Analysere modeller med derivasjon og integrasjon

Har du en RATEFUNKSJON $R(t)$ (hvor fort en størrelse endrer seg), gir INTEGRASJON deg den totale ENDRINGEN over et tidsrom: $\int_a^b R(t)\,dt$ . Har du i stedet en TOTALFUNKSJON, gir DERIVASJON deg raten den endrer seg med i et gitt øyeblikk. De to verktøyene svarer på MOTSATTE spørsmål om samme situasjon – derivasjon går fra total til rate, integrasjon går fra rate til total.

Total endring fra en rate

$\text{Total endring} = \int_a^b R(t)\, dt$

Rate fra en totalfunksjon

$R(t) = \frac{d}{dt}\big(\text{Total}(t)\big)$

Derivasjon og integrasjon svarer på ulike spørsmål
Verktøy	Går fra → til	Svarer på
Derivasjon	Total → rate	Hvor fort endrer det seg NÅ?
Integrasjon	Rate → total	Hvor mye endret det seg TOTALT?

Tips

Sjekk om oppgaven gir deg en RATE (per time, per sekund, per enhet) eller en TOTAL mengde – det avgjør om du skal integrere eller derivere.
Enheten til raten forsvinner IKKE ved integrasjon – integrerer du m³/time over timer, får du m³ (volumet), ikke en ny rate.

Eksempel: Totalt volum fra en varierende strømningsrate

Vannstrømmen i en elv måles til $R(t) = 200 + 50t$ (m³/time), der $t$ er antall timer etter en flom begynte. Finn det totale vannvolumet som har strømmet forbi målepunktet de første $4$ timene, og finn $R'(t)$ .

Fra rate til total, og tilbake til endringsrate
Størrelse	Verdi
∫₀⁴ R(t) dt	800 + 400 = 1 200 m³
R'(t)	50 m³/time per time (konstant)

Løsning:

Det totale volumet finner vi ved å integrere raten: $\int_0^4 (200 + 50t)\, dt = \left[200t + 25t^2\right]_0^4 = (200 \cdot 4 + 25 \cdot 16) - 0 = 800 + 400$
dette gir det totale volumet
deriver raten for å finne hvor fort selve RATEN endrer seg: $R'(t) = 50$ (konstant, siden $R(t)$ er lineær). Det totale volumet de første $4$ timene er $1\ 200$ m³, og strømningsraten øker jevnt med $50$ m³/time per time.

Alternativ forklaring/metode: Se integralet som et areal delt i to enkle figurer

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Dele opp i et rektangel og en trekant

Siden $R(t) = 200 + 50t$ er en rett linje, kan integralet også tolkes GEOMETRISK: arealet under grafen fra $t=0$ til $t=4$ består av et rektangel ( $200 \cdot 4 = 800$ m³, den konstante delen) og en trekant ( $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (50 \cdot 4) = 400$ m³, den lineært voksende delen) → totalt $800 + 400 = 1\ 200$ m³ – samme svar som integrasjonen, men uten antiderivert.

Areal delt i to figurer
Figur	Areal
Rektangel (200 · 4)	800 m³
Trekant (½ · 4 · 200)	400 m³

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Har du en RATEFUNKSJON og vil finne den totale endringen over et tidsrom, bruker du derivasjon eller integrasjon?

Vis fasit

Rate eller total?
Går fra → til	Verktøy
Rate → total	Integrasjon

Rate til total er nettopp det integrasjon gjør
integrasjon

L-12Har du en TOTALFUNKSJON og vil finne raten i et gitt øyeblikk, bruker du derivasjon eller integrasjon?

Vis fasit

Rate eller total?
Går fra → til	Verktøy
Total → rate	Derivasjon

Total til rate er nettopp det derivasjon gjør
derivasjon

L-13En rate er

R(t) = 100

(konstant, m³/time). Finn den totale mengden fra

t=0

til

t=3

Vis fasit

Finn total mengde
Rate	Tid	Total
100 m³/time	3 t	300 m³

Konstant rate 100 m³/time i 3 timer
100 gange 3 = 300 m³

Middels(3)

M-11En rate er

R(t) = 10 + 4t

(liter/minutt). Finn den totale mengden fra

t=0

til

t=5

minutter.

Vis fasit

Finn total mengde
Integral	Resultat
∫₀⁵ (10+4t) dt	100 liter

Integralet av 10+4t fra 0 til 5
[10t+2t²] fra 0 til 5 = 50+50 = 100 liter

M-12Finn

R'(t)

for raten

R(t) = 10 + 4t

fra forrige oppgave.

Vis fasit

Deriver raten
Funksjon	Derivert
R(t) = 10 + 4t	R'(t) = 4

Deriver 10+4t: konstantleddet 10 gir 0, 4t gir 4
R'(t) = 4

M-13En bedrifts inntekt følger

I(t) = 3t^2

(tusen kr,

t

i måneder). Finn inntektsRATEN

I'(t)

ved

t = 4

Vis fasit

Finn inntektsraten
Funksjon	Derivert	I'(4)
I(t) = 3t²	I'(t) = 6t	24 tusen kr/måned

Deriver 3t²: I'(t) = 6t
I'(4) = 6 gange 4 = 24 tusen kr/måned

Vanskelig(3)

V-11En strømningsrate er

R(t) = 150 + 30t

(m³/time). Finn det totale volumet fra

t=0

til

t=6

timer, og forklar hvert steg.

Vis fasit

Finn total mengde
Integral	Resultat
∫₀⁶ (150+30t) dt	1 440 m³

Integralet av 150+30t fra 0 til 6
[150t+15t²] fra 0 til 6 = 900+540 = 1 440 m³

V-12Kontroller svaret i forrige oppgave ved å dele arealet i et rektangel og en trekant, slik alternativmetoden viser.

Vis fasit

Kontroller ved figurer
Figur	Areal
Rektangel	900 m³
Trekant	540 m³
Sum	1 440 m³

Rektangel: 150 gange 6 = 900
trekant: 0,5 gange 6 gange 180 = 540
900+540 = 1 440 m³, stemmer

V-13Forklar hvorfor enheten til det totale volumet (m³) er ULIK enheten til raten (m³/time), selv om det ene er integralet av det andre.

Vis fasit

Hvorfor enheten endres
Regning	Resultat
m³/time · time	m³ (tiden kansellerer)

m³/time gange time (fra dt)
tiden kansellerer
enheten blir m³, ikke m³/time