Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 6 poeng

Tabellen nedenfor viser elektrisk spenning målt i en stikkontakt i Norge.

Sekunder etter at målingene startet ( $t$ )	$0{,}0020$	$0{,}0050$	$0{,}0070$	$0{,}0100$	$0{,}0130$	$0{,}0150$	$0{,}0180$	$0{,}0200$
Målt spenning ( $U$ )	$189$	$323$	$259$	$-2{,}12$	$-261$	$-327$	$-189$	$3{,}52$

a) Bestem en modell $U$ for spenningen $U(t)$ volt (V) i stikkontakten $t$ sekunder etter at målingene startet.

b) På hvilke tidspunkter i løpet av de første $0{,}0200$ sekundene er spenningen $230$ V ifølge modellen?

Nettspenningen i Norge (den elektriske spenningen i vanlige stikkontakter) er $230$ V.

Truls lurer på om målingene som er gjort, kan være riktige. Han finner ut at spenningen i kontakten er en vekselspenning. Det betyr at spenningen varierer periodisk med tiden. Når spenningen oppgis å være $230$ V, er dette noe som kalles effektivverdien til spenningen og er gitt ved

$U_{\text{effektiv}}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T (U(t))^2\,dt}$

der $T$ er perioden til funksjonen $U$ .

c) Bruk modellen fra oppgave a og formelen ovenfor til å hjelpe Truls med å avgjøre om målingene kan være riktige.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal tilpasse en sinusmodell til måledataene i a), løse likningen $U(t)=230$ i b), og bruke integrasjon til å beregne effektivverdien i c) for å sjekke om den matcher den kjente nettspenningen på $230$ V.

Strategi og formel: a) Legg merke til at dataene svinger mellom omtrent $+325$ og $-325$ , og at avstanden mellom et maksimum og et minimum er omtrent $0{,}01$ s (halve perioden). Dette peker mot en sinusmodell $U(t)=A\sin(\omega t)$ med periode $T=0{,}02$ s (som svarer til den kjente nettfrekvensen $50$ Hz i Norge). b) Løs $U(t)=230$ for $t$ i det gitte intervallet. c) Sett $U(t)$ inn i formelen for effektivverdi og regn ut integralet, deretter kvadratroten.

Trinnvis utregning:

a) Perioden ser ut til å være $T=0{,}02$ s (matcher $50$ Hz nettfrekvens), så $\omega=\dfrac{2\pi}{0{,}02}=100\pi$ . Amplituden er omtrent $325$ (de målte topp-/bunnverdiene $323$ og $-327$ ligger nær dette), og siden $U\approx 0$ ved $t=0{,}0100$ og $t=0{,}0200$ (og øker gjennom null der), passer modellen $U(t)=325\sin(100\pi t)$ godt med alle åtte måleverdiene (avvik under $4$ V, som er rimelig målestøy). b) $325\sin(100\pi t)=230$
$\sin(100\pi t)=\dfrac{230}{325}$ . Løsningene i $[0,\,0{,}0200]$ er $t\approx 0{,}0025$ s og $t\approx 0{,}0075$ s (de to tidspunktene der grafen krysser $230$ på vei opp og på vei ned innenfor den positive halvperioden). c) $U_{\text{effektiv}}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T\left(325\sin(100\pi t)\right)^2dt}=\dfrac{325}{\sqrt{2}}\approx 229{,}8$ V. Dette stemmer svært godt med den oppgitte nettspenningen på $230$ V, så målingene STØTTER at spenningen faktisk er riktig.

Svar: a) $U(t)\approx$ $325\sin(100\pi t)$ V. b) Spenningen er $230$ V ved $t\approx 0{,}0025$ s og $t\approx 0{,}0075$ s. c) $U_{\text{effektiv}}=\dfrac{325}{\sqrt2}\approx$ $229{,}8$ V, som stemmer godt med $230$ V – målingene kan være riktige

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Setter opp en sinusmodell med riktig periode (avledet fra dataene, ikke bare antatt) og amplitude i a), løser riktig for tidspunktene i b), og bruker formelen for effektivverdi riktig i c) til å komme fram til en verdi nær $230$ V med en begrunnet konklusjon.
3/6	Setter opp en rimelig sinusmodell i a) og løser b) riktig, men klarer ikke fullføre integralet for effektivverdien i c) eller gjør en regnefeil som gir et urealistisk svar.
0/6	Tilpasser en modell som ikke tar hensyn til periodisiteten i dataene (f.eks. en lineær eller andregradsmodell), som gjør c) meningsløs siden formelen for effektivverdi forutsetter en periodisk funksjon.

Sensor-tips

Nøkkelen til a) er å GJENKJENNE mønsteret i tabellen som en sinuskurve med periode $\approx 0{,}02$ s – ikke bare kjøre en generisk regresjon uten å tenke på hva slags funksjon som fysisk gir mening for vekselstrøm.
c) er designet slik at riktig utregning bekrefter at målingene FAKTISK stemmer med den kjente nettspenningen på $230$ V – en elev som lander på en effektivverdi langt fra $230$ bør sjekke egen utregning før konklusjonen trekkes.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Høst 2025, Del 2, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 3

Med hjelpemidler – 6 poeng

En sensor skal slå på utelyset foran ytterdøra til et hus. Lyset blir slått på $T(x)$ timer etter midnatt. $T(x)$ er gitt ved

$T(x)=4\cdot\sin(0{,}0055\pi\cdot x-0{,}5\pi)+19$ .

$x$ er antall dager etter 31. desember 2023 slik at $x=1$ svarer til 1. januar 2024. Tidspunktet sensoren slår på utelyset, varierer fra kl. 15:00 til kl. 23:00, og det varierer periodisk i løpet av et år. Den 1. april slår lyset seg på kl. 19:00.

a) Forklar hvordan de ulike verdiene i modellen $T(x)$ passer med opplysningene gitt ovenfor.

b) Når i 2024 vil tidspunktet da lyset slår seg på, flytte seg $3$ minutter per dag?

c) Når endrer dette tidspunktet seg raskest, og hvor stor er endringen da?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi tolke amplitude, likevektslinje og periode i lys av de gitte opplysningene. I b) skal vi finne når ENDRINGSRATEN (den deriverte $T'(x)$ ) er $3$ minutter per dag. I c) skal vi finne når $|T'(x)|$ er STØRST, altså det raskeste endringstidspunktet, og hvor stor endringen er da.

Strategi og formel: a) Sammenlign amplitude ( $4$ ), likevektslinje ( $19$ ) og periode ( $\frac{2\pi}{0{,}0055\pi}\approx 364$ dager, altså ca. ett år) med de oppgitte grenseverdiene $15$ – $23$ og periodisiteten. b) Deriver $T(x)$ , konverter $3$ min/dag til timer/dag ( $\frac{3}{60}=0{,}05$ ), og løs $T'(x)=0{,}05$ (og $T'(x)=-0{,}05$ for høsthalvåret). c) $|T'(x)|$ er størst der $T'(x)$ selv har et ekstremalpunkt, altså der $T''(x)=0$ .

Trinnvis utregning:

a) Amplituden $4$ gir svingning mellom $19-4=15$ og $19+4=23$ , som stemmer med kl. 15:00–23:00. Likevektslinjen $19$ er midtpunktet mellom disse. Perioden er $\dfrac{2\pi}{0{,}0055\pi}=\dfrac{2000}{11}\approx 364$ dager, altså omtrent ett år – konsistent med at mønsteret er periodisk fra år til år. Ved $x=92$ (1. april) gir modellen $T(92)\approx 19{,}1$ , nær $19{,}0$ som oppgitt. b) $T'(x)=4\cdot 0{,}0055\pi\cos(0{,}0055\pi x-0{,}5\pi)=0{,}022\pi\sin(0{,}0055\pi x)$ (ved bruk av $\cos(\theta-\frac{\pi}{2})=\sin\theta$ ). Løser $0{,}022\pi\sin(0{,}0055\pi x)=0{,}05$ numerisk i $[0,366]$ : $x\approx 46{,}8$ (16. februar) og $x\approx 135{,}0$ (14. mai) på våren (økende), og $x\approx 228{,}6$ (16. august) og $x\approx 316{,}8$ (12. november) på høsten (avtagende, samme fartsstørrelse men i motsatt retning). c) $|T'(x)|$ er størst når $\sin(0{,}0055\pi x)=\pm 1$ , altså ved $0{,}0055\pi x=\dfrac{\pi}{2}$
$x=\dfrac{1 000}{11}\approx 90{,}9$ (rundt 31. mars). Der er $|T'(x)|=0{,}022\pi\approx 0{,}0691$ timer/dag $\approx 4{,}1$ minutter per dag.

Svar: a) Amplituden ( $4$ ), likevektslinjen ( $19$ ) og perioden (ca. $364$ dager) stemmer alle med de oppgitte grenseverdiene og periodisiteten. b) Tidspunktet flytter seg $3$ min/dag rundt 16. februar, 14. mai, 16. august og 12. november (2024). c) Endringen er raskest rundt 31. mars, med en endring på $\approx 4{,}1$ minutter per dag.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Kobler i a) hver parameter i modellen (amplitude, likevektslinje, periode) eksplisitt til en oppgitt opplysning, deriverer riktig og løser b) for alle relevante tidspunkter i 2024, og finner i c) både riktig tidspunkt OG riktig fartsstørrelse for den raskeste endringen.
3/6	Riktig forklaring i a) og riktig derivert i starten av b), men finner bare ÉN av de fire tidspunktene i b) (typisk bare vårens økende tidspunkt), eller mangler c) helt.
0/6	Deriverer $T(x)$ feil (glemmer kjerneregelen på det indre uttrykket $0{,}0055\pi x-0{,}5\pi$ ), som gjør at både b) og c) blir feil.

Sensor-tips

b) har FLERE gyldige tidspunkter i løpet av 2024 (både på vei opp om våren og på vei ned om høsten) – en besvarelse som kun finner ett tidspunkt bør få delvis uttelling, ikke full.
c) sitt svar (rundt 31. mars) faller nær vårjevndøgn, som gir en fin fysisk sjekk: det er naturlig at dagslengden (og dermed når det blir mørkt) endrer seg raskest nettopp rundt jevndøgn, ikke midt på sommeren eller vinteren.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 3