Regneregler for potenser

Når du multipliserer to potenser med samme grunntall, adderer du eksponentene: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ . Når du opphøyer en potens i en ny eksponent, ganger du eksponentene: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ . Og ethvert tall (unntatt 0) opphøyd i 0 er lik 1: $a^0 = 1$ .

Multiplisere potenser

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Potens av en potens

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Nullte potens

$a^0 = 1$

Tips

Regelen $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ gjelder KUN når grunntallene er like. $2^3 \cdot 3^2$ kan ikke forenkles til én potens, fordi grunntallene (2 og 3) er forskjellige.
Ikke bland sammen «gange eksponenter sammen» og «gange to potenser sammen». $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$ (legg sammen), mens $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$ (gang sammen).

Eksempel: Forenkle et potensuttrykk

Forenkle $3^2 \cdot 3^4$ til én potens, og regn ut svaret.

Forenkle 3² * 3⁴
Steg	Uttrykk
Legg sammen eksponentene	3^(2+4) = 3^6
Regn ut potensen	3^6 = 729

Løsning:

Grunntallene er like (begge er 3), så vi bruker regelen for å multiplisere potenser – legg sammen eksponentene: $3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$
$3^6 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 =$ 729.

Alternativ forklaring/metode: Skrive ut hele multiplikasjonen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Skrive ut alle faktorene

Hvis du er usikker på regelen, kan du skrive ut potensene som gjentatt multiplikasjon og telle faktorene: $3^2 \cdot 3^4 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$ – det er 6 treere totalt, altså $3^6$ . Dette viser HVORFOR regelen fungerer, ikke bare at den gjør det.

Uttrykk	Antall treere
3^2	2
3^4	4
Totalt	6, altså 3^6

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Skriv $2^3 \cdot 2^2$ som én potens.

Vis fasit

Steg	Uttrykk
2^3 * 2^2	2^(3+2)
Resultat	2^5

2^3 * 2^2 = 2^(3+2) = 2^5

L-22Skriv

5^2 \cdot 5^1

som én potens.

Vis fasit

Steg	Uttrykk
5^2 * 5^1	5^(2+1)
Resultat	5^3

5^2 * 5^1 = 5^(2+1) = 5^3

L-23Hva er

7^0

Vis fasit

Steg	Uttrykk
7^0	1

Ethvert tall opphøyd i 0 er 1
7^0 = 1

Middels(3)

M-21Forenkle

(2^2)^3

til én potens, og regn ut svaret.

Vis fasit

Steg	Uttrykk
(2^2)^3	2^(2*3) = 2^6
Resultat	64

(2^2)^3 = 2^(2*3) = 2^6 = 64

M-22Forenkle

4^3 \cdot 4^2

til én potens, og regn ut svaret.

Vis fasit

Steg	Uttrykk
4^3 * 4^2	4^(3+2) = 4^5
Resultat	1 024

4^3 * 4^2 = 4^(3+2) = 4^5 = 1 024

M-23Kan

2^3 \cdot 3^2

forenkles til én potens? Forklar.

Vis fasit

Steg	Uttrykk
Grunntall	2 og 3 (ulike)
Konklusjon	Nei, kan ikke forenkles

2 ≠ 3, grunntallene er ulike
regelen a^m * a^n = a^(m+n) krever samme grunntall, så uttrykket kan ikke forenkles til én potens: nei, ulike grunntall

Vanskelig(3)

V-21Forenkle

(3^2)^2 \cdot 3^1

til én potens, og regn ut svaret.

Vis fasit

Steg	Uttrykk
(3^2)^2	3^4
3^4 * 3^1	3^(4+1) = 3^5
Resultat	243

(3^2)^2 = 3^4. Deretter 3^4 * 3^1 = 3^(4+1) = 3^5 = 243

V-22Vis at

2^2 \cdot 2^3 \neq 2^6

ved å regne ut begge sider.

Vis fasit

Steg	Uttrykk
2^2 * 2^3	4 * 8 = 32 = 2^5
2^6	64, ikke likt

2^2 * 2^3 = 4 * 8 = 32 = 2^5. Men 2^6 = 64.
32 ≠ 64, riktig svar er 2^5, ikke 2^6

V-23Forenkle

(5^0)^3 \cdot 5^2

til ett tall.

Vis fasit

Steg	Uttrykk
5^0	1
(5^0)^3	1
1 * 5^2	25

5^0 = 1
(5^0)^3 = 1^3 = 1
1 * 5^2 = 1 * 25 = 25