Eksamensoppgaver – Rekker og vekstmodeller (R2)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 1 – Oppgave 2

Uten hjelpemidler – 6 poeng

a) Finn summen av den aritmetiske rekken $3+7+11+15+\cdots+399$ .

b) Bestem kvotienten $k$ for en uendelig geometrisk rekke som konvergerer og som har $a_1=12$ og sum $=18$ .

c) Vis at tallet $0{,}75757575\ldots$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å vise at $1{,}75757575\ldots=\dfrac{58}{33}$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) trenger vi antall ledd i den aritmetiske rekken før vi kan bruke summeformelen. I b) bruker vi formelen for summen av en uendelig konvergent geometrisk rekke til å løse for kvotienten. I c) skal en repeterende desimalbrøk tolkes som en uendelig geometrisk rekke, med det repeterende tosifrede mønsteret som hvert nytt ledd.

Strategi og formel: a) Finn antall ledd $n$ ved $a_n=a_1+(n-1)d$ , og bruk deretter $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ . b) Bruk $S_\infty=\dfrac{a_1}{1-k}$ og løs for $k$ . c) Skriv $0{,}75757575\ldots=0{,}75+0{,}0075+0{,}000075+\cdots$ , identifiser $a_1$ og kvotienten, og bruk summeformelen for uendelig geometrisk rekke.

Trinnvis utregning:

a) $399=3+(n-1)\cdot 4$
$n-1=99$
$n=100$ . $S_{100}=\dfrac{100(3+399)}{2}=\dfrac{100\cdot 402}{2}=20 100$ . b) $S_\infty=\dfrac{a_1}{1-k}$
$18=\dfrac{12}{1-k}$
$1-k=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$
$k=\dfrac{1}{3}$ . c) $0{,}75757575\ldots=0{,}75+0{,}75\cdot 0{,}01+0{,}75\cdot 0{,}01^2+\cdots$ , en uendelig geometrisk rekke med $a_1=0{,}75$ og $k=0{,}01$ . $S_\infty=\dfrac{0{,}75}{1-0{,}01}=\dfrac{0{,}75}{0{,}99}=\dfrac{75}{99}=\dfrac{25}{33}$ . $1{,}75757575\ldots=1+\dfrac{25}{33}=\dfrac{33}{33}+\dfrac{25}{33}=\dfrac{58}{33}$ , som skulle vises.

Svar: a) Summen er $20 100$ . b) $k=$ $\dfrac{1}{3}$ . c) $0{,}75757575\ldots=\dfrac{25}{33}$ , altså $1{,}75757575\ldots=$ $\dfrac{58}{33}$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Finner riktig antall ledd og riktig sum $20 100$ i a), løser riktig for $k=\frac{1}{3}$ i b), og skriver i c) den repeterende desimalen som en korrekt uendelig geometrisk rekke med $a_1=0{,}75$ og $k=0{,}01$ , og fullfører utregningen til $\frac{58}{33}$ .
3/6	Riktig i a) og b), men klarer i c) ikke å identifisere riktig $a_1$ og $k$ for den repeterende desimalen (typisk feil: bruker $k=0{,}1$ i stedet for $k=0{,}01$ siden mønsteret er TOsifret, ikke ettsifret).
0/6	Bruker feil formel for antall ledd i a) (glemmer $+1$ ), og forveksler i b) formelen for uendelig sum med formelen for endelig sum av en geometrisk rekke.

Sensor-tips

Den vanligste fellen i c) er å sette kvotienten til $0{,}1$ i stedet for $0{,}01$ – siden mønsteret '75' er TO sifre langt, må hvert nytt ledd være $\frac{1}{100}$ av det forrige, ikke $\frac{1}{10}$ .
I b) er det lett å forveksle formelen for en uendelig konvergent rekke ( $S_\infty=\frac{a_1}{1-k}$ ) med formelen for en endelig rekke ( $S_n=a_1\cdot\frac{1-k^n}{1-k}$ ) – sjekk at eleven bruker riktig formel for riktig type rekke.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Høst 2024, Del 1, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 4 poeng

En uendelig rekke er gitt ved den rekursive sammenhengen

$a_n=(a_{n-1}-1)^2$

a) Lag et program som skriver ut de $6$ første leddene i rekken dersom $a_1=5$ .

b) Avgjør om det finnes et heltall $a_1$ som gjør at rekken blir konvergent.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi programmere den rekursive regelen og la et program generere de neste leddene fra startverdien. I b) skal vi avgjøre om NOEN heltallsverdi for $a_1$ kan gjøre at følgen $a_n$ nærmer seg en grenseverdi i stedet for å vokse mot uendelig eller oscillere for alltid.

Strategi og formel: a) Skriv en enkel løkke som starter på $a_1=5$ og gjentatte ganger regner ut $a_n=(a_{n-1}-1)^2$ . b) En konvergent følge må nærme seg et FASTPUNKT $L$ der $L=(L-1)^2$ . Løs denne likningen for å finne mulige grenseverdier, og sjekk om noen av dem er hele tall. Test deretter noen få heltallsverdier for $a_1$ direkte for å se hva som faktisk skjer.

Trinnvis utregning:

a) Med $a_1=5$ :
$a_2=(5-1)^2=16$
$a_3=(16-1)^2=225$
$a_4=(225-1)^2=50 176$
$a_5=(50 176-1)^2=2\,517\,530\,625$
$a_6\approx 6{,}3\cdot 10^{18}$ Et Python-program: a=5 etterfulgt av en løkke for i in range(5): a=(a-1)**2; print(a). b) Et eventuelt fastpunkt $L$ må oppfylle $L=(L-1)^2$ , altså $L^2-3L+1=0$ , som gir $L=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ – BEGGE er irrasjonale tall, ikke hele tall.
Siden $a_1$ er et heltall, og $(a-1)^2$ av et heltall alltid gir et NYTT heltall, kan følgen ALDRI treffe et irrasjonalt fastpunkt nøyaktig.
Tester en rekke heltall: $a_1=0\to 1\to 0\to 1\to\cdots$ (en 2-periode, konvergerer IKKE til én verdi). $a_1=1\to 0\to 1\to\cdots$ (samme 2-periode). For alle andre heltall ( $a_1\leq -1$ eller $a_1\geq 3$ ) vokser følgen raskt mot uendelig.
Konklusjon: siden de eneste mulige grenseverdiene er irrasjonale, og ethvert heltall $a_1$ enten ender i 2-perioden $\{0,1\}$ eller vokser mot uendelig, finnes det INGEN heltall $a_1$ som gjør rekken konvergent.

Svar: a) Programmet gir leddene $5,\ 16,\ 225,\ 50 176,\ 2\,517\,530\,625,\ \ldots$ b) Nei, det finnes ikke noe heltall $a_1$ som gjør rekken konvergent – de eneste mulige grenseverdiene, $\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ , er irrasjonale.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Skriver et fungerende program i a) som gir riktige verdier, og argumenterer i b) korrekt for at fastpunktene til rekursjonen er irrasjonale, og at ethvert heltall enten vokser mot uendelig eller havner i 2-perioden $\{0,1\}$ , altså at ingen heltall gir konvergens.
2/4	Riktig program i a), men konkluderer i b) uten fullstendig begrunnelse – f.eks. tester bare noen få heltall uten å knytte det til fastpunktlikningen $L=(L-1)^2$ .
0/4	Programmerer rekursjonen feil (f.eks. kvadrerer $a_{n-1}$ i stedet for $a_{n-1}-1$ ), og trekker i b) en konklusjon basert på det feilaktige programmet.

Sensor-tips

Legg merke til at $a_1=0$ og $a_1=1$ IKKE gir en konvergent følge, selv om verdiene forblir små og følgen ikke vokser mot uendelig – dette er en periodisk (oscillerende) følge, og periodisitet er noe annet enn konvergens. Sjekk at eleven ikke forveksler 'begrenset' med 'konvergent'.
Den sterkeste argumentasjonen i b) bruker fastpunktlikningen $L=(L-1)^2$ til å vise at INGEN heltall kan være en grenseverdi – en ren opplisting av noen få testede heltall uten dette argumentet er en svakere besvarelse.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Vår 2026, Del 2, Oppgave 2