NumiSum

Optimalisering med derivasjon

Et optimaliseringsproblem spør etter den STØRSTE eller MINSTE verdien en modell kan ta – maksimal høyde på en kastebane, minimalt materialforbruk til en beholder. Fremgangsmåten: (1) sett opp en formel for størrelsen du vil optimere, (2) deriver den, (3) sett den deriverte lik null og løs, (4) bekreft med et fortegnsskjema (eller den dobbeltderiverte) at punktet faktisk er et maksimum eller minimum, ikke bare et kritisk punkt.

Kritisk punkt

f′(x)=0f'(x) = 0

Andrederiverttesten

f′′(x)<0⇒toppunkt,f′′(x)>0⇒bunnpunktf''(x) < 0 \Rightarrow \text{toppunkt}, \quad f''(x) > 0 \Rightarrow \text{bunnpunkt}

Fire steg i et optimaliseringsproblem
StegGjør dette
1Sett opp en formel for størrelsen
2Deriver formelen
3Sett den deriverte lik null og løs
4Bekreft maks/min med fortegnsskjema

Tips

  • Sett ALLTID opp den fysiske modellen (høyde, areal, volum) som ÉN samlet formel FØR du deriverer – ikke deriver hver del for seg og kombiner etterpå.
  • Et kritisk punkt er IKKE automatisk et maksimum. Bekreft alltid med fortegnsskjema eller andrederiverttesten før du konkluderer.

Eksempel: Maksimal høyde for en kastet ball

En ball kastes rett opp fra bakken med starthastighet 3030 m/s. Høyden over bakken etter tt sekunder er h(t)=−5t2+30th(t) = -5t^2 + 30t meter (med g=10g = 10 m/s²). Finn hvor lang tid det tar før ballen når sin høyeste punkt, og hva denne maksimale høyden er.

Fra høydefunksjon til maksimum
StegUttrykk
Høydefunksjonh(t) = −5t² + 30t
Deriverth'(t) = −10t + 30
Kritisk punktt = 3 s
Andrederiverth''(t) = −10 < 0 (toppunkt)
Maksimal høydeh(3) = 45 m
Løsning:
  1. Vi deriverer høydefunksjonen: h′(t)=−10t+30h'(t) = -10t + 30
  2. sett lik null: −10t+30=0-10t + 30 = 0
  3. t=3010=3t = \frac{30}{10} = 3
  4. sjekk med andrederiverttesten: h′′(t)=−10<0h''(t) = -10 < 0, som bekrefter et TOPPUNKT (maksimum)
  5. regn ut høyden: h(3)=−5⋅32+30⋅3=−45+90h(3) = -5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = -45 + 90. Ballen når sin høyeste punkt etter 33 sekunder, og den maksimale høyden er 4545 meter.
Alternativ forklaring/metode: Bekreft maksimum med fortegnsskjema for h'(t)

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Fortegnsskjema i stedet for andrederiverttesten

I stedet for å derivere en gang til, sjekk fortegnet til h′(t)=−10t+30h'(t) = -10t + 30 på hver side av t=3t = 3: for t=2t = 2 er h′(2)=10>0h'(2) = 10 > 0 (ballen stiger fortsatt), for t=4t = 4 er h′(4)=−10<0h'(4) = -10 < 0 (ballen synker igjen). Fortegnet skifter fra ++ til −-, som bekrefter et TOPPUNKT – samme konklusjon som andrederiverttesten, men uten å måtte derivere på nytt.

Fortegnsskjema for h'(t)
tFortegn h'(t)
210 > 0 (stiger)
4−10 < 0 (synker) – toppunkt

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er de fire stegene i et optimaliseringsproblem?

Vis fasit
Fire steg i optimalisering
StegGjør dette
1Sett opp formel
2Deriver
3Sett lik null, løs
4Bekreft med fortegnsskjema
  1. Optimalisering følger en fast prosedyre
  2. formel, derivert, løs for null, bekreft maks/min

L-22Hva forteller andrederiverttesten deg hvis f′′(x)<0f''(x) < 0 i et kritisk punkt?

Vis fasit
Andrederiverttesten
Fortegn f''(x)Betyr
< 0Toppunkt (maksimum)
  1. f''(x) < 0 betyr grafen krummer nedover
  2. toppunkt

L-23En ball kastes med h(t)=−5t2+20th(t) = -5t^2 + 20t. Deriver høydefunksjonen.

Vis fasit
Deriver høydefunksjonen
FunksjonDerivert
h(t) = −5t² + 20th'(t) = −10t + 20
  1. Deriver ledd for ledd: -5t² gir -10t, 20t gir 20
  2. h'(t) = −10t + 20
Middels(3)

M-21Finn tidspunktet tt der ballen i forrige oppgave når toppunktet, ved å sette h′(t)=0h'(t) = 0.

Vis fasit
Finn toppunktet
LikningLøsning
−10t + 20 = 0t = 2 s
  1. -10t + 20 = 0
  2. 10t = 20
  3. t = 2 s

M-22Regn ut den maksimale høyden når t=2t = 2 s for h(t)=−5t2+20th(t) = -5t^2 + 20t.

Vis fasit
Finn maksimal høyde
th(t)
2 s20 m

h(2) = -5 gange 4 + 20 gange 2 = -20 + 40 = 20 m

M-23En annen kastebane er h(t)=−5t2+40th(t) = -5t^2 + 40t. Finn tidspunktet for maksimal høyde.

Vis fasit
Finn tidspunktet for maksimal høyde
LikningLøsning
−10t + 40 = 0t = 4 s
  1. h'(t) = -10t + 40
  2. satt lik null: -10t + 40 = 0
  3. t = 4 s
Vanskelig(3)

V-21Regn ut maksimal høyde for t=4t = 4 s i forrige oppgave, og bekreft at det er et maksimum med andrederiverttesten.

Vis fasit
Bekreft maksimum
StegResultat
h(4)80 m
h''(t)−10 < 0 (maksimum)
  1. h(4) = -5 gange 16 + 40 gange 4 = -80+160 = 80
  2. h''(t) = -10 < 0
  3. bekrefter toppunkt/maksimum

V-22En åpen eske med kvadratisk bunn skal romme 108108 m³. Overflatearealet er A(x)=x2+432xA(x) = x^2 + \frac{432}{x}, der xx er sidelengden i bunnen. Finn A′(x)A'(x).

Vis fasit
Deriver overflatearealet
FunksjonDerivert
A(x) = x² + 432/xA'(x) = 2x − 432/x²
  1. Deriver ledd for ledd: x² gir 2x, 432/x = 432x⁻¹ gir -432x⁻²
  2. A'(x) = 2x − 432/x²

V-23Finn xx-verdien som minimerer overflatearealet A(x)=x2+432xA(x) = x^2 + \frac{432}{x} fra forrige oppgave, og regn ut det minste arealet.

Vis fasit
Finn minste areal
StegResultat
Kritisk punktx = 6 m
Minste arealA(6) = 108 m²
  1. A'(x) = 2x - 432/x² satt lik null
  2. 2x³ = 432
  3. x³ = 216
  4. x = 6
  5. A(6) = 36 + 4326\frac{432}{6} = 36+72 = 108 m²