NumiSum

Sentralmål og spredningsmål i praksis

Et sentralmål skal beskrive en «typisk» verdi i et datasett. GJENNOMSNITTET (summen delt på antallet) er kjent, men det er svært følsomt for UTELIGGERE – én ekstremverdi kan dra det langt fra det typiske. MEDIANEN (den midterste verdien i et sortert datasett) er langt mer robust: den bryr seg bare om REKKEFØLGEN, ikke om HVOR langt unna en ekstremverdi ligger. Spredningsmål som VARIASJONSBREDDEN (største minus minste verdi) forteller i tillegg hvor mye verdiene sprer seg. Hvilket mål som er mest FORMÅLSTJENLIG avhenger av datasettet – det finnes ikke ett riktig svar for alle situasjoner.

Gjennomsnitt

xˉ=sum av verdieneantall verdier\bar{x} = \frac{\text{sum av verdiene}}{\text{antall verdier}}

Median (oddetall antall)

den midterste verdien i et sortert datasett

Variasjonsbredde

størst−minst\text{størst} - \text{minst}

Syv ansattes årslønn, sortert (i tusen kr)
PosisjonLønn
1310
2340
3350
4 (median)360
5370
6380
7900

Tips

  • Er datasettet skjevt (én eller få ekstremverdier), sier medianen mer om det typiske enn gjennomsnittet gjør.
  • Sorter ALLTID datasettet før du finner medianen – rekkefølgen i den opprinnelige listen betyr ingenting.

Eksempel: Når gjennomsnittet lurer deg

En bedrift har 77 ansatte med årslønn (i tusen kr): 310,340,350,360,370,380,900310, 340, 350, 360, 370, 380, 900. Hva er gjennomsnittslønnen, og hvorfor kan medianen gi et mer rettvisende bilde?

Sentralmål sammenlignet
MålVerdi
Gjennomsnitt430 000 kr
Median360 000 kr
Forskjell70 000 kr
Løsning:
  1. Vi summerer alle sju lønningene: 310+340+350+360+370+380+900=3 010310 + 340 + 350 + 360 + 370 + 380 + 900 = 3\ 010 (tusen kr)
  2. gjennomsnittet er 3 010:7=4303\ 010 : 7 = 430 (tusen kr), altså 430 000430\ 000 kr
  3. sortert er datasettet allerede 310,340,350,360,370,380,900310, 340, 350, 360, 370, 380, 900, og med 77 verdier er medianen den 4.4.: 360 000360\ 000 kr
  4. den ene høye lønnen på 900900 (tusen) drar gjennomsnittet opp med 70 00070\ 000 kr sammenlignet med medianen, som viser hva en «typisk» ansatt faktisk tjener.
Alternativ forklaring/metode: Regn gjennomsnittet på nytt uten ekstremverdien

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Fjern uteliggeren og sammenlign

En rask sjekk på hvor mye én verdi påvirker snittet: fjern den høyeste lønnen (900900 tusen) og regn gjennomsnittet av de resterende 66: 310+340+350+360+370+380=2 110310 + 340 + 350 + 360 + 370 + 380 = 2\ 110, delt på 66 gir 351,7351,7 (tusen kr) – mye nærmere medianen (360360 tusen) enn det opprinnelige gjennomsnittet (430430 tusen) var. Jo mer et gjennomsnitt flytter seg når du fjerner én verdi, jo mindre representativt var det opprinnelige gjennomsnittet.

BeregningGjennomsnittAvstand til median (360)
Med alle 7 lønningene430 tusen70 tusen
Uten uteliggeren (900)351,7 tusen11,7 tusen

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva er gjennomsnittet av 4,6,84, 6, 8?

Vis fasit
StegResultat
4 + 6 + 818
18 delt på 36
  1. 4 + 6 + 8 = 18
  2. 18 delt på 3 = 6

L-12Hva er medianen av 3,7,9,12,153, 7, 9, 12, 15?

Vis fasit
Steg
Datasettet 3, 7, 9, 12, 15 har 5 tall, allerede sortert
den midterste (3.) er 9
  1. Datasettet 3, 7, 9, 12, 15 har 5 tall, allerede sortert
  2. den midterste (3.) er 9

L-13Hva er variasjonsbredden til 5,12,205, 12, 20?

Vis fasit
StegResultat
Datasettet 5, 12, 20 har størst verdi 20 og minst verdi 5
20 - 515
  1. Datasettet 5, 12, 20 har størst verdi 20 og minst verdi 5
  2. 20 - 5 = 15
Middels(3)

M-11Fem ansatte tjener (i tusen kr): 300,320,330,340,900300, 320, 330, 340, 900. Hva er gjennomsnittet?

Vis fasit
StegResultat
300 + 320 + 330 + 340 + 9002 190
2 190 delt på 5438 (tusen kr)
  1. 300 + 320 + 330 + 340 + 900 = 2 190
  2. 2 190 delt på 5 = 438 (tusen kr)

M-12Samme datasett 300,320,330,340,900300, 320, 330, 340, 900: hva er medianen?

Vis fasit
Steg
Datasettet 300, 320, 330, 340, 900 har 5 tall, allerede sortert
den midterste (3.) er 330 (tusen kr)
  1. Datasettet 300, 320, 330, 340, 900 har 5 tall, allerede sortert
  2. den midterste (3.) er 330 (tusen kr)

M-13Hvorfor er medianen mer formålstjenlig enn gjennomsnittet i datasettet 300,320,330,340,900300, 320, 330, 340, 900?

Vis fasit
Steg
I datasettet 300, 320, 330, 340, 900 ligger gjennomsnittet 438 langt fra de fleste verdiene
medianen 330 viser bedre hva som er typisk
  1. I datasettet 300, 320, 330, 340, 900 ligger gjennomsnittet 438 langt fra de fleste verdiene
  2. medianen 330 viser bedre hva som er typisk
Vanskelig(3)

V-11Et datasett har variasjonsbredde 00. Hva forteller det deg?

Vis fasit
StegResultat
Størst minus minst0
alle verdiene må være like
  1. Størst minus minst = 0
  2. alle verdiene må være like

V-12Bytt ut 900900 med 1 2001\ 200 i datasettet 300,320,330,340,900300, 320, 330, 340, 900. Hvordan endres medianen sammenlignet med gjennomsnittet?

Vis fasit
Steg
Sortert blir det 300, 320, 330, 340, 1 200
midterste er fortsatt 330, mens gjennomsnittet stiger fra 438 til 498
  1. Sortert blir det 300, 320, 330, 340, 1 200
  2. midterste er fortsatt 330, mens gjennomsnittet stiger fra 438 til 498

V-13Et sortert datasett har 66 verdier. Hvordan finner du medianen?

Vis fasit
Steg
6 verdier er et partall antall, som gir 2 midterste tall
medianen er gjennomsnittet av dem
  1. 6 verdier er et partall antall, som gir 2 midterste tall
  2. medianen er gjennomsnittet av dem