NumiSum

Fra grensekostnad til totalkostnad

Kjenner du grensekostnaden K′(x)K'(x), kan du bruke det BESTEMTE INTEGRALET til å finne den TOTALE kostnadsendringen mellom to produksjonsnivåer: ∫abK′(x) dx=K(b)−K(a)\int_a^b K'(x)\, dx = K(b) - K(a). Dette er analysens fundamentalteorem satt i en økonomisk sammenheng. Du går fra en RATE (grensekostnad) til en TOTAL størrelse (kostnadsendring) ved å integrere.

Total kostnadsendring

∫abK′(x) dx=K(b)−K(a)\int_a^b K'(x)\, dx = K(b) - K(a)

Fra grensekostnad til total kostnadsendring
KjentFinner via integral
Grensekostnad K'(x)Total kostnadsendring fra a til b
Formel∫ₐᵇ K'(x) dx = K(b) − K(a)

Tips

  • Dette er BARE analysens fundamentalteorem brukt på en kostnadsfunksjon: samme metode som i forrige tema, bare med økonomisk tolkning på symbolene.
  • Integralet av grensekostnaden gir deg kostnadsENDRINGEN mellom to nivåer, IKKE totalkostnaden fra null, for det trenger du også en kjent startverdi K(a)K(a).
  • Kontroller svaret hvis den fulle kostnadsfunksjonen K(x) er kjent. Kjenner du (i tillegg til grensekostnaden) selve kostnadsfunksjonen K(x)=x2+20x+100K(x) = x^2 + 20x + 100, kan du kontrollere svaret direkte: K(20)−K(10)=(400+400+100)−(100+200+100)=900−400=500K(20) - K(10) = (400+400+100) - (100+200+100) = 900 - 400 = 500 kr: samme svar som integral-metoden. Denne kontrollen fungerer kun når du faktisk kjenner hele kostnadsfunksjonen, ikke bare grensekostnaden, i mange praktiske situasjoner er nettopp grensekostnaden det eneste som er MÅLT (for eksempel fra en produksjonslogg), og da er integral-metoden den eneste veien.

Eksempel: Finne total kostnadsøkning fra grensekostnaden

En bedrifts grensekostnad er K′(x)=2x+20K'(x) = 2x + 20 (kr per enhet). Finn den totale kostnadsøkningen når produksjonen økes fra x=10x=10 til x=20x=20 enheter.

Løsning:
  1. Vi skal finne totalendringen fra en kjent rate, altså integralet av grensekostnaden: ∫1020(2x+20) dx\int_{10}^{20} (2x+20)\, dx
  2. finn antideriverten: F(x)=x2+20xF(x) = x^2 + 20x (siden F′(x)=2x+20F'(x) = 2x+20)
  3. bruk fundamentalteoremet: F(20)−F(10)=(400+400)−(100+200)=800−300F(20) - F(10) = (400+400) - (100+200) = 800 - 300. Den totale kostnadsøkningen er 500500 kr.
Fra grensekostnad til totalendring
StegUttrykk
AntiderivertF(x) = x² + 20x
F(20)800
F(10)300
Total kostnadsøkning500 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva gir integralet av en grensekostnad K′(x)K'(x) over et intervall [a,b][a,b]?

Vis fasit
  1. Integral av en rate gir en total endring
  2. total kostnadsendring fra a til b
Hva integralet av K'(x) gir
UttrykkGir
∫ₐᵇ K'(x) dxTotal kostnadsendring fra a til b

L-22En grensekostnad er konstant K′(x)=15K'(x) = 15 kr per enhet. Hva er totalendringen fra x=0x=0 til x=10x=10? Svar i kroner.

Vis fasit
  1. Konstant rate 15 kr i 10 enheter
  2. 15⋅10=15 \cdot 10 = 150 kr
Totalendring ved konstant grensekostnad
StegVerdi
Rate15 kr
Antall enheter10
Totalendring150 kr

L-23Hvilket verktøy fra forrige tema (§ bestemt integral) brukes til å gå fra grensekostnad til total kostnadsendring?

Vis fasit
  1. Koblingen mellom rate og total endring er
  2. analysens fundamentalteorem
Verktøyet for overgangen
OvergangVerktøy
Grensekostnad → total kostnadsendringAnalysens fundamentalteorem
Middels(3)

M-21Grensekostnaden er K′(x)=3xK'(x) = 3x. Finn total kostnadsøkning fra x=0x=0 til x=6x=6. Svar i kroner.

Vis fasit
  1. Fra x=0 til x=6, antiderivert F(x)=1,5x²
  2. F(6)-F(0) = 54 - 0 = 54 kr
Totalendring for K'(x)=3x
StegVerdi
Antiderivert F(x)1,5x²
F(6)54
F(0)0
Totalendring54 kr

M-22Grensekostnaden er K′(x)=2x+10K'(x) = 2x + 10. Finn total kostnadsøkning fra x=5x=5 til x=15x=15. Svar i kroner.

Vis fasit
  1. Antiderivert F(x)=x²+10x
  2. F(15)-F(5) = 375 - 75 = 300 kr
Totalendring for K'(x)=2x+10
StegVerdi
Antiderivert F(x)x² + 10x
F(15)375
F(5)75
Totalendring300 kr

M-23Grenseinntekten er R′(x)=50−xR'(x) = 50 - x. Finn total inntektsøkning fra x=0x=0 til x=20x=20. Svar i kroner.

Vis fasit
  1. Antiderivert F(x)=50x-0,5x²
  2. F(20)-F(0) = (1 000-200) - 0 = 800 kr
Totalendring for R'(x)=50-x
StegVerdi
Antiderivert F(x)50x − 0,5x²
F(20)800
F(0)0
Totalendring800 kr
Vanskelig(3)

V-21En grensekostnad er K′(x)=4x+5K'(x) = 4x + 5. Kostnadsfunksjonen er K(x)=2x2+5x+50K(x) = 2x^2 + 5x + 50. Kontroller ved å finne ∫28K′(x) dx\int_2^8 K'(x)\, dx OG K(8)−K(2)K(8) - K(2), og sjekk at de er like.

Vis fasit
  1. Antiderivert av K'(x) er 2x²+5x
  2. F(8)-F(2) = (128+40)-(8+10) = 168-18 = 150 kr
  3. direkte: K(8)-K(2) = 218-68 = 150 kr
  4. begge metoder gir 150 kr
Kontroll: integral vs. direkte
MetodeResultat
Integral-metode150 kr
Direkte K(8) − K(2)150 kr

V-22Hvorfor er integral-metoden nyttig selv når du IKKE kjenner hele kostnadsfunksjonen K(x)K(x), bare grensekostnaden K′(x)K'(x)?

Vis fasit
  1. Grensekostnad er ofte det som faktisk MÅLES i praksis
  2. integral-metoden gir totalendringen uten å trenge hele K(x)
Hvorfor integral-metoden er nyttig
KjentTrengs
Grensekostnad K'(x)Ofte det som faktisk måles
Total kostnadsendringKan finnes uten å kjenne K(x)

V-23En bedrift måler grensekostnaden ved flere produksjonsnivåer, men har aldri satt opp en full kostnadsfunksjon. Hvordan kan de likevel finne den totale kostnadsøkningen fra 50 til 100 enheter?

Vis fasit
  1. Fra 50 til 100 enheter kan grensekostnadsdata likevel integreres uten en kjent K(x)-formel
  2. ∫₅₀¹⁰⁰ K'(x)dx gir totalendringen, selv uten en eksplisitt K(x)
Total kostnadsøkning uten kjent K(x)
MetodeResultat
Integrer målt grensekostnad fra 50 til 100Gir totalendringen uten kjent K(x)