NumiSum

Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 7 poeng

Nedenfor ser du hvor mange fraværsdager hver av de 15 ansatte i bedrift A hadde i 2025.

2, 0, 0, 5, 4, 1, 1, 12, 15, 0, 0, 1, 1, 2, 1

a) Bestem gjennomsnittet, medianen og standardavviket for antall fraværsdager.

b) Bestem den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Bedrift B har også 15 ansatte.

  • Gjennomsnittet for antall fraværsdager i 2025 er det samme for bedrift B som for bedrift A.
  • Medianen er høyere for bedrift B.
  • Standardavviket er lavere for bedrift B.

c) Hva forteller disse opplysningene om fraværet i bedrift B sammenlignet med fraværet i bedrift A?

Kari påstår at den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager i bedrift B må være høyere enn for bedrift A.

d) Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne sentralmål og spredningsmål for fraværet i bedrift A (a), en kumulativ frekvensverdi med praktisk tolkning (b), tolke hva opplysningene om bedrift B forteller sammenlignet med bedrift A (c), og vurdere om Karis påstand faktisk kan bekreftes ut fra det vi vet (d).

Strategi og formel: I a) sorteres tallene først, så regnes gjennomsnitt (sum delt på antall), median (midterste verdi) og standardavvik (hvor mye verdiene typisk avviker fra gjennomsnittet) ut. I b) telles hvor mange av de 15 ansatte som har 5 fraværsdager ELLER FÆRRE. I c) og d) må vi resonnere ut fra HVA sentralmål/spredningsmål faktisk kan og ikke kan fortelle oss om et datasett vi ikke har sett i detalj.

Trinnvis utregning:

  1. a) sortert: 0,0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,4,5,12,150,0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,4,5,12,15 (15 verdier)
  2. sum =45=45
  3. gjennomsnitt =45:15=3=45:15=3
  4. median = midterste (8.) verdi =1=1
  5. standardavvik (regnet med digitalt verktøy) ≈4,4\approx 4{,}4
  6. b) antall med ≤5\le 5 fraværsdager: alle unntatt 1212 og 1515, altså 1313 av 1515
  7. kumulativ frekvens =13=13
  8. c) bedrift B har SAMME gjennomsnitt, men HØYERE median og LAVERE standardavvik enn A
  9. dette peker mot at fraværet i B er mer JEVNT fordelt mellom de ansatte (færre uteliggere), mens A sitt lave median (1) sammen med det høye gjennomsnittet (3) tyder på at noen få ansatte (de med 12 og 15 dager) drar gjennomsnittet kraftig opp
  10. d) selv om c) gjør Karis påstand SANNSYNLIG, kan den IKKE bekreftes med sikkerhet: gjennomsnitt, median og standardavvik alene bestemmer ikke datasettet entydig – flere ulike datasett kan ha nøyaktig samme tre sammendragstall, men ulik kumulativ frekvens ved akkurat 5 dager

Svar: a) Gjennomsnitt 3 dager, median 1 dag, standardavvik ≈\approx 4,4 dager. b) Kumulativ frekvens for 5 fraværsdager er 13 (av 15) – det betyr at 13 av de 15 ansatte (nesten 9 av 10) hadde 5 fraværsdager eller færre i 2025. c) Fraværet i bedrift B er trolig mer jevnt fordelt mellom de ansatte enn i bedrift A, som har noen få ansatte med SVÆRT mye fravær som trekker opp gjennomsnittet. d) Påstanden er ikke sikker – den er sannsynlig ut fra c), men kan ikke bekreftes bare ut fra gjennomsnitt, median og standardavvik, siden disse tre tallene ikke fastlegger datasettet entydig.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 7 poeng)
PoengKrav
6–7/7Alle fire delspørsmål besvart riktig, inkludert en presis begrunnelse i d) som eksplisitt sier at påstanden ikke kan bekreftes med sikkerhet ut fra kun sentralmål/spredningsmål.
3–5/7a) og b) riktige, men c) og/eller d) mangler en fullverdig begrunnelse (f.eks. konkluderer d) med et sikkert «ja» eller «nei» uten å drøfte hvorfor sentralmål alene ikke er nok).
0–2/7Feil i selve sentralmåls-/spredningsmåls-utregningen i a), eller kumulativ frekvens i b) telt feil (f.eks. teller STRENGT under 5 i stedet for TIL OG MED 5).

Sensor-tips

  • Del d) er den krevende delen av oppgaven – en elev som bare svarer «ja, fordi B er jevnere fordelt» uten å nevne at man IKKE kan vite det sikkert fra kun disse tre tallene, har ikke fått med hele poenget. Godta både «trolig riktig, men usikkert» og en tydelig «kan ikke avgjøres»-konklusjon, så lenge begrunnelsen viser forståelse for at sammendragstall ikke fastlegger et helt datasett.
  • I b) er en vanlig feil å telle bare de STRENGT under 5 (dvs. glemme å telle med selve verdien 5 i den kumulative frekvensen) – sjekk at eleven har telt med de fire ansatte som har akkurat 5 dager.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 2P matematikk, Vår 2026, Del 2, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 1 – Oppgave 3

Uten hjelpemidler – 4 poeng

Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er 5 km, medianen er 8 km og gjennomsnittet er 9 km.

Du skal sette opp to mulige alternativer som viser hvor mange kilometer han kan ha jogget hver av de ti dagene.

  • I det første alternativet skal du bruke 8 km minst én dag.
  • I det andre alternativet skal du ikke bruke 8 km noen av dagene, og minst halvparten av tallene du bruker, skal være tall du ikke brukte i det første alternativet.
Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal konstruere to ULIKE datasett med 10 tall som begge har typetall 5 km, median 8 km og gjennomsnitt 9 km – men som ellers følger de to forskjellige kravene til hvilke tall som brukes.

Strategi og formel: Gjennomsnitt 9 km over 10 dager betyr at SUMMEN av alle ti tallene må være 9⋅10=909 \cdot 10 = 90. Typetall 5 betyr at 5 må forekomme OFTERE enn noe annet tall. Median 8 betyr at de to midterste tallene (5. og 6. når tallene sorteres) må ha gjennomsnitt 8 – enten ved at begge ER 8, eller ved at de er to andre tall som gjennomsnittlig gir 8 (f.eks. 7 og 9).

Trinnvis utregning:

  1. alternativ 1 (bruker 8 km): la 5 forekomme tre ganger (typetall), og la de to midterste tallene begge være 8 (gir median 8 direkte og bruker 8 minst én gang): 5,5,5,6,8,8,10,12,15,165,5,5,6,8,8,10,12,15,16
  2. sum =90=90 ✓ (gjennomsnitt 9 ✓), sortert median =(8+8):2=8=(8+8):2=8 ✓, typetall =5=5 (forekommer 3 ganger, mer enn noe annet tall) ✓
  3. alternativ 2 (IKKE 8 km, minst 5 av tallene nye): la 5 fortsatt forekomme tre ganger (typetallet må jo fortsatt være 5), men bruk 7 og 9 som de to midterste tallene i stedet for 8 (gir median 8 UTEN å bruke 8): 4,5,5,5,7,9,11,13,14,174,5,5,5,7,9,11,13,14,17
  4. sum =90=90 ✓, sortert median =(7+9):2=8=(7+9):2=8 ✓, typetall =5=5 ✓, INGEN av dagene bruker 8 km ✓, og 7 av de 10 tallene (4,7,9,11,13,14,174,7,9,11,13,14,17) ble IKKE brukt i alternativ 1 – godt over halvparten

Svar: Alternativ 1: 5, 5, 5, 6, 8, 8, 10, 12, 15, 16 km. Alternativ 2: 4, 5, 5, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 17 km. Begge har typetall 5 km, median 8 km og gjennomsnitt 9 km, og oppfyller de ekstra kravene i hvert sitt alternativ.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)
PoengKrav
4/4Begge alternativene har riktig sum (90), riktig typetall (5), riktig median (8), og oppfyller de spesifikke ekstrakravene (8 km brukt i alternativ 1; ikke brukt i alternativ 2, og minst halvparten av tallene der er nye).
2–3/4Ett av de to alternativene oppfyller alle krav, mens det andre har én mangel (f.eks. feil sum, eller for få nye tall i alternativ 2).
0–1/4Ingen av alternativene oppfyller kombinasjonen av typetall, median OG gjennomsnitt samtidig.

Sensor-tips

  • Det finnes MANGE gyldige svar her – sjekk at ELEVENS eget forslag faktisk oppfyller alle tre kravene (typetall 5, median 8, gjennomsnitt 9, sum 90) ved å telle etter, ikke bare at det «ser rimelig ut».
  • I alternativ 2 må eleven telle EKSPLISITT hvor mange av de ti tallene som ikke forekom i alternativ 1 – «minst halvparten» betyr minst 5 av de 10 dagsverdiene, ikke bare at noen tall er byttet ut.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 2P matematikk, Høst 2023, Del 1, Oppgave 3