Eksamensoppgaver – Potenser (8. trinn)

Utdanningsdirektoratet

Vår 2011, Del 1 – Oppgave 3

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Regn ut:

a) $3 + 2 \cdot 5 + 2^3$
b) $-3^2 \cdot (-3)^2$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal regne ut to talluttrykk der potenser inngår, og passe på at regnerekkefølgen (potens før multiplikasjon, multiplikasjon før addisjon) og fortegnsreglene for potenser stemmer.

Strategi og formel: Vi bruker regelrekkefølgen: potenser regnes ut først, deretter multiplikasjon, og til slutt addisjon/subtraksjon. I b) er det viktig å legge merke til at et fortegn uten parentes IKKE hører med i selve opphøyingen, mens et fortegn inni en parentes gjør det.

Trinnvis utregning:

a) $3 + 2 \cdot 5 + 2^3$
regn ut potensen: $2^3 = 8$
$3 + 2 \cdot 5 + 8$
regn ut multiplikasjonen: $2 \cdot 5 = 10$
$3 + 10 + 8 = 21$
b) $-3^2 \cdot (-3)^2$
$-3^2 = -(3^2) = -9$ (uten parentes opphøyes kun 3)
$(-3)^2 = 9$ (med parentes er hele $-3$ med i opphøyingen)
$-9 \cdot 9 = -81$

Svar: a) 21 b) -81

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Begge svarene er riktige (a = 21, b = −81), med potensene regnet ut før multiplikasjon/addisjon.
0/1	Ett eller begge svarene er feil, f.eks. fordi $-3^2$ er regnet som $(-3)^2 = 9$ , eller fordi regnerekkefølgen er byttet om.

Sensor-tips

Den vanligste feilen er å forveksle $-3^2$ med $(-3)^2$ , uten parentes er det bare 3 som opphøyes, fortegnet står utenfor.
Vis gjerne mellomregningen (potens først, så multiplikasjon, så addisjon) selv om oppgaven bare ber om et tall i svarfeltet. Det gir et tryggere grunnlag for full pott.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2011, Del 1, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Vår 2018, Del 1 – Oppgave 2

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Skriv så enkelt som mulig:

a) $2^3 - 2$
b) $\frac{2^2 \cdot 2^4}{2+2}$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forenkle/regne ut to potensuttrykk så langt det går.

Strategi og formel: I a) regner vi ut potensen først og trekker deretter fra. I b) bruker vi regelen for å multiplisere potenser med samme grunntall (adder eksponentene) i telleren, regner ut nevneren for seg, og deler til slutt.

Trinnvis utregning:

a) $2^3 - 2$
$2^3 = 8$
$8 - 2 = 6$
b) $\frac{2^2 \cdot 2^4}{2+2}$
telleren, samme grunntall: $2^2 \cdot 2^4 = 2^{2+4} = 2^6 = 64$
nevneren: $2+2=4$
$\frac{64}{4} = 16$

Svar: a) 6 b) 16

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Begge svarene er riktige (a = 6, b = 16), og b) viser bruk av regelen $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ i telleren.
1/2	Ett av svarene er riktig med vist fremgangsmåte, eller begge svarene har riktig metode men en regnefeil i siste steg.
0/2	Ingen av svarene er riktige, eller begge svarene mangler fremgangsmåte.

Sensor-tips

En vanlig feil i b) er å tro at $2+2$ i nevneren også følger potensregelen: nevneren er vanlig addisjon, ikke en potens av 2.
Regelen $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ gjelder kun mellom faktorer med samme grunntall (her: begge er 2) i telleren.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2018, Del 1, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Vår 2019, Del 1 – Oppgave 7

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Avstanden fra jorda til sola er omtrent 150 000 000 km.

Hvordan skriver vi denne avstanden på standardform?

$1{,}5 \cdot 10^8$ km
$150 \cdot 10^8$ km
$1{,}5 \cdot 10^6$ km
$15 \cdot 10^6$ km

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal skrive 150 000 000 km på standardform.

Strategi og formel: På standardform skriver vi et tall som $a \cdot 10^n$ med $1 \leq a < 10$ . Vi flytter komma til det står ett siffer foran det, og teller hvor mange plasser vi flyttet.

Trinnvis utregning:

$150\ 000\ 000 = 1{,}5 \cdot 100\ 000\ 000$
$100\ 000\ 000 = 10^8$ (åtte nuller)
$150\ 000\ 000 = 1{,}5 \cdot 10^8$

Svar: Riktig alternativ er $1{,}5 \cdot 10^8$ km.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Velger $1{,}5 \cdot 10^8$ km.
0/1	Feil svar eller ikke besvart.

Sensor-tips

$150 \cdot 10^8$ og $15 \cdot 10^6$ har ikke riktig form: tallet foran tierpotensen må være mellom 1 og 10.
Tell nullene nøye: 150 000 000 har åtte nuller når vi skriver det som $1{,}5 \cdot 100\ 000\ 000$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2019, Del 1, Oppgave 7

Utdanningsdirektoratet

Vår 2018, Del 1 – Oppgave 7

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Det er omtrent 7 500 000 000 mennesker på jorden.

Skriv tallet på standardform.

$75 \cdot 10^9$
$7{,}5 \cdot 10^8$
$7{,}5 \cdot 10^9$
$75 \cdot 10^8$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal skrive 7 500 000 000 på standardform.

Strategi og formel: På standardform er tallet foran tierpotensen mellom 1 og 10. Vi flytter komma og teller plasser.

Trinnvis utregning:

$7\ 500\ 000\ 000 = 7{,}5 \cdot 1\ 000\ 000\ 000$
én milliard er $10^9$ (ni nuller)
$7\ 500\ 000\ 000 = 7{,}5 \cdot 10^9$

Svar: Riktig alternativ er $7{,}5 \cdot 10^9$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Velger $7{,}5 \cdot 10^9$ .
0/1	Feil svar eller ikke besvart.

Sensor-tips

$75 \cdot 10^8$ er riktig verdi, men ikke på standardform fordi 75 er større enn 10. Standardform krever et tall mellom 1 og 10 foran tierpotensen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2018, Del 1, Oppgave 7

Utdanningsdirektoratet

Vår 2017, Del 1 – Oppgave 13

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Avstanden fra jorda til månen er ca. 384 000 000 m.

Avstanden skrevet på standardform er

$3{,}84 \cdot 10^{-8}$ m
$3{,}84 \cdot 10^6$ m
$3{,}84 \cdot 10^8$ m
$38{,}4 \cdot 10^8$ m

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal skrive 384 000 000 m på standardform.

Strategi og formel: På standardform er tallet foran tierpotensen mellom 1 og 10. Vi flytter komma og teller hvor mange plasser.

Trinnvis utregning:

$384\ 000\ 000 = 3{,}84 \cdot 100\ 000\ 000$
$100\ 000\ 000 = 10^8$ (åtte nuller)
$384\ 000\ 000 = 3{,}84 \cdot 10^8$

Svar: Riktig alternativ er $3{,}84 \cdot 10^8$ m.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Velger $3{,}84 \cdot 10^8$ m.
0/1	Feil svar eller ikke besvart.

Sensor-tips

Negativ eksponent ( $10^{-8}$ ) brukes for svært små tall, ikke for store.
$38{,}4 \cdot 10^8$ er riktig verdi, men ikke på standardform, siden 38,4 er større enn 10.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2017, Del 1, Oppgave 13

Utdanningsdirektoratet

Vår 2016, Del 1 – Oppgave 6

Uten hjelpemidler – 0.5 poeng

Massen til et elektron er ca. 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91 kg

På standardform skriver vi dette tallet som

$91 \cdot 10^{-33}$ kg
$91 \cdot 10^{-32}$ kg
$9{,}1 \cdot 10^{31}$ kg
$9{,}1 \cdot 10^{-31}$ kg

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal skrive massen til et elektron på standardform.

Strategi og formel: Svært små tall skrives med negativ eksponent. Vi flytter komma til det står ett siffer foran det, og teller hvor mange plasser vi flytter det mot høyre.

Trinnvis utregning:

tallet har 30 nuller etter komma før sifrene $91$
vi flytter komma $31$ plasser mot høyre for å få $9{,}1$
eksponenten er $-31$
$0{,}000\ldots091 = 9{,}1 \cdot 10^{-31}$

Svar: Riktig alternativ er $9{,}1 \cdot 10^{-31}$ kg.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 0.5 poeng)

Poeng	Krav
0,5/0,5	Velger $9{,}1 \cdot 10^{-31}$ kg.
0/0,5	Feil svar eller ikke besvart.

Sensor-tips

Svært små tall har negativ eksponent. $9{,}1 \cdot 10^{31}$ er et astronomisk stort tall.
$91 \cdot 10^{-32}$ er riktig verdi, men ikke på standardform, siden 91 er større enn 10.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2016, Del 1, Oppgave 6

Utdanningsdirektoratet

Vår 2010, Del 1 – Oppgave 19

Uten hjelpemidler – 0.5 poeng

Avstanden fra månen til jorda er $3{,}84 \cdot 10^8$ meter.

Radiosignaler fra en astronaut på månen går med lysets hastighet, det vil si 300 000 000 m/s.

Omtrent hvor mange sekunder bruker radiosignalene fra månen til jorda?

A) ca. 0,1 s
B) ca. 1 s
C) ca. 10 s
D) ca. 100 s

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne tiden radiosignalene bruker fra månen til jorda.

Strategi og formel: Tid er avstand delt på fart. Vi skriver farten i standardform, $3 \cdot 10^8$ m/s, og deler.

Trinnvis utregning:

$300\ 000\ 000 = 3 \cdot 10^8$
tid: $\frac{3{,}84 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^8} = \frac{3{,}84}{3} = 1{,}28$ s
nærmeste alternativ er 1 s

Svar: Radiosignalene bruker omtrent $1$ sekund (alternativ B).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 0.5 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Alternativ B: ca. 1 s.
0/1	Annet alternativ eller ikke besvart.

Sensor-tips

Siden begge tallene har faktoren $10^8$ , kan den forkortes bort. Da står vi igjen med $3{,}84 : 3$ .
Avstanden i meter delt på farten i meter per sekund gir tiden i sekunder.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2010, Del 1, Oppgave 19

Utdanningsdirektoratet

Vår 2009, Del 1 – Oppgave 12

Uten hjelpemidler – 0.5 poeng

Massen til et elektron er ca. 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91 kg

På standardform (normalform) kan dette tallet skrives som

A) $91 \cdot 10^{-32}$
B) $9{,}1 \cdot 10^{-31}$
C) $9{,}1 \cdot 10^{31}$
D) $91 \cdot 10^{32}$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal skrive et svært lite tall på standardform.

Strategi og formel: På standardform skriver vi tallet som et tall mellom 1 og 10 ganger en tierpotens. Vi teller hvor mange plasser kommaet må flyttes.

Trinnvis utregning:

kommaet flyttes 31 plasser til høyre for å få $9{,}1$
tallet er svært lite, så eksponenten er negativ
$9{,}1 \cdot 10^{-31}$
alternativ A er også riktig tallverdi, men $91$ er ikke mellom 1 og 10

Svar: På standardform er tallet $9{,}1 \cdot 10^{-31}$ (alternativ B).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 0.5 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Alternativ B: $9{,}1 \cdot 10^{-31}$ .
0/1	Annet alternativ eller ikke besvart.

Sensor-tips

Et lite tall gir negativ eksponent. Alternativ C og D er store tall.
Alternativ A har riktig verdi, men er ikke på standardform fordi $91$ er større enn 10.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2009, Del 1, Oppgave 12

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 1 – Oppgave 8

Avstanden mellom jorden og månen er ca. 384 000 km.

Hvordan skriver du dette tallet på standardform?

A) $3{,}84 \cdot 10^4$
B) $384 \cdot 10^2$
C) $3{,}84 \cdot 10^5$
D) $38{,}4 \cdot 10^4$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal skrive 384 000 på standardform.

Strategi og formel: På standardform skriver vi tallet som et tall mellom 1 og 10 ganger en tierpotens.

Trinnvis utregning:

kommaet flyttes fra slutten av tallet 5 plasser til venstre for å få $3{,}84$
$384\ 000 = 3{,}84 \cdot 10^5$

Svar: Standardform er $3{,}84 \cdot 10^5$ (alternativ C).

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	Alternativ C.
Feil	Annet alternativ eller ikke besvart.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 2 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her.
Alternativ D har riktig verdi ( $38{,}4 \cdot 10^4 = 384\ 000$ ), men er ikke på standardform fordi 38,4 er større enn 10. Alternativ B er feil: $384 \cdot 10^2 = 38\ 400$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 1, Oppgave 8