Eksamensoppgaver – Grensestørrelser, derivasjon og integrasjon i økonomi (S2)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 1 – Oppgave 5

Uten hjelpemidler – 2 poeng

La $K(x)$ være kostnadsfunksjonen til en bedrift som produserer $x$ enheter av en vare, og la $E(x)$ være enhetskostnaden. La $x_0$ være antallet enheter som gir den laveste enhetskostnaden. Vis at grensekostnaden er lik enhetskostnaden for $x=x_0$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Dette er et GENERELT bevis, ikke et regnestykke med konkrete tall: vi skal vise at når enhetskostnaden $E(x)=\dfrac{K(x)}{x}$ er på sitt laveste, er den nøyaktig lik grensekostnaden $K'(x)$ – for EN HVILKEN SOM HELST kostnadsfunksjon $K$ , ikke bare én bestemt.

Strategi og formel: Bruk at $E(x)$ har et minimum nettopp der $E'(x)=0$ . Deriver $E(x)=\dfrac{K(x)}{x}$ med brøkregelen, sett uttrykket lik null ved $x=x_0$ , og løs for å se hva likningen faktisk sier.

Trinnvis utregning:

Enhetskostnaden er $E(x)=\dfrac{K(x)}{x}$
derivert med brøkregelen: $E'(x)=\dfrac{K'(x)\cdot x - K(x)\cdot 1}{x^2}=\dfrac{K'(x)\cdot x - K(x)}{x^2}$ . Den laveste enhetskostnaden er der $E'(x_0)=0$ : $\dfrac{K'(x_0)\cdot x_0 - K(x_0)}{x_0^2}=0$
$K'(x_0)\cdot x_0 - K(x_0)=0$
$K'(x_0)\cdot x_0 = K(x_0)$ . Del begge sider på $x_0$ (siden $x_0>0$ )
$K'(x_0)=\dfrac{K(x_0)}{x_0}$
men $\dfrac{K(x_0)}{x_0}$ er nettopp definisjonen av $E(x_0)$ – altså $K'(x_0)=E(x_0)$ .

Svar: Vist: når $E(x)$ er lavest ved $x=x_0$ , er grensekostnaden $K'(x_0)$ nøyaktig lik enhetskostnaden $E(x_0)$ , altså $K'(x_0)=E(x_0)$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Deriverer $E(x)=\frac{K(x)}{x}$ riktig med brøkregelen, setter $E'(x_0)=0$ , og fører den algebraiske omformingen helt fram til $K'(x_0)=E(x_0)$ med en tydelig konklusjon.
1/2	Deriverer $E(x)$ riktig og setter opp $E'(x_0)=0$ , men fullfører ikke den algebraiske omformingen fram til konklusjonen $K'(x_0)=E(x_0)$ .
0/2	Deriverer $E(x)$ feil (f.eks. glemmer brøkregelen og deriverer $K(x)$ og $x$ hver for seg), eller prøver å «bevise» påstanden med et konkret tallformel for $K$ i stedet for generelt.

Sensor-tips

Dette er et bevisoppgave uten konkrete tall – godta IKKE et «bevis» som bare viser påstanden for én valgt $K(x)$ ; eleven skal jobbe generelt med symbolene $K(x)$ og $x_0$ .
Den vanligste feilen er å glemme brøkregelen for derivasjon og skrive $E'(x)=K'(x)-\frac{K(x)}{x^2}$ eller lignende – sjekk at telleren i $E'(x)$ faktisk er $K'(x)\cdot x - K(x)$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S2 matematikk, Vår 2024, Del 1, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 5 poeng

En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden $K(x)$ kroner ved å produsere $x$ enheter av varen per dag er gitt ved $K(x) = 700\cdot e^{\frac{x}{200}}, \quad x \in [0, 500]$

a) Bestem $K'(150)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

b) Bestem produksjonsmengden som gir den laveste enhetskostnaden. Hva blir denne enhetskostnaden?

Bedriften selger alle varene den produserer. Inntekten $I(x)$ kroner ved salg av $x$ enheter av varen per dag er gitt ved $I(x) = 80x - 0{,}10x^2$

c) Hvor mange enheter av varen må bedriften produsere og selge for å gå med overskudd?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Grensekostnaden ved 150 enheter (a), produksjonsmengden som gir LAVEST enhetskostnad (b, samme prinsipp som forrige oppgave men nå med et konkret uttrykk), og til slutt hvilket produksjonsintervall som faktisk gir OVERSKUDD, altså positiv profitt (c).

Strategi og formel: a) Deriver $K$ og sett inn $x=150$ . b) Bruk resultatet fra forrige oppgave: enhetskostnaden er lavest der grensekostnaden $K'(x)$ er lik enhetskostnaden $E(x)=\frac{K(x)}{x}$ – sett disse to uttrykkene like og løs for $x$ . c) Overskuddet er $O(x)=I(x)-K(x)$ ; finn hvor $O(x)>0$ innenfor definisjonsområdet.

Trinnvis utregning:

a) $K'(x)=700\cdot\dfrac{1}{200}\cdot e^{x/200}=3{,}5\cdot e^{x/200}$
$K'(150)=3{,}5\cdot e^{0{,}75}\approx 3{,}5\cdot 2{,}117\approx 7{,}41$ . Praktisk tolkning: Ved en produksjon på 150 enheter øker kostnaden med omtrent $7{,}41$ kroner per ekstra enhet som produseres (grensekostnaden). b) Enhetskostnaden er $E(x)=\dfrac{K(x)}{x}=\dfrac{700e^{x/200}}{x}$ . Den er lavest der $K'(x)=E(x)$ (vist i forrige oppgave): $3{,}5e^{x/200}=\dfrac{700e^{x/200}}{x}$
$3{,}5=\dfrac{700}{x}$
$x=\dfrac{700}{3{,}5}=200$ . $E(200)=\dfrac{700e^{\frac{200}{200}}}{200}=3{,}5e$
$\approx 3{,}5\cdot 2{,}71828\approx 9{,}51$ kroner per enhet. c) $O(x)=I(x)-K(x)=80x-0{,}10x^2-700e^{x/200}$
ved $x=0$ : $O(0)=-700$ (bedriften taper penger uten salg, siden $K(0)=700$ )
$O(x)$ blir positiv når $x$ passerer omtrent $9{,}27$ (funnet numerisk/grafisk med graftegner), og forblir positiv helt til $x=500$ (grensen av definisjonsområdet) – $O(x)$ vokser videre fordi inntekten fortsatt overstiger kostnaden i hele det tillatte intervallet.

Svar: a) $K'(150)\approx 7{,}41$ kr/enhet (grensekostnaden ved 150 enheter). b) Laveste enhetskostnad ved $x=200$ enheter, enhetskostnad $\approx 9{,}51$ kr. c) Bedriften går med overskudd for alle hele antall enheter fra og med $10$ enheter og oppover (til og med $500$ ).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 5 poeng)

Poeng	Krav
5/5	Deriverer $K$ riktig og finner $K'(150)\approx 7{,}41$ med praktisk tolkning i a), setter $K'(x)=E(x)$ og finner riktig $x=200$ med enhetskostnad $\approx 9{,}51$ i b), og finner (grafisk/numerisk) riktig at bedriften går med overskudd fra og med $x\approx 9{,}3$ , altså minst 10 hele enheter, i c).
3/5	Riktig i a) og b), men i c) settes bare $O(x)>0$ opp uten å faktisk løse ulikheten numerisk/grafisk, eller det oppgis feil grense.
1/5	Finner riktig $K'(x)=3{,}5e^{x/200}$ , men gjør en innsettingsfeil ved $x=150$ , og har ingen fungerende strategi for b) eller c).
0/5	Deriverer $K(x)$ feil (f.eks. glemmer kjerneregelen for $e^{x/200}$ ).

Sensor-tips

Den vanligste feilen i a) er å glemme kjerneregelen og skrive $K'(x)=700e^{x/200}$ (uten faktoren $\frac{1}{200}$ ) – sjekk at eleven har $3{,}5e^{x/200}$ , ikke $700e^{x/200}$ .
I c) forventes bruk av graftegner/CAS til å løse $O(x)>0$ numerisk – godta ethvert digitalt verktøy som gir samme svarintervall, det er ikke meningen at ulikheten løses algebraisk for hånd.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S2 matematikk, Høst 2025, Del 2, Oppgave 2