Modellere med ulike funksjonstyper

Et reelt datasett kan modelleres med ULIKE funksjonstyper – lineær, kvadratisk, eksponentiell – og valget avhenger av MØNSTERET i dataene. Er DIFFERANSEN mellom påfølgende verdier KONSTANT, passer en lineær modell. Er FORHOLDSTALLET (kvotienten) mellom påfølgende verdier konstant, passer en eksponentiell modell. Er den ANDREDIFFERANSEN (differansen mellom differanser) konstant, passer en kvadratisk modell.

Lineær modell

$y = a + bx$

Kvadratisk modell

$y = ax^2 + bx + c$

Hvilket mønster avslører hvilken funksjonstype
Mønster i dataene	Passende modell
Konstant differanse	Lineær
Konstant forholdstall	Eksponentiell
Konstant andredifferanse	Kvadratisk

Tips

Sjekk ALLTID differanser og forholdstall i denne rekkefølgen: konstant differanse → lineær, konstant forholdstall → eksponentiell, konstant ANDREdifferanse → kvadratisk – de fleste datasett avslører mønsteret sitt raskt på denne måten.
Et datasett med negative eller null-verdier kan ALDRI modelleres eksponentielt (siden $b^x > 0$ alltid for en vanlig eksponentialfunksjon) – sjekk fortegnet på dataene FØR du velger modell.

Eksempel: Bestemme riktig funksjonstype for et datasett

Et datasett har verdiene $y = 5, 9, 13, 17$ ved $x = 0, 1, 2, 3$ . Er dette bedre modellert med en lineær eller en eksponentiell funksjon? Sett opp modellen.

Sjekke differansene
Fra x til x+1	Differanse
0 → 1	9−5 = 4
1 → 2	13−9 = 4
2 → 3	17−13 = 4

Løsning:

Vi sjekker differansene mellom påfølgende verdier: $9-5=4$ , $13-9=4$ , $17-13=4$
differansen er KONSTANT ( $4$ )
dette er et tegn på en LINEÆR modell, ikke eksponentiell (som ville hatt et konstant FORHOLDSTALL i stedet)
modellen er $y = a + bx$ med stigningstall $b = 4$ og skjæringspunkt $a = 5$ (verdien ved $x=0$ ). Datasettet modelleres best med $y = 5 + 4x$ , en LINEÆR modell.

Alternativ forklaring/metode: Bekreft ved å sjekke at forholdstallene IKKE er konstante

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sjekke forholdstall for å utelukke eksponentiell modell

For å være sikker på at eksponentiell modell IKKE passer bedre, sjekk forholdstallene: $\frac{9}{5} = 1{,}8$ , $\frac{13}{9} \approx 1{,}44$ , $\frac{17}{13} \approx 1{,}31$ – disse er TYDELIG ulike (ikke konstante), som bekrefter at en eksponentiell modell ikke passer. Dette er en nyttig dobbeltsjekk når differansen ser konstant ut, men du vil være helt sikker.

Sjekk forholdstallene
Par	Forholdstall
9 : 5	1,8
13 : 9	1,44
17 : 13	1,31 – ikke konstant

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hvilket mønster i et datasett indikerer at en LINEÆR modell passer?

Vis fasit

Mønster og modelltype
Mønster	Modell
Konstant differanse	Lineær

Lineær vekst har jevnt tillegg
konstant differanse er tegnet på en lineær modell

L-22Hvilket mønster i et datasett indikerer at en EKSPONENTIELL modell passer?

Vis fasit

Mønster og modelltype
Mønster	Modell
Konstant forholdstall	Eksponentiell

Eksponentiell vekst har jevn multiplikasjon
konstant forholdstall er tegnet på en eksponentiell modell

L-23Et datasett har verdiene

y = 3, 6, 12, 24

. Er forholdstallet mellom påfølgende verdier konstant? Hva er det i så fall?

Vis fasit

Sjekk forholdstallet
Par	Forholdstall
6 : 3	2
12 : 6	2
24 : 12	2

$\frac{6}{3}$ =2, $\frac{12}{6}$ =2, $\frac{24}{12}$ =2
konstant forholdstall på 2

Middels(3)

M-21Et datasett har verdiene $y = 2, 5, 10, 17, 26$ ved $x = 0,1,2,3,4$ . Regn ut de første differansene.

Vis fasit

Regn ut differansene
Fra x til x+1	Differanse
0 → 1	3
1 → 2	5
2 → 3	7
3 → 4	9

5-2=3, 10-5=5, 17-10=7, 26-17=9
3, 5, 7, 9

M-22Regn ut andredifferansene (differansen mellom differansene) fra forrige oppgave, og avgjør hvilken modelltype som passer.

Vis fasit

Regn ut andredifferansene
Andredifferanse	Verdi
5 − 3	2
7 − 5	2
9 − 7	2 – kvadratisk modell

5-3=2, 7-5=2, 9-7=2
konstant andredifferanse
kvadratisk modell passer

M-23Stoppelengden til en bil er modellert med

d(v) = 0,01v^2 + 0,2v

(meter,

v

i km/t). Finn

d(50)

d(100)

Vis fasit

Stoppelengde ved ulik fart
v	d(v)
50	35 m
100	120 m

d(50) = 0,01·2 500+0,2·50 = 25+10 = 35
d(100) = 0,01·10 000+0,2·100 = 100+20 = 120 m

Vanskelig(3)

V-21Finn

d'(v)

for stoppelengdemodellen

d(v) = 0,01v^2 + 0,2v

, og regn ut

d'(80)

Vis fasit

Deriver stoppelengden
Funksjon	Derivert	d'(80)
d(v) = 0,01v² + 0,2v	d'(v) = 0,02v + 0,2	1,8

d'(v) = 0,02v + 0,2
d'(80) = 0,02·80+0,2 = 1,6+0,2 = 1,8 meter ekstra stoppelengde per km/t økt fart

V-22Forklar hva

d'(80) = 1{,}8

betyr i praksis for en bilfører.

Vis fasit

Tolk d'(80)
Størrelse	Betydning
d'(80) = 1,8	+1 km/t ≈ +1,8 m stoppelengde

Ved v=80: d'(v) er RATEN stoppelengden vokser med
hver ekstra km/t koster ca. 1,8 m lengre stoppelengde

V-23Et datasett har verdiene

y = 4, 4, 4, 4

(konstant) ved

x=0,1,2,3

. Hvilken enkel funksjonstype passer perfekt, og hvorfor er den et spesialtilfelle av BÅDE en lineær OG en potensmodell?

Vis fasit

En konstant funksjon som to modelltyper
Form	Uttrykk
Lineær (b = 0)	y = 4 + 0x
Potens (eksponent 0)	y = 4x⁰

Verdiene er alle 4, konstant differanse 0
lineær med b=0
y=4 er både 'lineær med stigning 0' og '4 gange x opphøyd i 0'