen, som viser hva en «typisk» bolig i området faktisk kostet.
Alternativ forklaring/metode: Regn gjennomsnittet på nytt uten ekstremverdien

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Fjern uteliggeren og sammenlign

En rask sjekk på hvor mye én verdi påvirker snittet: fjern den høyeste prisen (6,56,5 mill.) og regn gjennomsnittet av de resterende 66: 2,8+2,9+3,0+3,1+3,2+3,3=18,32,8 + 2,9 + 3,0 + 3,1 + 3,2 + 3,3 = 18,3, delt på 66 gir 3,053,05 millioner kr – mye nærmere medianen (3,13,1 mill.) enn det opprinnelige gjennomsnittet (3,543,54 mill.) var. Jo mer et gjennomsnitt flytter seg når du fjerner én verdi, jo mindre representativt var det opprinnelige gjennomsnittet.

BeregningGjennomsnittAvstand til median (3,1)
Med alle 7 prisene3,54 mill.0,44 mill.
Uten uteliggeren (6,5)3,05 mill.0,05 mill.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva er gjennomsnittet av 5,10,155, 10, 15?

Vis fasit
StegResultat
5 + 10 + 1530
30 delt på 310
  1. 5 + 10 + 15 = 30
  2. 30 delt på 3 = 10

L-12Hva er medianen av 4,8,10,15,204, 8, 10, 15, 20?

Vis fasit
Steg
Datasettet 4, 8, 10, 15, 20 har 5 tall, allerede sortert
den midterste (3.) er 10
  1. Datasettet 4, 8, 10, 15, 20 har 5 tall, allerede sortert
  2. den midterste (3.) er 10

L-13Hva er variasjonsbredden til 3,9,143, 9, 14?

Vis fasit
StegResultat
Datasettet 3, 9, 14 har størst verdi 14 og minst verdi 3
14 - 311
  1. Datasettet 3, 9, 14 har størst verdi 14 og minst verdi 3
  2. 14 - 3 = 11
Middels(3)

M-11Fem boliger er solgt for (millioner kr): 2,52,5, 2,62,6, 2,72,7, 2,82,8, 7,07,0. Hva er gjennomsnittsprisen?

Vis fasit
StegResultat
2,5 + 2,6 + 2,7 + 2,8 + 7,017,6
17,6 delt på 53,52 mill. kr
  1. 2,5 + 2,6 + 2,7 + 2,8 + 7,0 = 17,6
  2. 17,6 delt på 5 = 3,52 mill. kr

M-12Samme datasett 2,52,5, 2,62,6, 2,72,7, 2,82,8, 7,07,0: hva er medianen?

Vis fasit
Steg
Datasettet 2,5, 2,6, 2,7, 2,8, 7,0 har 5 tall, allerede sortert
den midterste (3.) er 2,7 mill. kr
  1. Datasettet 2,5, 2,6, 2,7, 2,8, 7,0 har 5 tall, allerede sortert
  2. den midterste (3.) er 2,7 mill. kr

M-13Hvorfor er medianen mer formålstjenlig enn gjennomsnittet i datasettet 2,52,5, 2,62,6, 2,72,7, 2,82,8, 7,07,0?

Vis fasit
Steg
I datasettet 2,5, 2,6, 2,7, 2,8, 7,0 ligger gjennomsnittet 3,52 langt fra de fleste verdiene
medianen 2,7 viser bedre hva som er typisk
  1. I datasettet 2,5, 2,6, 2,7, 2,8, 7,0 ligger gjennomsnittet 3,52 langt fra de fleste verdiene
  2. medianen 2,7 viser bedre hva som er typisk
Vanskelig(3)

V-11Et datasett med 66 verdier er 10,12,14,16,18,2010, 12, 14, 16, 18, 20. Hva er medianen?

Vis fasit
Steg
6 verdier er et partall antall
de to midterste er 14 og 16
gjennomsnittet av dem er 15
  1. 6 verdier er et partall antall
  2. de to midterste er 14 og 16
  3. gjennomsnittet av dem er 15

V-12Et datasett har variasjonsbredde 00. Hva forteller det deg?

Vis fasit
StegResultat
Størst minus minst0
alle verdiene må være like
  1. Størst minus minst = 0
  2. alle verdiene må være like

V-13Bytt ut 6,56,5 med 10,010,0 i datasettet 2,82,8, 2,92,9, 3,03,0, 3,13,1, 3,23,2, 3,33,3, 6,56,5. Hvordan endres medianen sammenlignet med gjennomsnittet?

Vis fasit
Steg
Sortert blir det 2,8, 2,9, 3,0, 3,1, 3,2, 3,3, 10,0
midterste er fortsatt 3,1, mens gjennomsnittet stiger merkbart
  1. Sortert blir det 2,8, 2,9, 3,0, 3,1, 3,2, 3,3, 10,0
  2. midterste er fortsatt 3,1, mens gjennomsnittet stiger merkbart