Modellere med ulike funksjonstyper

Et reelt datasett kan modelleres med ULIKE funksjonstyper, lineær, kvadratisk, eksponentiell, og valget avhenger av MØNSTERET i dataene. Er DIFFERANSEN mellom påfølgende verdier KONSTANT, passer en lineær modell. Er FORHOLDSTALLET (kvotienten) mellom påfølgende verdier konstant, passer en eksponentiell modell. Er den ANDREDIFFERANSEN (differansen mellom differanser) konstant, passer en kvadratisk modell.

Lineær modell

$y = a + bx$

Kvadratisk modell

$y = ax^2 + bx + c$

Hvilket mønster avslører hvilken funksjonstype
Mønster i dataene	Passende modell
Konstant differanse	Lineær
Konstant forholdstall	Eksponentiell
Konstant andredifferanse	Kvadratisk

y = 5 + 4x: punktene (0, 5), (1, 9), (2, 13), (3, 17) ligger på en rett linje

Tips

Sjekk ALLTID differanser og forholdstall i denne rekkefølgen: konstant differanse → lineær, konstant forholdstall → eksponentiell, konstant ANDREdifferanse → kvadratisk. De fleste datasett avslører mønsteret sitt raskt på denne måten.
Et datasett med negative eller null-verdier kan ALDRI modelleres eksponentielt (siden $b^x > 0$ alltid for en vanlig eksponentialfunksjon): sjekk fortegnet på dataene FØR du velger modell.
Bekreft ved å sjekke at forholdstallene IKKE er konstante. For å være sikker på at eksponentiell modell IKKE passer bedre, sjekk forholdstallene: $\frac{9}{5} = 1{,}8$ , $\frac{13}{9} \approx 1{,}44$ , $\frac{17}{13} \approx 1{,}31$ . Disse er TYDELIG ulike (ikke konstante), som bekrefter at en eksponentiell modell ikke passer. Dette er en nyttig dobbeltsjekk når differansen ser konstant ut, men du vil være helt sikker.

Eksempel: Bestemme riktig funksjonstype for et datasett

Et datasett har verdiene $y = 5, 9, 13, 17$ ved $x = 0, 1, 2, 3$ . Er dette bedre modellert med en lineær eller en eksponentiell funksjon? Sett opp modellen.

Løsning:

Vi sjekker differansene mellom påfølgende verdier: $9-5=4$ , $13-9=4$ , $17-13=4$
differansen er KONSTANT ( $4$ )
dette er et tegn på en LINEÆR modell, ikke eksponentiell (som ville hatt et konstant FORHOLDSTALL i stedet)
modellen er $y = a + bx$ med stigningstall $b = 4$ og skjæringspunkt $a = 5$ (verdien ved $x=0$ ). Datasettet modelleres best med $y = 5 + 4x$ , en LINEÆR modell.

Sjekke differansene
Fra x til x+1	Differanse
0 → 1	9−5 = 4
1 → 2	13−9 = 4
2 → 3	17−13 = 4

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hvilket mønster i et datasett indikerer at en LINEÆR modell passer?

Vis fasit

Lineær vekst har jevnt tillegg
konstant differanse er tegnet på en lineær modell

Mønster og modelltype
Mønster	Modell
Konstant differanse	Lineær

L-22Hvilket mønster i et datasett indikerer at en EKSPONENTIELL modell passer?

Vis fasit

Eksponentiell vekst har jevn multiplikasjon
konstant forholdstall er tegnet på en eksponentiell modell

Mønster og modelltype
Mønster	Modell
Konstant forholdstall	Eksponentiell

L-23Et datasett har verdiene $y = 3, 6, 12, 24$ . Er forholdstallet mellom påfølgende verdier konstant? Hva er det i så fall?

Vis fasit

$\frac{6}{3}$ =2, $\frac{12}{6}$ =2, $\frac{24}{12}$ =2
konstant forholdstall på 2

Sjekk forholdstallet
Par	Forholdstall
6 : 3	2
12 : 6	2
24 : 12	2

Middels(3)

M-21Et datasett har verdiene $y = 2, 5, 10, 17, 26$ ved $x = 0,1,2,3,4$ . Regn ut de første differansene.

Vis fasit

5-2=3, 10-5=5, 17-10=7, 26-17=9
3, 5, 7, 9

Regn ut differansene
Fra x til x+1	Differanse
0 → 1	3
1 → 2	5
2 → 3	7
3 → 4	9

M-22Et datasett har verdiene $y = 2, 5, 10, 17, 26$ ved $x = 0,1,2,3,4$ . De første differansene er $3, 5, 7, 9$ . Regn ut andredifferansene (differansen mellom differansene), og avgjør hvilken modelltype som passer.

Vis fasit

5-3=2, 7-5=2, 9-7=2
konstant andredifferanse
kvadratisk modell passer

Regn ut andredifferansene
Andredifferanse	Verdi
5 − 3	2
7 − 5	2
9 − 7	2 – kvadratisk modell

M-23Stoppelengden til en bil er modellert med $d(v) = 0{,}01v^2 + 0{,}2v$ (meter, $v$ i km/t). Finn $d(50)$ og $d(100)$ .

Vis fasit

d(50) = 0,01·2 500+0,2·50 = 25+10 = 35
d(100) = 0,01·10 000+0,2·100 = 100+20 = 120 m

Stoppelengde ved ulik fart
v	d(v)
50	35 m
100	120 m

Vanskelig(3)

V-21Finn $d'(v)$ for stoppelengdemodellen $d(v) = 0{,}01v^2 + 0{,}2v$ , og regn ut $d'(80)$ .

Vis fasit

d'(v) = 0,02v + 0,2
d'(80) = 0,02·80+0,2 = 1,6+0,2 = 1,8 meter ekstra stoppelengde per km/t økt fart

Deriver stoppelengden
Funksjon	Derivert	d'(80)
d(v) = 0,01v² + 0,2v	d'(v) = 0,02v + 0,2	1,8

V-22Forklar hva $d'(80) = 1{,}8$ betyr i praksis for en bilfører.

Vis fasit

Ved v=80: d'(v) er RATEN stoppelengden vokser med
hver ekstra km/t koster ca. 1,8 m lengre stoppelengde

Tolk d'(80)
Størrelse	Betydning
d'(80) = 1,8	+1 km/t ≈ +1,8 m stoppelengde

V-23Et datasett har verdiene $y = 4, 4, 4, 4$ (konstant) ved $x=0,1,2,3$ . Hvilken enkel funksjonstype passer perfekt, og hvorfor er den et spesialtilfelle av BÅDE en lineær OG en potensmodell?

Vis fasit

Verdiene er alle 4, konstant differanse 0
lineær med b=0
y=4 er både 'lineær med stigning 0' og ' $4 \cdot x^{0}$ '

En konstant funksjon som to modelltyper
Form	Uttrykk
Lineær (b = 0)	y = 4 + 0x
Potens (eksponent 0)	y = 4x⁰