NumiSum

Sentralmål og spredningsmål i praksis

Dette bygger direkte videre på sentralmål og spredningsmål fra ungdomsskolen. Gjennomsnitt og median forteller om MIDTEN av et datasett: se Gjennomsnitt og median (7. trinn) for hele gjennomgangen. Variasjonsbredde og kvartiler forteller om hvor SPREDT verdiene er: se Spredningsmål (9. trinn) for hele gjennomgangen. Et sentralmål skal beskrive en «typisk» verdi i et datasett. GJENNOMSNITTET (summen delt på antallet) er kjent, men det er svært følsomt for UTELIGGERE: én ekstremverdi kan dra det langt fra det typiske. MEDIANEN (den midterste verdien i et sortert datasett) er langt mer robust: den bryr seg bare om REKKEFØLGEN, ikke om HVOR langt unna en ekstremverdi ligger. Spredningsmål som VARIASJONSBREDDEN (største minus minste verdi) forteller i tillegg hvor mye verdiene sprer seg. Hvilket mål som er mest FORMÅLSTJENLIG avhenger av datasettet. Det finnes ikke ett riktig svar for alle situasjoner.

Gjennomsnitt

xˉ=sum av verdieneantall verdier\bar{x} = \frac{\text{sum av verdiene}}{\text{antall verdier}}

Median (oddetall antall)

den midterste verdien i et sortert datasett

Variasjonsbredde

størst−minst\text{størst} - \text{minst}

Syv ansattes årslønn, sortert (i tusen kr)
PosisjonLønn
1310
2340
3350
4 (median)360
5370
6380
7900

Tips

  • Er datasettet skjevt (én eller få ekstremverdier), sier medianen mer om det typiske enn gjennomsnittet gjør.
  • Sorter ALLTID datasettet før du finner medianen: rekkefølgen i den opprinnelige listen betyr ingenting.
  • Regn gjennomsnittet på nytt uten ekstremverdien. En rask sjekk på hvor mye én verdi påvirker snittet: fjern den høyeste lønnen (900900 tusen) og regn gjennomsnittet av de resterende 66: 310+340+350+360+370+380=2 110:6310 + 340 + 350 + 360 + 370 + 380 = 2\ 110 : 6 gir 351,7351{,}7 (tusen kr): mye nærmere medianen (360360 tusen) enn det opprinnelige gjennomsnittet (430430 tusen) var. Jo mer et gjennomsnitt flytter seg når du fjerner én verdi, jo mindre representativt var det opprinnelige gjennomsnittet.

Eksempel: Når gjennomsnittet lurer deg

En bedrift har 77 ansatte med årslønn (i tusen kr): 310,340,350,360,370,380,900310, 340, 350, 360, 370, 380, 900. Hva er gjennomsnittslønnen, og hvorfor kan medianen gi et mer rettvisende bilde?

Løsning:
  1. Vi summerer alle sju lønningene: 310+340+350+360+370+380+900=3 010310 + 340 + 350 + 360 + 370 + 380 + 900 = 3\ 010 (tusen kr)
  2. gjennomsnittet er 3 010:7=4303\ 010 : 7 = 430 (tusen kr), altså 430 000430\ 000 kr
  3. sortert er datasettet allerede 310,340,350,360,370,380,900310, 340, 350, 360, 370, 380, 900, og med 77 verdier er medianen den 4.4.: 360 000360\ 000 kr
  4. den ene høye lønnen på 900900 (tusen) drar gjennomsnittet opp med 70 00070\ 000 kr sammenlignet med medianen, som viser hva en «typisk» ansatt faktisk tjener.
Sentralmål sammenlignet
MålVerdi
Gjennomsnitt430 000 kr
Median360 000 kr
Forskjell70 000 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva er gjennomsnittet av 4,6,84, 6, 8?

Vis fasit
  1. 4 + 6 + 8 = 18
  2. 183=\frac{18}{3} = 6

L-12Hva er medianen av 3,7,9,12,153, 7, 9, 12, 15?

Vis fasit
  1. Datasettet 3, 7, 9, 12, 15 har 5 tall, allerede sortert
  2. den midterste (3.) er 9

L-13Hva er variasjonsbredden til 5,12,205, 12, 20?

Vis fasit
  1. Datasettet 5, 12, 20 har størst verdi 20 og minst verdi 5
  2. 20 - 5 = 15
Middels(3)

M-11Fem ansatte tjener (i tusen kr): 300,320,330,340,900300, 320, 330, 340, 900. Hva er gjennomsnittet? Svar i tusen kr.

Vis fasit
  1. 300 + 320 + 330 + 340 + 900 = 2 190
  2. 2 1905=\frac{2\,190}{5} = 438 (tusen kr)

M-12Samme datasett 300,320,330,340,900300, 320, 330, 340, 900: hva er medianen? Svar i tusen kr.

Vis fasit
  1. Datasettet 300, 320, 330, 340, 900 har 5 tall, allerede sortert
  2. den midterste (3.) er 330 (tusen kr)

M-13Hvorfor er medianen mer formålstjenlig enn gjennomsnittet i datasettet 300,320,330,340,900300, 320, 330, 340, 900?

Vis fasit
  1. I datasettet 300, 320, 330, 340, 900 ligger gjennomsnittet 438 langt fra de fleste verdiene
  2. medianen 330 viser bedre hva som er typisk
Vanskelig(3)

V-11Et datasett har variasjonsbredde 00. Hva forteller det deg?

Vis fasit
  1. Størst minus minst = 0
  2. alle verdiene må være like

V-12Bytt ut 900900 med 1 2001\ 200 i datasettet 300,320,330,340,900300, 320, 330, 340, 900. Hvordan endres medianen sammenlignet med gjennomsnittet?

Vis fasit
  1. Sortert blir det 300, 320, 330, 340, 1 200
  2. midterste er fortsatt 330, mens gjennomsnittet stiger fra 438 til 498

V-13Et sortert datasett har 66 verdier. Hvordan finner du medianen?

Vis fasit
  1. 6 verdier er et partall antall, som gir 2 midterste tall
  2. medianen er gjennomsnittet av dem