Rekker og egenskaper

En ARITMETISK rekke har et FAST leddvis tillegg $d$ mellom naboledd: $a_n = a_1 + (n-1)d$ . En GEOMETRISK rekke har en FAST kvotient $r$ mellom naboledd: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ . Det mest overraskende: en UENDELIG geometrisk rekke kan ha en ENDELIG sum, men BARE hvis $|r| < 1$ – da blir hvert ledd så mye mindre enn det forrige at summen «stopper å vokse» selv om den har uendelig mange ledd.

Aritmetisk sum

$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$

Geometrisk sum

$S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}, \quad r \neq 1$

Uendelig geometrisk sum

$S = \frac{a_1}{1 - r}, \quad |r| < 1$

Aritmetisk vs. geometrisk rekke
Type	Leddformel	Kjennetegn
Aritmetisk	aₙ = a₁ + (n−1)d	fast differanse d
Geometrisk	aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹	fast kvotient r

Tips

Sjekk FØRST om differansen mellom ledd er FAST (aritmetisk) eller om KVOTIENTEN mellom ledd er fast (geometrisk) – de to rekketypene bruker helt ulike formler.
En uendelig geometrisk rekke har KUN en sum når $|r| < 1$ . Er $r \geq 1$ eller $r \leq -1$ , vokser leddene i det uendelige, og summen finnes ikke.

Eksempel: Total strekning en sprettende ball tilbakelegger

En ball slippes fra $10$ m høyde. Ved hvert sprett når den $60\ \%$ av høyden fra forrige sprett. Finn den TOTALE vertikale strekningen ballen tilbakelegger (opp og ned, uendelig mange sprett), gitt at strekningen etter det første fallet er en uendelig geometrisk rekke med $a_1 = 2 \cdot 10 \cdot 0{,}6 = 12$ m og $r = 0{,}6$ .

Fra sprettmønster til totalstrekning
Del	Verdi
Første fall	10 m
Uendelig rekke av sprett (a₁=12, r=0,6)	30 m
Totalstrekning	40 m

Løsning:

Det første fallet er $10$ m, deretter tilbakelegger ballen opp-og-ned-strekninger som danner en uendelig geometrisk rekke med $a_1 = 12$ m og $r = 0{,}6$
siden $|r| = 0{,}6 < 1$ , har denne rekken en sum: $S = \frac{a_1}{1-r} = \frac{12}{1 - 0{,}6} = \frac{12}{0{,}4} = 30$ m
legg til det første fallet: totalstrekningen er $10 + 30$ . Ballen tilbakelegger totalt $40$ m, selv om den spretter et UENDELIG antall ganger – fordi høydene minker raskt nok til at summen konvergerer.

Alternativ forklaring/metode: Summer de første sprettene for hånd og se at summen nærmer seg 40 m

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regne ut de første leddene og se mønsteret

Usikker på formelen? Regn ut høydene til de første sprettene: $12$ m (opp+ned), $7{,}2$ m, $4{,}32$ m, $2{,}592$ m … og summer dem fortløpende: $10 + 12 = 22$ , $+7{,}2 = 29{,}2$ , $+4{,}32 = 33{,}52$ , $+2{,}592 = 36{,}112$ … Summen nærmer seg tydelig $40$ m, men når det ALDRI helt nøyaktig etter et endelig antall ledd – det er nettopp derfor formelen for den uendelige summen er nyttig.

Fortløpende delsummer
Delsum	Verdi
10 + 12	22
+ 7,2	29,2
+ 4,32	33,52
+ 2,592	36,112 (nærmer seg 40)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11En aritmetisk rekke har $a_1 = 4$ og $d = 3$ . Hva er $a_5$ ?

Vis fasit

Finn a5
a1	d	a5
4	3	16

a1=4, d=3, n=5
a5 = 4 + 4 gange 3 = 16

L-12Hva kjennetegner en geometrisk rekke?

Vis fasit

Kjennetegn
Type	Kjennetegn
Geometrisk	Fast kvotient r

Geometrisk rekke har konstant forhold mellom ledd
fast kvotient r

L-13En geometrisk rekke har

a_1 = 5

r = 2

. Hva er

a_4

Vis fasit

Finn a4
a1	r	a4
5	2	40

a1=5, r=2
a4 = 5 gange 2 opphøyd i 3 = 5 gange 8 = 40

Middels(3)

M-11En aritmetisk rekke (en plantes ukentlige høyde, med et fast tillegg) har

a_1 = 4

cm og

d = 3

cm. Finn

S_{10}

(total vekst over 10 uker).

Vis fasit

Finn S10
a1	d	n	S10
4	3	10	175 cm

a1=4, d=3, n=10
S10 = $\frac{10}{2}$ gange (2 gange 4 + 9 gange 3) = 5 gange (8+27) = 5 gange 35 = 175 cm

M-12En geometrisk rekke har $a_1 = 10$ og $r = 3$ . Finn $S_6$ .

Vis fasit

Finn S6
a1	r	n	S6
10	3	6	3 640

a1=10, r=3, n=6
S6 = 10 gange (3 opphøyd i 6 minus 1) delt på (3-1) = 10 gange 728 delt på 2 = 3 640

M-13En geometrisk rekke har

a_1 = 200

r = 0,5

. Hva er

a_5

Vis fasit

Finn a5
a1	r	a5
200	0,5	12,5

a1=200, r=0,5
a5 = 200 gange 0,5 opphøyd i 4 = 200 gange 0,0625 = 12,5

Vanskelig(3)

V-11Finn den uendelige summen av den geometriske rekken med

a_1 = 6

r = 0,5

Vis fasit

Finn den uendelige summen
a1	r	S∞
6	0,5	12

a1=6, r=0,5, og |r|<1 så summen finnes
S = 6 delt på (1-0,5) = 12

V-12En annen ball slippes fra

8

m og når

75\ \%

av forrige høyde ved hvert sprett (a₁ = 2·8·0,75 = 12 m for sprett-rekken). Finn den totale strekningen.

Vis fasit

Finn totalstrekningen
Del	Verdi
Første fall	8 m
Sprett-rekke (a1=12, r=0,75)	48 m
Total	56 m

Sprett-rekken har a1=12, r=0,75
S = 12 delt på (1-0,75) = 48
legg til første fall 8 m
8 + 48 = 56 m

V-13Hvorfor har den geometriske rekken med

a_1 = 5

r = 1,2

IKKE en uendelig sum?

Vis fasit

Har rekken en uendelig sum?
r	\|r\|	Uendelig sum?
1,2	1,2 > 1	Nei

r=1,2 gir |r|>1
leddene blir stadig større i stedet for å avta
summen vokser mot uendelig, ingen endelig sum finnes