Grensekostnad og grenseinntekt

GRENSEKOSTNADEN $K'(x)$ er den DERIVERTE av kostnadsfunksjonen. Den forteller omtrent hvor mye det koster å produsere ÉN EKSTRA enhet, når produksjonen allerede er $x$ . På samme måte er GRENSEINNTEKTEN $R'(x)$ den deriverte av inntektsfunksjonen: hvor mye ekstra inntekt gir den NESTE solgte enheten. Disse grensestørrelsene er sentrale i økonomisk beslutningstaking: er grenseinntekten større enn grensekostnaden, er det lønnsomt å produsere én til.

Grensekostnad

$K'(x) = \frac{dK}{dx}$

Grenseinntekt

$R'(x) = \frac{dR}{dx}$

Fra total til grense-størrelse
Total funksjon	Derivert (grensestørrelse)
Kostnadsfunksjon K(x)	Grensekostnad K'(x)
Inntektsfunksjon R(x)	Grenseinntekt R'(x)

K(x) = x² + 20x + 100: stigningstallet til tangenten i x = 10 er grensekostnaden K′(10) = 40

Tips

Grensekostnaden er en TILNÆRMING til kostnaden ved den NESTE enheten, ikke en eksakt kostnad for én bestemt enhet. Den er nøyaktig i grenseverdi-forstand, akkurat som andre deriverte.
Er grenseinntekten STØRRE enn grensekostnaden ved et gitt produksjonsnivå, øker profitten ved å produsere mer. Er den MINDRE, bør produksjonen reduseres.

Eksempel: Finne grensekostnad og grenseinntekt ved et produksjonsnivå

En bedrift har kostnadsfunksjon $K(x) = x^2 + 20x + 100$ og inntektsfunksjon $R(x) = -x^2 + 100x$ (begge i kr, $x$ i antall enheter). Finn grensekostnaden og grenseinntekten ved $x = 10$ enheter.

Løsning:

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen: $K'(x) = 2x + 20$
ved $x=10$ : $K'(10) = 2 \cdot 10 + 20 = 40$ kr
grenseinntekten er den deriverte av inntektsfunksjonen: $R'(x) = -2x + 100$
ved $x=10$ : $R'(10) = -2 \cdot 10 + 100 = 80$ kr. Ved $10$ enheter er grensekostnaden $40$ kr og grenseinntekten $80$ kr, siden grenseinntekten er høyere, er det lønnsomt å produsere flere enheter.

Grensestørrelser ved x=10
Størrelse	Verdi
Grensekostnad K'(10)	40 kr
Grenseinntekt R'(10)	80 kr
Konklusjon	Lønnsomt å produsere mer

Alternativ forklaring/metode: Regn ut kostnaden for én ekstra enhet direkte, uten derivasjon

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sammenligne to nære produksjonsnivåer direkte

I stedet for å derivere, kan du sammenligne $K(11)$ og $K(10)$ direkte: $K(10) = 100 + 200 + 100 = 400$ kr, $K(11) = 121 + 220 + 100 = 441$ kr, en differanse på $41$ kr: svært nær $K'(10) = 40$ kr. Denne metoden viser HVORFOR grensekostnaden kalles det den gjør (kostnaden ved én ekstra enhet), men gir bare en TILNÆRMING til den deriverte, ikke det eksakte svaret.

Direkte differanse vs. derivert
Metode	Resultat
K(11) − K(10) direkte	41 kr (tilnærming)
K'(10) (derivert)	40 kr (eksakt)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva forteller grensekostnaden $K'(x)$ deg?

Vis fasit

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen
tilnærmet kostnad for én ekstra enhet

Hva grensekostnaden forteller
Begrep	Betydning
Grensekostnad K'(x)	Tilnærmet kostnad for én ekstra enhet

L-12En kostnadsfunksjon er $K(x) = x^2 + 10x$ . Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Vis fasit

Deriver ledd for ledd: x² gir 2x, 10x gir 10
K'(x) = 2x + 10

Deriver K(x)=x²+10x
Ledd	Deriverte
x²	2x
10x	10
K'(x)	2x + 10

L-13Er grenseinntekten

60

kr og grensekostnaden

50

kr ved et gitt produksjonsnivå. Bør bedriften produsere mer?

Vis fasit

60 kr grenseinntekt mot 50 kr grensekostnad
ja, det er lønnsomt å produsere mer

Bør bedriften produsere mer?
Størrelse	Verdi
Grenseinntekt	60 kr
Grensekostnad	50 kr
Konklusjon	Lønnsomt å produsere mer

Middels(3)

M-11For $K(x) = x^2 + 10x$ , finn grensekostnaden ved $x = 5$ . Svar i kroner.

Vis fasit

K'(x) = 2x + 10
K'(5) = $2 \cdot 5 + 10 =$ 20 kr

Grensekostnad ved x=5
Steg	Verdi
K'(x)	2x + 10
K'(5)	2·5 + 10
Svar	20 kr

M-12En inntektsfunksjon er $R(x) = -x^2 + 80x$ . Finn grenseinntekten $R'(x)$ .

Vis fasit

Deriver ledd for ledd: -x² gir -2x, 80x gir 80
R'(x) = -2x + 80

Deriver R(x)=-x²+80x
Ledd	Deriverte
−x²	−2x
80x	80
R'(x)	−2x + 80

M-13For

R(x) = -x^2 + 80x

, finn grenseinntekten ved

x = 30

. Svar i kroner.

Vis fasit

R'(x) = -2x + 80
R'(30) = $-2 \cdot 30 + 80 = -60$ +80 = 20 kr

Grenseinntekt ved x=30
Steg	Verdi
R'(x)	−2x + 80
R'(30)	−2·30 + 80
Svar	20 kr

Vanskelig(3)

V-11For $K(x) = x^2 + 20x + 100$ og $R(x) = -x^2 + 100x$ , finn grensekostnad og grenseinntekt ved $x = 20$ .

Vis fasit

K'(x)=2x+20
K'(20)=60
R'(x)=-2x+100
R'(20)=60, altså like store

Grensestørrelser ved x=20
Størrelse	Verdi
K'(20)	60 kr
R'(20)	60 kr

V-12For $K(x) = x^2 + 20x + 100$ og $R(x) = -x^2 + 100x$ er grensekostnaden og grenseinntekten begge $60$ kr ved $x = 20$ . Hva betyr det, økonomisk sett, at grensekostnad og grenseinntekt er LIKE store?

Vis fasit

Grensekostnad og grenseinntekt er begge $60$ kr
profitt P(x)=R(x)-K(x) har P'(x)=R'(x)-K'(x)
er de like er P'(x)=0
dette er nettopp det kritiske punktet for maksimal profitt

Betydningen av like grensestørrelser
Situasjon	Betydning
K'(x) = R'(x)	Profittmaksimerende punkt (P'(x)=0)

V-13Forklar hvorfor grensekostnaden vanligvis ØKER med produksjonsnivået (som i $K'(x) = 2x + 20$ ), mens grenseinntekten ofte AVTAR (som i $R'(x) = -2x + 100$ ).

Vis fasit

K'(x)=2x+20 vokser med x
økende grensekostnad reflekterer stigende produksjonskostnader per enhet
avtakende grenseinntekt reflekterer at markedet mettes, og prisen må senkes for å selge mer

Trender i grensekostnad og grenseinntekt
Størrelse	Trend
Grensekostnad K'(x)=2x+20	Øker (dyrere ressurser ved høy produksjon)
Grenseinntekt R'(x)=−2x+100	Avtar (markedet mettes)