Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 6 poeng

Nedenfor ser du de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i eliteserien 2022.

Rank	Spiller	Klubb	Mål
1	Amahl Pellegrino	Bodø/Glimt	25
2	Hugo Vetlesen	Bodø/Glimt	16
3	David Datro Fofana	Molde	15
3	Casper Tengstedt	Rosenborg	15
3	Tobias Heintz	Sarpsborg 08	15
6	Ole Hammerfjell Sæter	Rosenborg	14
7	Eric Bugale Kitolano	Tromsø	13
8	Runar Espejord	Bodø/Glimt	12
8	Mohamed Ofkir	Sandefjord	12
10	Ola Brynhildsen	Molde	11
10	Johan Hove	Strømsgodset	11

a) Bestem typetallet, variasjonsbredden og medianen for antall mål.

b) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mål.

For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7.

c) Hva kan du ut fra dette og beregningene i oppgave a) og b) si om de 11 fotballspillerne fra 2021 sammenliknet med de 11 fotballspillerne fra 2022?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal bestemme fire sentral-/spredningsmål for målscoringen i 2022 (a og b), og deretter sammenligne disse med de tilsvarende tallene for 2021 (c).

Strategi og formel: Sorter tallene for å finne typetall, variasjonsbredde og median. Regn ut gjennomsnittet som summen delt på antallet, og standardavviket som kvadratroten av gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet.

Trinnvis utregning:

Sortert: $11,11,12,12,13,14,15,15,15,16,25$
Typetall $=15$ (forekommer 3 ganger)
Variasjonsbredde $=25-11=14$
Median (6. verdi av 11) $=14$
Sum $=159$ , gjennomsnitt $=\dfrac{159}{11}\approx14{,}5$
Standardavvik: kvadratavvikene fra $14{,}5$ summert og delt på $11$ , deretter kvadratrot $\approx 3{,}7$

Svar: a) Typetallet er 15, variasjonsbredden er 14, og medianen er 14. b) Gjennomsnittet er ca. 14,5 mål, og standardavviket er ca. 3,7 mål. c) Gjennomsnittet er nesten identisk i de to sesongene (14,5 begge år), men 2022 har en MYE lavere spredning (standardavvik 3,7 mot 6,7) og en høyere median (14 mot 11) – toppscorerne i 2022 lå tettere samlet, mens 2021 trolig hadde noen få spillere med uvanlig mange mål som trakk gjennomsnittet opp uten at det gjenspeiles i medianen.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
5–6/6	Alle fire sentral-/spredningsmålene i a) og b) riktig bestemt, OG en sammenligning i c) som eksplisitt bruker BÅDE median- og standardavviksforskjellen til å si noe om fordelingen (ikke bare gjennomsnittet).
2–4/6	a) og b) riktige, men c) sammenligner kun gjennomsnittene (som er like) uten å bruke informasjonen om median og standardavvik til å si noe om spredningen.
0–1/6	Flere av sentralmålene i a)/b) er feil (f.eks. forveksler typetall og median), eller c) mangler en reell sammenligning.

Sensor-tips

c) er der de sterkeste besvarelsene skiller seg ut – siden gjennomsnittet er identisk begge år, MÅ en god sammenligning bruke medianen og standardavviket til å si noe om FORDELINGEN, ikke bare konstatere at gjennomsnittet er likt.
Typetall er lett å forveksle med median her siden begge kan ligge nær hverandre – sjekk at eleven faktisk har talt OPP FOREKOMSTER (15 forekommer 3 ganger) for typetallet, ikke bare plukket en verdi fra midten av den sorterte listen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 2P-Y matematikk, Høst 2023, Del 2, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 5 poeng

Tabellen nedenfor viser innbyggertallet i de ti største tettstedene i Norge i 2024.

#	Tettsted	Innbyggere
1	Oslo	1 098 061
2	Bergen	272 125
3	Stavanger/Sandnes	239 055
4	Trondheim	198 777
5	Drammen	124 540
6	Fredrikstad/Sarpsborg	121 679
7	Porsgrunn/Skien	96 695
8	Kristiansand	67 372
9	Tønsberg	55 939
10	Ålesund	55 684

a) Bestem medianen, gjennomsnittet, standardavviket og variasjonsbredden for innbyggertallet i de ti største tettstedene i Norge.

Kine og Håkon diskuterer hvilket sentralmål som er best å bruke for å beskrive datamaterialet. Håkon mener det er best å bruke gjennomsnittet. Kine mener det er best å bruke medianen.

b) Hvem er du mest enig med? Husk å begrunne svaret ditt.

Gjennomsnittet, medianen og standardavviket for de ti største tettstedene i Danmark er gitt i tabellen nedenfor.

Mål	Verdi
Gjennomsnitt	235 549
Median	67 832
Standardavvik	388 000

c) Hva kan du si om folketallet i de danske tettstedene sammenliknet med de norske ut fra tallene i tabellen og resultatene fra oppgave a)?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal bestemme fire sentral-/spredningsmål for innbyggertallet i de ti norske tettstedene (a), vurdere hvilket sentralmål som gir det mest rettvisende bildet (b), og sammenligne fordelingen med de danske tallene (c).

Strategi og formel: Sorter tallene, finn medianen som snittet av de to midterste (siden det er ti verdier), regn gjennomsnitt og standardavvik som vanlig, og bruk at Oslo er en tydelig UTLIGGER til å vurdere hvilket sentralmål som er mest robust.

Trinnvis utregning:

Sortert: $55\ 684,\ 55\ 939,\ 67\ 372,\ 96\ 695,\ 121\ 679,\ 124\ 540,\ 198\ 777,\ 239\ 055,\ 272\ 125,\ 1\ 098\ 061$
Median $= \dfrac{121\ 679+124\ 540}{2} \approx 123\ 110$
Gjennomsnitt $\approx 232\ 993$
Standardavvik $\approx 297\ 326$
Variasjonsbredde $= 1\ 098\ 061-55\ 684 = 1\ 042\ 377$

Svar: a) Median ≈ 123 110, gjennomsnitt ≈ 232 993, standardavvik ≈ 297 326, variasjonsbredde $=$ 1 042 377. b) Kine (medianen) gir det mest rettvisende bildet – Oslo er en ekstrem utligger som trekker gjennomsnittet langt over det de fleste tettstedene faktisk har. c) De danske tallene viser et LIKT gjennomsnitt (235 549 mot 232 993), men en MYE LAVERE median (67 832 mot 123 110) og et HØYERE standardavvik (388 000 mot 297 326) – dette tyder på at de danske tettstedene er enda skjevere fordelt enn de norske, med én svært dominerende by (København) og resten markert mindre.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 5 poeng)

Poeng	Krav
5/5	Alle fire målene i a) riktig bestemt, en begrunnet vurdering i b) som eksplisitt nevner Oslo som utligger, og en sammenligning i c) som bruker BÅDE medianen og standardavviket, ikke bare gjennomsnittet.
2–4/5	a) riktig, men b) mangler en begrunnelse utover en påstand, eller c) sammenligner kun gjennomsnittene (som er nesten like) uten å bruke medianforskjellen.
0–1/5	Feil i flere av utregningene i a) (spesielt medianen ved et partall datapunkter, som krever gjennomsnitt av de to midterste), eller b)/c) uten reell begrunnelse.

Sensor-tips

b) har ikke ett fasitsvar, men en god begrunnelse MÅ nevne at Oslo er en ekstremverdi som gjør gjennomsnittet mindre representativt enn medianen for et 'typisk' tettsted.
c) er den mest krevende deloppgaven – de nesten IDENTISKE gjennomsnittene skjuler at fordelingene er ganske forskjellige, noe bare median og standardavvik avslører. En besvarelse som kun sier «Danmark og Norge er ganske like» (basert på gjennomsnittet alene) har ikke fanget opp dette.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 2P-Y matematikk, Høst 2025, Del 2, Oppgave 2