Tolke egne modeller med derivasjon

Har du en modell $f(t)$ for en reell naturvitenskapelig størrelse (en populasjon, en temperatur, en konsentrasjon), forteller den DERIVERTE $f'(t)$ deg noe den opprinnelige modellen ikke viser like tydelig: er størrelsen på vei OPP eller NED akkurat nå, og HVOR RASKT? Er $f'(t) > 0$ , vokser $f(t)$ ; er $f'(t) < 0$ , avtar den; er $f'(t) = 0$ , er $f(t)$ i et TOPP- eller BUNNPUNKT.

Potensregelen (repetisjon fra 1T)

$(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$

Sum- og konstantregel

$(f + g)' = f' + g', \quad (k)' = 0$

Fortegnet til den deriverte forteller
Fortegn til f'(t)	Betyr
f'(t) > 0	f(t) vokser
f'(t) < 0	f(t) avtar
f'(t) = 0	Topp- eller bunnpunkt

Tips

Sett den deriverte lik null og løs likningen for å finne KANDIDATER til topp-/bunnpunkt – selve fortegnsskiftet avgjør om det faktisk ER et slikt punkt.
En kubisk modell ( $t^3$ -ledd) kan ha to kritiske punkter (ett toppunkt og ett bunnpunkt), til forskjell fra en parabel som bare har ett.

Eksempel: Tolke en modell for en bakteriekultur

En bakteriekultur i et laboratorium har en populasjon de første $8$ timene modellert ved $N(t) = t^3 - 12t^2 + 36t + 50$ (i tusen bakterier), der $t$ er antall timer. Finn $N'(t)$ , og bestem for hvilke $t$ -verdier populasjonen vokser.

Fortegnsskjema for N'(t)
Intervall	Fortegn N'(t)	N(t)
t < 2	+	Vokser
2 < t < 6	−	Avtar
t > 6	+	Vokser

Løsning:

Vi deriverer ledd for ledd: $N'(t) = 3t^2 - 24t + 36$
faktoriser for å finne fortegnsskifte: $N'(t) = 3(t-2)(t-6)$
dette er null ved $t = 2$ og $t = 6$
et fortegnsskjema viser at $N'(t) > 0$ for $t < 2$ , $N'(t) < 0$ mellom $t = 2$ og $t = 6$ , og $N'(t) > 0$ for $t > 6$ . Populasjonen vokser i de to intervallene $t < 2$ og $t > 6$ , og AVTAR mellom $t = 2$ og $t = 6$ .

Alternativ forklaring/metode: Bekreft mønsteret med tallverdier fra selve modellen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regne ut noen konkrete N(t)-verdier

Usikker på fortegnsskjemaet? Regn ut $N(t)$ for noen konkrete $t$ -verdier: $N(0) = 50$ , $N(2) = 82$ (toppunkt), $N(6) = 50$ (bunnpunkt), $N(8) = 178$ . Tallene bekrefter mønsteret: populasjonen stiger fra $50$ til $82$ (vokser), synker tilbake til $50$ (avtar – kanskje ressursbegrensning eller opphopning av avfallsstoffer), og stiger så videre til $178$ (vokser igjen) – nøyaktig det fortegnsskjemaet forutsa.

Konkrete N(t)-verdier
t	N(t)
0	50
2	82 (toppunkt)
6	50 (bunnpunkt)
8	178

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Deriver $f(t) = t^3 - 6t^2 + 20$ .

Vis fasit

Deriver funksjonen
Funksjon	Derivert
f(t) = t³ − 6t² + 20	f'(t) = 3t² − 12t

Deriver ledd for ledd: t³ gir 3t², -6t² gir -12t, 20 gir 0
f'(t) = 3t² − 12t

L-12Hva betyr det når

f'(t) > 0

i et punkt?

Vis fasit

Fortegnet til den deriverte
Fortegn	Betyr
f'(t) > 0	f(t) vokser

f'(t) > 0 betyr positiv stigning
f(t) vokser

L-13Hva betyr det når

f'(t) = 0

i et punkt?

Vis fasit

Fortegnet til den deriverte
Fortegn	Betyr
f'(t) = 0	Kandidat for topp-/bunnpunkt

f'(t) = 0 betyr flat tangent
kandidat for topp- eller bunnpunkt

Middels(3)

M-11Finn de kritiske punktene til

f(t) = t^3 - 6t^2 + 20

(der

f'(t) = 0

Vis fasit

Finn kritiske punkter
Likning	Løsning
3t(t − 4) = 0	t = 0 og t = 4

f'(t) = 3t² − 12t = 3t(t − 4)
satt lik null gir t = 0 og t = 4

M-12Regn ut

f(0)

f(4)

for

f(t) = t^3 - 6t^2 + 20

Vis fasit

Regn ut funksjonsverdiene
t	f(t)
0	20
4	−12

f(0) = 0 − 0 + 20 = 20
f(4) = 64 − 96 + 20 = −12

M-13Er

t = 0

f(t) = t^3 - 6t^2 + 20

et topp- eller bunnpunkt? Begrunn med fortegnet til

f'(t)

rundt

t = 0

Vis fasit

Fortegnsskifte rundt t = 0
Intervall	Fortegn f'(t)
t < 0	+
0 < t < 4	− (toppunkt)

f'(t) = 3t(t-4) er positiv for t < 0 og negativ for 0 < t < 4
fortegnet skifter fra + til −, altså et toppunkt

Vanskelig(3)

V-11En modell

g(t) = -t^3 + 15t

beskriver konsentrasjonen av et stoff over tid. Finn

g'(t)

og de kritiske punktene (avrundet til to desimaler der nødvendig).

Vis fasit

Finn de kritiske punktene
Funksjon	Derivert	Kritiske punkter
g(t) = −t³ + 15t	g'(t) = −3t² + 15	t ≈ ±2,24

g'(t) = -3t² + 15
satt lik null: -3t² = -15
t² = 5
t = -kvadratroten av 5 ≈ -2,24 og t = kvadratroten av 5 ≈ 2,24

V-12For modellen i forrige oppgave: er den positive kritiske verdien et topp- eller bunnpunkt?

Vis fasit

Fortegnsskifte rundt t ≈ 2,24
Fortegn g'(t)	Betyr
+ før, − etter	Toppunkt

g'(t) = -3t² + 15 er positiv rett før og negativ rett etter den positive kritiske verdien
fortegnet skifter fra + til −, et toppunkt

V-13Hvorfor kan en kubisk modell (

t^3

-ledd) ha to kritiske punkter, mens en andregradsmodell (parabel) bare kan ha ett?

Vis fasit

Grad og antall kritiske punkter
Modell	Derivert	Maks antall kritiske punkter
Kubisk (t³)	Andregrad (t²)	2
Andregrad (t²)	Lineær (t)	1

Et t^3-ledd deriveres til en t²-funksjon (opptil to nullpunkter)
et t²-ledd deriveres til en lineær funksjon (ett nullpunkt)
antall kritiske punkter avhenger av graden til den deriverte