NumiSum

Grensekostnad og grenseinntekt

GRENSEKOSTNADEN K′(x)K'(x) er den DERIVERTE av kostnadsfunksjonen – den forteller omtrent hvor mye det koster å produsere ÉN EKSTRA enhet, når produksjonen allerede er xx. På samme måte er GRENSEINNTEKTEN R′(x)R'(x) den deriverte av inntektsfunksjonen: hvor mye ekstra inntekt gir den NESTE solgte enheten. Disse grensestørrelsene er sentrale i økonomisk beslutningstaking – er grenseinntekten større enn grensekostnaden, er det lønnsomt å produsere én til.

Grensekostnad

K′(x)=dKdxK'(x) = \frac{dK}{dx}

Grenseinntekt

R′(x)=dRdxR'(x) = \frac{dR}{dx}

Fra total til grense-størrelse
Total funksjonDerivert (grensestørrelse)
Kostnadsfunksjon K(x)Grensekostnad K'(x)
Inntektsfunksjon R(x)Grenseinntekt R'(x)

Tips

  • Grensekostnaden er en TILNÆRMING til kostnaden ved den NESTE enheten, ikke en eksakt kostnad for én bestemt enhet – den er nøyaktig i grenseverdi-forstand, akkurat som andre deriverte.
  • Er grenseinntekten STØRRE enn grensekostnaden ved et gitt produksjonsnivå, øker profitten ved å produsere mer. Er den MINDRE, bør produksjonen reduseres.

Eksempel: Finne grensekostnad og grenseinntekt ved et produksjonsnivå

En bedrift har kostnadsfunksjon K(x)=x2+20x+100K(x) = x^2 + 20x + 100 og inntektsfunksjon R(x)=−x2+100xR(x) = -x^2 + 100x (begge i kr, xx i antall enheter). Finn grensekostnaden og grenseinntekten ved x=10x = 10 enheter.

Grensestørrelser ved x=10
StørrelseVerdi
Grensekostnad K'(10)40 kr
Grenseinntekt R'(10)80 kr
KonklusjonLønnsomt å produsere mer
Løsning:
  1. Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen: K′(x)=2x+20K'(x) = 2x + 20
  2. ved x=10x=10: K′(10)=2⋅10+20=40K'(10) = 2 \cdot 10 + 20 = 40 kr
  3. grenseinntekten er den deriverte av inntektsfunksjonen: R′(x)=−2x+100R'(x) = -2x + 100
  4. ved x=10x=10: R′(10)=−2⋅10+100=80R'(10) = -2 \cdot 10 + 100 = 80 kr. Ved 1010 enheter er grensekostnaden 4040 kr og grenseinntekten 8080 kr – siden grenseinntekten er høyere, er det lønnsomt å produsere flere enheter.
Alternativ forklaring/metode: Regn ut kostnaden for én ekstra enhet direkte, uten derivasjon

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sammenligne to nære produksjonsnivåer direkte

I stedet for å derivere, kan du sammenligne K(11)K(11) og K(10)K(10) direkte: K(10)=100+200+100=400K(10) = 100 + 200 + 100 = 400 kr, K(11)=121+220+100=441K(11) = 121 + 220 + 100 = 441 kr, en differanse på 4141 kr – svært nær K′(10)=40K'(10) = 40 kr. Denne metoden viser HVORFOR grensekostnaden kalles det den gjør (kostnaden ved én ekstra enhet), men gir bare en TILNÆRMING til den deriverte, ikke det eksakte svaret.

Direkte differanse vs. derivert
MetodeResultat
K(11) − K(10) direkte41 kr (tilnærming)
K'(10) (derivert)40 kr (eksakt)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva forteller grensekostnaden K′(x)K'(x) deg?

Vis fasit
Hva grensekostnaden forteller
BegrepBetydning
Grensekostnad K'(x)Tilnærmet kostnad for én ekstra enhet
  1. Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen
  2. tilnærmet kostnad for én ekstra enhet

L-12En kostnadsfunksjon er K(x)=x2+10xK(x) = x^2 + 10x. Finn grensekostnaden K′(x)K'(x).

Vis fasit
Deriver K(x)=x²+10x
LeddDeriverte
x²2x
10x10
K'(x)2x + 10
  1. Deriver ledd for ledd: x² gir 2x, 10x gir 10
  2. K'(x) = 2x + 10

L-13Er grenseinntekten 6060 kr og grensekostnaden 5050 kr ved et gitt produksjonsnivå. Bør bedriften produsere mer?

Vis fasit
Bør bedriften produsere mer?
StørrelseVerdi
Grenseinntekt60 kr
Grensekostnad50 kr
KonklusjonLønnsomt å produsere mer
  1. 60 kr grenseinntekt mot 50 kr grensekostnad
  2. ja, det er lønnsomt å produsere mer
Middels(3)

M-11For K(x)=x2+10xK(x) = x^2 + 10x, finn grensekostnaden ved x=5x = 5.

Vis fasit
Grensekostnad ved x=5
StegVerdi
K'(x)2x + 10
K'(5)2·5 + 10
Svar20 kr
  1. K'(x) = 2x + 10
  2. K'(5) = 2 gange 5 + 10 = 20 kr

M-12En inntektsfunksjon er R(x)=−x2+80xR(x) = -x^2 + 80x. Finn grenseinntekten R′(x)R'(x).

Vis fasit
Deriver R(x)=-x²+80x
LeddDeriverte
−x²−2x
80x80
R'(x)−2x + 80
  1. Deriver ledd for ledd: -x² gir -2x, 80x gir 80
  2. R'(x) = -2x + 80

M-13For R(x)=−x2+80xR(x) = -x^2 + 80x, finn grenseinntekten ved x=30x = 30.

Vis fasit
Grenseinntekt ved x=30
StegVerdi
R'(x)−2x + 80
R'(30)−2·30 + 80
Svar20 kr
  1. R'(x) = -2x + 80
  2. R'(30) = -2 gange 30 + 80 = -60+80 = 20 kr
Vanskelig(3)

V-11For K(x)=x2+20x+100K(x) = x^2 + 20x + 100 og R(x)=−x2+100xR(x) = -x^2 + 100x, finn grensekostnad og grenseinntekt ved x=20x = 20.

Vis fasit
Grensestørrelser ved x=20
StørrelseVerdi
K'(20)60 kr
R'(20)60 kr
  1. K'(x)=2x+20
  2. K'(20)=60
  3. R'(x)=-2x+100
  4. R'(20)=60, altså like store

V-12Hva betyr det, økonomisk sett, at grensekostnad og grenseinntekt er LIKE store (som i forrige oppgave)?

Vis fasit
Betydningen av like grensestørrelser
SituasjonBetydning
K'(x) = R'(x)Profittmaksimerende punkt (P'(x)=0)
  1. Profitt P(x)=R(x)-K(x) har P'(x)=R'(x)-K'(x)
  2. er de like er P'(x)=0
  3. dette er nettopp det kritiske punktet for maksimal profitt

V-13Forklar hvorfor grensekostnaden vanligvis ØKER med produksjonsnivået (som i K′(x)=2x+20K'(x) = 2x + 20), mens grenseinntekten ofte AVTAR (som i R′(x)=−2x+100R'(x) = -2x + 100).

Vis fasit
Trender i grensekostnad og grenseinntekt
StørrelseTrend
Grensekostnad K'(x)=2x+20Øker (dyrere ressurser ved høy produksjon)
Grenseinntekt R'(x)=−2x+100Avtar (markedet mettes)
  1. K'(x)=2x+20 vokser med x
  2. økende grensekostnad reflekterer stigende produksjonskostnader per enhet
  3. avtakende grenseinntekt reflekterer at markedet mettes, og prisen må senkes for å selge mer