Rekker og egenskaper

En ARITMETISK rekke har et FAST leddvis tillegg $d$ mellom naboledd: $a_n = a_1 + (n-1)d$ . En GEOMETRISK rekke har en FAST kvotient $r$ mellom naboledd: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ . Det mest overraskende: en UENDELIG geometrisk rekke kan ha en ENDELIG sum, men BARE hvis $|r| < 1$ . Da blir hvert ledd så mye mindre enn det forrige at summen «stopper å vokse» selv om den har uendelig mange ledd.

Aritmetisk sum

$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$

Geometrisk sum

$S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}, \quad r \neq 1$

Uendelig geometrisk sum

$S = \frac{a_1}{1 - r}, \quad |r| < 1$

Aritmetisk vs. geometrisk rekke
Type	Leddformel	Kjennetegn
Aritmetisk	aₙ = a₁ + (n−1)d	fast differanse d
Geometrisk	aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹	fast kvotient r

Tips

Sjekk FØRST om differansen mellom ledd er FAST (aritmetisk) eller om KVOTIENTEN mellom ledd er fast (geometrisk). De to rekketypene bruker helt ulike formler.
En uendelig geometrisk rekke har KUN en sum når $|r| < 1$ . Er $r \geq 1$ eller $r \leq -1$ , vokser leddene i det uendelige, og summen finnes ikke.

Eksempel: Total strekning en sprettende ball tilbakelegger

En ball slippes fra $10$ m høyde. Ved hvert sprett når den $60\ \%$ av høyden fra forrige sprett. Finn den TOTALE vertikale strekningen ballen tilbakelegger (opp og ned, uendelig mange sprett), gitt at strekningen etter det første fallet er en uendelig geometrisk rekke med $a_1 = 2 \cdot 10 \cdot 0{,}6 = 12$ m og $r = 0{,}6$ .

Løsning:

Det første fallet er $10$ m, deretter tilbakelegger ballen opp-og-ned-strekninger som danner en uendelig geometrisk rekke med $a_1 = 12$ m og $r = 0{,}6$
siden $|r| = 0{,}6 < 1$ , har denne rekken en sum: $S = \frac{a_1}{1-r} = \frac{12}{1 - 0{,}6} = \frac{12}{0{,}4} = 30$ m
legg til det første fallet: totalstrekningen er $10 + 30$ . Ballen tilbakelegger totalt $40$ m, selv om den spretter et UENDELIG antall ganger, fordi høydene minker raskt nok til at summen konvergerer.

Fra sprettmønster til totalstrekning
Del	Verdi
Første fall	10 m
Uendelig rekke av sprett (a₁=12, r=0,6)	30 m
Totalstrekning	40 m

Alternativ forklaring/metode: Summer de første sprettene for hånd og se at summen nærmer seg 40 m

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regne ut de første leddene og se mønsteret

Usikker på formelen? Regn ut høydene til de første sprettene: $12$ m (opp+ned), $7{,}2$ m, $4{,}32$ m, $2{,}592$ m … og summer dem fortløpende: $10 + 12 = 22$ , $+7{,}2 = 29{,}2$ , $+4{,}32 = 33{,}52$ , $+2{,}592 = 36{,}112$ … Summen nærmer seg tydelig $40$ m, men når det ALDRI helt nøyaktig etter et endelig antall ledd. Det er nettopp derfor formelen for den uendelige summen er nyttig.

Fortløpende delsummer
Delsum	Verdi
10 + 12	22
+ 7,2	29,2
+ 4,32	33,52
+ 2,592	36,112 (nærmer seg 40)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11En aritmetisk rekke har $a_1 = 4$ og $d = 3$ . Hva er $a_5$ ?

Vis fasit

a1=4, d=3, n=5
a5 = $4 + 4 \cdot 3 =$ 16

Finn a5
a1	d	a5
4	3	16

L-12Hva kjennetegner en geometrisk rekke?

Vis fasit

Geometrisk rekke har konstant forhold mellom ledd
fast kvotient r

Kjennetegn
Type	Kjennetegn
Geometrisk	Fast kvotient r

L-13En geometrisk rekke har $a_1 = 5$ og $r = 2$ . Hva er $a_4$ ?

Vis fasit

a1=5, r=2
a4 = $5 \cdot 2^{3} = 5 \cdot 8 =$ 40

Finn a4
a1	r	a4
5	2	40

Middels(3)

M-11En aritmetisk rekke (en plantes ukentlige høyde, med et fast tillegg) har $a_1 = 4$ cm og $d = 3$ cm. Finn $S_{10}$ (total vekst over 10 uker). Svar i cm.

Vis fasit

a1=4, d=3, n=10
S10 = $\frac{10}{2}$ gange ( $2 \cdot 4 + 9 \cdot 3$ ) = $5 \cdot (8+27) = 5 \cdot 35 =$ 175 cm

Finn S10
a1	d	n	S10
4	3	10	175 cm

M-12En geometrisk rekke har $a_1 = 10$ og $r = 3$ . Finn $S_6$ .

Vis fasit

a1=10, r=3, n=6
$S_6 = \frac{10 \cdot (3^{6} - 1)}{3-1} = \frac{10 \cdot 728}{2} =$ 3 640

Finn S6
a1	r	n	S6
10	3	6	3 640

M-13En geometrisk rekke har $a_1 = 200$ og $r = 0{,}5$ . Hva er $a_5$ ?

Vis fasit

a1=200, r=0,5
a5 = $200 \cdot 0{,}5^{4} = 200 \cdot 0{,}0625 =$ 12,5

Finn a5
a1	r	a5
200	0,5	12,5

Vanskelig(3)

V-11Finn den uendelige summen av den geometriske rekken med $a_1 = 6$ og $r = 0{,}5$ .

Vis fasit

a1=6, r=0,5, og |r|<1 så summen finnes
S = $\frac{6}{1-0{,}5} =$ 12

Finn den uendelige summen
a1	r	S∞
6	0,5	12

V-12En annen ball slippes fra $8$ m og når $75\ \%$ av forrige høyde ved hvert sprett (a₁ = 2·8·0,75 = 12 m for sprett-rekken). Finn den totale strekningen. Svar i m.

Vis fasit

Sprett-rekken har a1=12, r=0,75
S = $\frac{12}{1-0{,}75} = 48$
legg til første fall 8 m
8 + 48 = 56 m

Finn totalstrekningen
Del	Verdi
Første fall	8 m
Sprett-rekke (a1=12, r=0,75)	48 m
Total	56 m

V-13Hvorfor har den geometriske rekken med $a_1 = 5$ og $r = 1{,}2$ IKKE en uendelig sum?

Vis fasit

r=1,2 gir |r|>1
leddene blir stadig større i stedet for å avta
summen vokser mot uendelig, ingen endelig sum finnes

Har rekken en uendelig sum?
r	\|r\|	Uendelig sum?
1,2	1,2 > 1	Nei