Eksamensoppgaver – Rekker og vekstmodeller (R2)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 1 – Oppgave 2

Uten hjelpemidler – 6 poeng

a) Finn summen av den aritmetiske rekken $3+7+11+15+\cdots+399$ .

b) Bestem kvotienten $k$ for en uendelig geometrisk rekke som konvergerer og som har $a_1=12$ og sum $=18$ .

c) Vis at tallet $0{,}75757575\ldots$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å vise at $1{,}75757575\ldots=\dfrac{58}{33}$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) trenger vi antall ledd i den aritmetiske rekken før vi kan bruke summeformelen. I b) bruker vi formelen for summen av en uendelig konvergent geometrisk rekke til å løse for kvotienten. I c) skal en repeterende desimalbrøk tolkes som en uendelig geometrisk rekke, med det repeterende tosifrede mønsteret som hvert nytt ledd.

Strategi og formel: a) Finn antall ledd $n$ ved $a_n=a_1+(n-1)d$ , og bruk deretter $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ . b) Bruk $S_\infty=\dfrac{a_1}{1-k}$ og løs for $k$ . c) Skriv $0{,}75757575\ldots=0{,}75+0{,}0075+0{,}000075+\cdots$ , identifiser $a_1$ og kvotienten, og bruk summeformelen for uendelig geometrisk rekke.

Trinnvis utregning:

a) $399=3+(n-1)\cdot 4$
$n-1=99$
$n=100$ . $S_{100}=\dfrac{100(3+399)}{2}=\dfrac{100\cdot 402}{2}=20\ 100$ . b) $S_\infty=\dfrac{a_1}{1-k}$
$18=\dfrac{12}{1-k}$
$1-k=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$
$k=\dfrac{1}{3}$ . c) $0{,}75757575\ldots=0{,}75+0{,}75\cdot 0{,}01+0{,}75\cdot 0{,}01^2+\cdots$ , en uendelig geometrisk rekke med $a_1=0{,}75$ og $k=0{,}01$ . $S_\infty=\dfrac{0{,}75}{1-0{,}01}=\dfrac{0{,}75}{0{,}99}=\dfrac{75}{99}=\dfrac{25}{33}$ . $1{,}75757575\ldots=1+\dfrac{25}{33}=\dfrac{33}{33}+\dfrac{25}{33}=\dfrac{58}{33}$ , som skulle vises.

Svar: a) Summen er $20\ 100$ . b) $k=$ $\dfrac{1}{3}$ . c) $0{,}75757575\ldots=\dfrac{25}{33}$ , altså $1{,}75757575\ldots=$ $\dfrac{58}{33}$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Finner riktig antall ledd og riktig sum $20\ 100$ i a), løser riktig for $k=\frac{1}{3}$ i b), og skriver i c) den repeterende desimalen som en korrekt uendelig geometrisk rekke med $a_1=0{,}75$ og $k=0{,}01$ , og fullfører utregningen til $\frac{58}{33}$ .
3/6	Riktig i a) og b), men klarer i c) ikke å identifisere riktig $a_1$ og $k$ for den repeterende desimalen (typisk feil: bruker $k=0{,}1$ i stedet for $k=0{,}01$ siden mønsteret er TOsifret, ikke ettsifret).
0/6	Bruker feil formel for antall ledd i a) (glemmer $+1$ ), og forveksler i b) formelen for uendelig sum med formelen for endelig sum av en geometrisk rekke.

Sensor-tips

Den vanligste fellen i c) er å sette kvotienten til $0{,}1$ i stedet for $0{,}01$ , siden mønsteret '75' er TO sifre langt, må hvert nytt ledd være $\frac{1}{100}$ av det forrige, ikke $\frac{1}{10}$ .
I b) er det lett å forveksle formelen for en uendelig konvergent rekke ( $S_\infty=\frac{a_1}{1-k}$ ) med formelen for en endelig rekke ( $S_n=a_1\cdot\frac{1-k^n}{1-k}$ ): sjekk at eleven bruker riktig formel for riktig type rekke.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Høst 2024, Del 1, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 4 poeng

En uendelig rekke er gitt ved den rekursive sammenhengen

$a_n=(a_{n-1}-1)^2$

a) Lag et program som skriver ut de $6$ første leddene i rekken dersom $a_1=5$ .

b) Avgjør om det finnes et heltall $a_1$ som gjør at rekken blir konvergent.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi programmere den rekursive regelen og la et program generere de neste leddene fra startverdien. I b) skal vi avgjøre om NOEN heltallsverdi for $a_1$ kan gjøre at følgen $a_n$ nærmer seg en grenseverdi i stedet for å vokse mot uendelig eller oscillere for alltid.

Strategi og formel: a) Skriv en enkel løkke som starter på $a_1=5$ og gjentatte ganger regner ut $a_n=(a_{n-1}-1)^2$ . b) En konvergent følge må nærme seg et FASTPUNKT $L$ der $L=(L-1)^2$ . Løs denne likningen for å finne mulige grenseverdier, og sjekk om noen av dem er hele tall. Test deretter noen få heltallsverdier for $a_1$ direkte for å se hva som faktisk skjer.

Trinnvis utregning:

a) Med $a_1=5$ :
$a_2=(5-1)^2=16$
$a_3=(16-1)^2=225$
$a_4=(225-1)^2=50\ 176$
$a_5=(50\ 176-1)^2=2\,517\,530\,625$
$a_6\approx 6{,}3\cdot 10^{18}$ Et Python-program: a=5; print(a) etterfulgt av en løkke for i in range(5): a=(a-1)**2; print(a), som skriver ut de 6 første leddene. b) Et eventuelt fastpunkt $L$ må oppfylle $L=(L-1)^2$ , altså $L^2-3L+1=0$ , som gir $L=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ – BEGGE er irrasjonale tall, ikke hele tall.
Siden $a_1$ er et heltall, og $(a-1)^2$ av et heltall alltid gir et NYTT heltall, kan følgen ALDRI treffe et irrasjonalt fastpunkt nøyaktig.
Tester en rekke heltall: $a_1=0\to 1\to 0\to 1\to\cdots$ (en 2-periode, konvergerer IKKE til én verdi). $a_1=1\to 0\to 1\to\cdots$ (samme 2-periode). $a_1=2\to 1\to 0\to 1\to\cdots$ havner også i 2-perioden etter ett ledd. For alle andre heltall ( $a_1\leq -1$ eller $a_1\geq 3$ ) vokser følgen raskt mot uendelig.
Konklusjon: siden de eneste mulige grenseverdiene er irrasjonale, og ethvert heltall $a_1$ enten ender i 2-perioden $\{0,1\}$ eller vokser mot uendelig, finnes det INGEN heltall $a_1$ som gjør rekken konvergent.

Svar: a) Programmet gir leddene $5,\ 16,\ 225,\ 50\ 176,\ 2\,517\,530\,625,\ \ldots$ b) Nei, det finnes ikke noe heltall $a_1$ som gjør rekken konvergent. De eneste mulige grenseverdiene, $\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ , er irrasjonale.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Skriver et fungerende program i a) som gir riktige verdier, og argumenterer i b) korrekt for at fastpunktene til rekursjonen er irrasjonale, og at ethvert heltall enten vokser mot uendelig eller havner i 2-perioden $\{0,1\}$ , altså at ingen heltall gir konvergens.
2/4	Riktig program i a), men konkluderer i b) uten fullstendig begrunnelse – f.eks. tester bare noen få heltall uten å knytte det til fastpunktlikningen $L=(L-1)^2$ .
0/4	Programmerer rekursjonen feil (f.eks. kvadrerer $a_{n-1}$ i stedet for $a_{n-1}-1$ ), og trekker i b) en konklusjon basert på det feilaktige programmet.

Sensor-tips

Legg merke til at $a_1=0$ og $a_1=1$ IKKE gir en konvergent følge, selv om verdiene forblir små og følgen ikke vokser mot uendelig. Dette er en periodisk (oscillerende) følge, og periodisitet er noe annet enn konvergens. Sjekk at eleven ikke forveksler 'begrenset' med 'konvergent'.
Den sterkeste argumentasjonen i b) bruker fastpunktlikningen $L=(L-1)^2$ til å vise at INGEN heltall kan være en grenseverdi: en ren opplisting av noen få testede heltall uten dette argumentet er en svakere besvarelse.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Vår 2026, Del 2, Oppgave 2