Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 8 poeng

Du skal lage en kasse uten lokk. Den skal ha form som et rett prisme. Grunnflaten i kassen skal være kvadratisk. For at vekten ikke skal bli for stor, kan ikke det samlede arealet av platene som brukes til å lage kassen, være mer enn 120 dm².

a) Hva er det største volumet kassen kan få dersom sidene i bunnen skal være 5 dm?

b) Hva er det maksimale volumet kassen kan få?

Du skal lage en slik kasse som rommer 80 dm³.

c) Hva er det minste samlede arealet platene kan ha, dersom du skal lage en slik kasse?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi finne volumet for en GITT bunnbredde ( $5$ dm) når hele arealbudsjettet ( $120$ dm²) brukes opp. I b) skal vi finne hvilken bunnbredde $x$ som gir størst mulig volum totalt, gitt SAMME arealbudsjett. I c) snur vi problemet: nå er VOLUMET fast ( $80$ dm³), og vi skal finne minste areal.

Strategi og formel: La $x$ være siden i den kvadratiske bunnen og $h$ høyden. Arealet av en kasse UTEN lokk er $x^2+4xh$ (bunn + fire sideflater). a) og b): uttrykk $h$ ved $x$ fra arealbetingelsen $x^2+4xh=120$ , sett inn i volumformelen $V=x^2h$ , og deriver for å finne maksimum (b), for a) settes bare $x=5$ direkte inn. c): samme fremgangsmåte, men nå er det VOLUMET som er fast ( $x^2h=80$ ), og vi uttrykker AREALET ved $x$ i stedet, og minimerer det.

Trinnvis utregning:

Areal: $x^2+4xh=120 \Rightarrow h=\dfrac{120-x^2}{4x}=\dfrac{30}{x}-\dfrac{x}{4}$ . Volum: $V(x)=x^2h=x^2\left(\dfrac{30}{x}-\dfrac{x}{4}\right)=30x-\dfrac{x^3}{4}$ . a) $V(5)=30\cdot 5-\dfrac{5^3}{4}=150-\dfrac{125}{4}=150-31{,}25=118{,}75$ dm³. b) $V'(x)=30-\dfrac{3x^2}{4}$
$V'(x)=0 \Rightarrow \dfrac{3x^2}{4}=30 \Rightarrow x^2=40 \Rightarrow x=2\sqrt{10}\approx 6{,}32$ dm (positiv løsning). $V(2\sqrt{10})=40\sqrt{10}\approx 126{,}49$ dm³ – dette ER et maksimum siden $V''(x)=-\dfrac{3x}{2}<0$ for $x>0$ . c) Nå er volumet fast: $x^2h=80 \Rightarrow h=\dfrac{80}{x^2}$ . Areal: $A(x)=x^2+4x\cdot\dfrac{80}{x^2}=x^2+\dfrac{320}{x}$ . $A'(x)=2x-\dfrac{320}{x^2}$
$A'(x)=0 \Rightarrow 2x=\dfrac{320}{x^2} \Rightarrow x^3=160 \Rightarrow x=\sqrt[3]{160}=2\sqrt[3]{20}\approx 5{,}43$ dm. $A(2\sqrt[3]{20})=24\sqrt[3]{50}\approx 88{,}42$ dm² – dette ER et minimum siden $A''(x)=2+\dfrac{640}{x^3}>0$ for $x>0$ .

Svar: a) $V(5)=$ $118{,}75$ dm³. b) Maksimalt volum er $40\sqrt{10}\approx 126{,}5$ dm³, ved $x=2\sqrt{10}\approx 6{,}32$ dm. c) Minste areal er $24\sqrt[3]{50}\approx 88{,}4$ dm², ved $x=2\sqrt[3]{20}\approx 5{,}43$ dm.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 8 poeng)

Poeng	Krav
8/8	Setter opp riktig sammenheng mellom areal og $h$ , finner riktig $V(5)=118{,}75$ i a), finner riktig kritisk punkt og maksimum $40\sqrt{10}\approx 126{,}5$ dm³ i b) MED en fortegnsdrøfting/andrederivert-sjekk som viser at det faktisk er et maksimum, og løser c) riktig fram til $24\sqrt[3]{50}\approx 88{,}4$ dm² med tilsvarende minimumssjekk.
5/8	Riktig i a) og b) (inkl. maksimumssjekk), men i c) settes opp feil sammenheng (f.eks. bruker fortsatt arealbetingelsen fra a)/b) i stedet for å snu problemet til volum-fast/areal-variabel).
3/8	Riktig $V(x)$ -uttrykk og riktig $V(5)$ i a), men finner ikke et fungerende kritisk punkt i b) (f.eks. glemmer å derivere, eller løser $V'(x)=0$ feil), og ingen fungerende strategi i c).
0/8	Setter opp feil arealformel for en kasse UTEN lokk (f.eks. bruker $2x^2+4xh$ som om kassen har lokk), som gir feil svar gjennom hele oppgaven.

Sensor-tips

Den vanligste konseptuelle feilen er å glemme at kassen er UTEN LOKK: arealformelen skal være $x^2+4xh$ (kun bunn + 4 sider), ikke $2x^2+4xh$ (som ville inkludert et lokk).
I b) og c) er en fortegnsdrøfting eller andrederivert-sjekk NØDVENDIG for full uttelling. Å bare finne et kritisk punkt er ikke nok til å konkludere at det er et maksimum/minimum uten videre begrunnelse.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Høst 2023, Del 2, Oppgave 4

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 6 poeng

Et gammelt vannreservoar lekker vann. Mengden vann i reservoaret $V$ er gitt ved $V(t) = 10\ 000\cdot e^{-0{,}07t}+500$ Her er $t$ antall timer etter at lekkasjen startet, og mengden vann er målt i antall liter.

a) Hvor lang tid vil det gå før vannmengden er halvert?

b) Bestem $V'(12)$ og $V''(12)$ . Gi en praktisk tolkning av svarene.

c) Undersøk om $V$ har asymptoter, og gi en praktisk tolkning av verdien til eventuelle asymptoter.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi finne tiden det tar før $V(t)$ er halvparten av startverdien $V(0)$ . I b) skal vi tolke FØRSTEDERIVERTE (raten vannet lekker ut med) og ANDREDERIVERTE (hvordan lekkasjeRATEN selv endrer seg) ved et bestemt tidspunkt. I c) skal vi finne grenseoppførselen til $V(t)$ for å forstå hva som skjer på lang sikt.

Strategi og formel: a) Regn ut $V(0)$ , sett $V(t)=\frac{V(0)}{2}$ , og løs for $t$ . b) Deriver $V(t)$ to ganger, sett inn $t=12$ , og tolk fortegn og størrelsesorden i lys av at $V$ måler VANNMENGDE og $t$ måler TID. c) Undersøk $\lim_{t\to\infty}V(t)$ (og eventuelt $t\to-\infty$ , men her gir kun $t\geq 0$ fysisk mening).

Trinnvis utregning:

$V(0)=10\ 000\cdot e^0+500=10\ 500$ liter. a) Halvparten: $5\ 250$ liter. $10\ 000e^{-0{,}07t}+500=5\ 250 \Rightarrow 10\ 000e^{-0{,}07t}=4\ 750 \Rightarrow e^{-0{,}07t}=0{,}475 \Rightarrow -0{,}07t=\ln(0{,}475) \Rightarrow t=\dfrac{\ln(0{,}475)}{-0{,}07}\approx 10{,}63$ timer. b) $V'(t)=10\ 000\cdot(-0{,}07)e^{-0{,}07t}=-700e^{-0{,}07t}$ . $V'(12)=-700e^{-0{,}84}\approx -302{,}2$ liter/time: vannmengden minker med ca. $302{,}2$ liter per time ved $t=12$ timer (grensehastighet for lekkasjen). $V''(t)=-700\cdot(-0{,}07)e^{-0{,}07t}=49e^{-0{,}07t}$ . $V''(12)=49e^{-0{,}84}\approx 21{,}2$ : siden $V''(12)>0$ , AVTAR lekkasjeraten over tid (vannet renner tregere og tregere ut) – lekkasjeratens absoluttverdi $|V'(t)|$ minker etter hvert som mindre vann/trykk står igjen. c) $\lim_{t\to\infty}V(t)=10\ 000\cdot 0+500=500$
horisontal asymptote $V=500$ : reservoaret tømmes ALDRI helt, men stabiliserer seg på $500$ liter (kanskje et minimumsnivå lekkasjen ikke når under, f.eks. pga. reservoarets form).

Svar: a) Etter $t\approx 10{,}63$ timer. b) $V'(12)\approx$ $-302{,}2$ L/t (vannet minker med denne raten), $V''(12)\approx$ $21{,}2$ (lekkasjeraten avtar over tid: bremser opp). c) Horisontal asymptote $V=500$ : reservoaret stabiliserer seg på $500$ liter, tømmes aldri helt.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Løser riktig $t\approx 10{,}63$ i a), regner ut riktige $V'(12)$ og $V''(12)$ MED korrekt praktisk tolkning av begge (ikke bare tallverdien) i b), og finner riktig asymptote $V=500$ med en fornuftig praktisk tolkning i c).
4/6	Riktig i a) og b) (tallverdiene), men den praktiske TOLKNINGEN av $V''(12)$ mangler eller er feil (f.eks. forveksler med at vannmengden øker).
2/6	Riktig $V(0)=10\ 500$ og riktig strategi i a), men gjør en logaritme-feil i selve løsningen, og har kun delvis riktig i b)/c).
0/6	Deriverer $V(t)$ feil (f.eks. glemmer kjerneregelen for $e^{-0{,}07t}$ , som gir feil fortegn/faktor gjennom hele b) og c)).

Sensor-tips

Den vanligste feilen i b) er å forveksle fortegnet til $V'(12)$ (skal være NEGATIVT, siden vannmengden minker) med fortegnet til $V''(12)$ (skal være POSITIVT, siden minke-RATEN selv avtar). Disse to har MOTSATT fortegn her, og det er nettopp poenget: et negativt $V'$ og positivt $V''$ betyr sammen «minker, men i avtagende tempo».
I c) er det viktig å presisere at $V=500$ er en NEDRE grense reservoaret nærmer seg, ikke noe reservoaret faktisk når eller går under: modellen forutsier at $500$ liter blir værende for alltid (i teorien).

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Høst 2024, Del 2, Oppgave 1