NumiSum

Optimalisering med derivasjon

Et optimaliseringsproblem spør etter den STØRSTE eller MINSTE verdien en modell kan ta: maksimal høyde på en kastebane, minimalt materialforbruk til en beholder. Fremgangsmåten: (1) sett opp en formel for størrelsen du vil optimere, (2) deriver den, (3) sett den deriverte lik null og løs, (4) bekreft med et fortegnsskjema (eller den dobbeltderiverte) at punktet faktisk er et maksimum eller minimum, ikke bare et kritisk punkt.

Kritisk punkt

f′(x)=0f'(x) = 0

Andrederiverttesten

f′′(x)<0⇒toppunkt,f′′(x)>0⇒bunnpunktf''(x) < 0 \Rightarrow \text{toppunkt}, \quad f''(x) > 0 \Rightarrow \text{bunnpunkt}

Fire steg i et optimaliseringsproblem
StegGjør dette
1Sett opp en formel for størrelsen
2Deriver formelen
3Sett den deriverte lik null og løs
4Bekreft maks/min med fortegnsskjema
xy1234561020304050(3, 45)
h(t) = −5t² + 30t: ballen er høyest ved t = 3 s (45 m)

Tips

  • Sett ALLTID opp den fysiske modellen (høyde, areal, volum) som ÉN samlet formel FØR du deriverer. Ikke deriver hver del for seg og kombiner etterpå.
  • Et kritisk punkt er IKKE automatisk et maksimum. Bekreft alltid med fortegnsskjema eller andrederiverttesten før du konkluderer.
  • Bekreft maksimum med fortegnsskjema for h'(t). I stedet for å derivere en gang til, sjekk fortegnet til h′(t)=−10t+30h'(t) = -10t + 30 på hver side av t=3t = 3: for t=2t = 2 er h′(2)=10>0h'(2) = 10 > 0 (ballen stiger fortsatt), for t=4t = 4 er h′(4)=−10<0h'(4) = -10 < 0 (ballen synker igjen). Fortegnet skifter fra ++ til −-, som bekrefter et TOPPUNKT: samme konklusjon som andrederiverttesten, men uten å måtte derivere på nytt.

Eksempel: Maksimal høyde for en kastet ball

En ball kastes rett opp fra bakken med starthastighet 3030 m/s. Høyden over bakken etter tt sekunder er h(t)=−5t2+30th(t) = -5t^2 + 30t meter (med g=10g = 10 m/s²). Finn hvor lang tid det tar før ballen når sin høyeste punkt, og hva denne maksimale høyden er.

Løsning:
  1. Vi deriverer høydefunksjonen: h′(t)=−10t+30h'(t) = -10t + 30
  2. sett lik null: −10t+30=0-10t + 30 = 0
  3. t=3010=3t = \frac{30}{10} = 3
  4. sjekk med andrederiverttesten: h′′(t)=−10<0h''(t) = -10 < 0, som bekrefter et TOPPUNKT (maksimum)
  5. regn ut høyden: h(3)=−5⋅32+30⋅3=−45+90h(3) = -5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = -45 + 90. Ballen når sin høyeste punkt etter 33 sekunder, og den maksimale høyden er 4545 meter.
Fra høydefunksjon til maksimum
StegUttrykk
Høydefunksjonh(t) = −5t² + 30t
Deriverth'(t) = −10t + 30
Kritisk punktt = 3 s
Andrederiverth''(t) = −10 < 0 (toppunkt)
Maksimal høydeh(3) = 45 m

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er de fire stegene i et optimaliseringsproblem?

Vis fasit
  1. Optimalisering følger en fast prosedyre
  2. formel, derivert, løs for null, bekreft maks/min
Fire steg i optimalisering
StegGjør dette
1Sett opp formel
2Deriver
3Sett lik null, løs
4Bekreft med fortegnsskjema

L-22Hva forteller andrederiverttesten deg hvis f′′(x)<0f''(x) < 0 i et kritisk punkt?

Vis fasit
  1. f''(x) < 0 betyr grafen krummer nedover
  2. toppunkt
Andrederiverttesten
Fortegn f''(x)Betyr
< 0Toppunkt (maksimum)

L-23En ball kastes med h(t)=−5t2+20th(t) = -5t^2 + 20t. Deriver høydefunksjonen.

Vis fasit
  1. Deriver ledd for ledd: -5t² gir -10t, 20t gir 20
  2. h'(t) = −10t + 20
Deriver høydefunksjonen
FunksjonDerivert
h(t) = −5t² + 20th'(t) = −10t + 20
Middels(3)

M-21En ball kastes med h(t)=−5t2+20th(t) = -5t^2 + 20t, og h′(t)=−10t+20h'(t) = -10t + 20. Finn tidspunktet tt der ballen når toppunktet, ved å sette h′(t)=0h'(t) = 0.

Vis fasit
  1. -10t + 20 = 0
  2. 10t = 20
  3. t = 2 s
Finn toppunktet
LikningLøsning
−10t + 20 = 0t = 2 s

M-22Regn ut den maksimale høyden når t=2t = 2 s for h(t)=−5t2+20th(t) = -5t^2 + 20t. Svar i m.

Vis fasit

h(2) = −5⋅4+20⋅2=−20+40=-5 \cdot 4 + 20 \cdot 2 = -20 + 40 = 20 m

Finn maksimal høyde
th(t)
2 s20 m

M-23En annen kastebane er h(t)=−5t2+40th(t) = -5t^2 + 40t. Finn tidspunktet for maksimal høyde.

Vis fasit
  1. h'(t) = -10t + 40
  2. satt lik null: -10t + 40 = 0
  3. t = 4 s
Finn tidspunktet for maksimal høyde
LikningLøsning
−10t + 40 = 0t = 4 s
Vanskelig(3)

V-21En kastebane er h(t)=−5t2+40th(t) = -5t^2 + 40t, og maksimal høyde nås ved t=4t = 4 s. Regn ut maksimal høyde, og bekreft at det er et maksimum med andrederiverttesten.

Vis fasit
  1. h(4) = −5⋅16+40⋅4=−80-5 \cdot 16 + 40 \cdot 4 = -80+160 = 80
  2. h''(t) = -10 < 0
  3. bekrefter toppunkt/maksimum

V-22En åpen eske med kvadratisk bunn skal romme 108108 m³. Overflatearealet er A(x)=x2+432xA(x) = x^2 + \frac{432}{x}, der xx er sidelengden i bunnen. Finn A′(x)A'(x).

Vis fasit
  1. Deriver ledd for ledd: x² gir 2x, 432/x = 432x⁻¹ gir -432x⁻²
  2. A'(x) = 2x − 432/x²
Deriver overflatearealet
FunksjonDerivert
A(x) = x² + 432/xA'(x) = 2x − 432/x²

V-23En åpen eske med kvadratisk bunn skal romme 108108 m³. Overflatearealet er A(x)=x2+432xA(x) = x^2 + \frac{432}{x}, der xx er sidelengden i bunnen, og A′(x)=2x−432x2A'(x) = 2x - \frac{432}{x^2}. Finn xx-verdien som minimerer overflatearealet, og regn ut det minste arealet.

Vis fasit
  1. A'(x) = 2x - 432/x² satt lik null
  2. 2x³ = 432
  3. x³ = 216
  4. x = 6
  5. A(6) = 36 + 4326\frac{432}{6} = 36+72 = 108 m²