Eksamensoppgaver – Modelleringsprosjekt (S1)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 6 poeng

Tabellen nedenfor viser folketallet i en bygd, noen år i perioden 1910–1935.

År	1910	1913	1919	1921	1925	1927	1931	1935
Folketall	800	963	1 253	1 511	1 720	1 879	2 387	2 774

a) Bruk informasjonen til å lage en modell $F$ på formen

$F(t) = a \cdot b^t$

for antall personer $F(t)$ som bodde i bygda $t$ år etter 1910. Vurder modellens gyldighetsområde.

b) Når økte befolkningen med mer enn 80 personer per år ifølge modellen?

c) Hvor mange år gikk det før den gjennomsnittlige befolkningsveksten fra 1910 var større enn 80 personer per år ifølge modellen?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi finne en eksponentiell modell som passer til datapunktene, og si noe om hvor langt utenfor de målte årene modellen med rimelighet kan brukes. I b) skal vi finne når den MOMENTANE vekstfarten (den deriverte) passerer 80 personer/år. I c) skal vi finne når den GJENNOMSNITTLIGE vekstfarten fra 1910 passerer samme grense – to ulike vekstbegreper på samme modell.

Strategi og formel: I a), bruk eksponentiell regresjon (på graftegner/kalkulator) på alle åtte punktene til å bestemme $a$ og $b$ – ikke bare to punkter, det gir en modell som treffer datasettet dårligere. I b), deriver $F(t)$ og løs $F'(t)=80$ . I c), sett opp uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart fra $t=0$ til et generelt tidspunkt $t$ , og finn når DET passerer 80.

Trinnvis utregning:

a) Eksponentiell regresjon på de åtte punktene $(t,F)$ (med $t=$ år etter 1910) gir $a\approx 821$ og $b\approx 1{,}051$ , altså $F(t) \approx 821\cdot 1{,}051^t$ – en årlig vekst på ca. $5{,}1\ \%$ . Sjekk mot tabellen: $F(25)\approx 821\cdot 1{,}051^{25}\approx 2\,845$ , ganske nær den faktiske verdien $2\,774$ i 1935. Gyldighetsområdet er trolig begrenset til omtrent perioden dataene dekker ( $1910$ – $1935$ , altså $0\leq t\leq 25$ ) – en eksponentiell modell for befolkningsvekst i en bygd kan ikke fortsette å gjelde i det uendelige (verken bakover, siden $F(t)\to 0$ men aldri blir negativ, eller framover, siden reell befolkningsvekst avtar når ressurser/plass blir en begrensning). b) $F'(t) = a\cdot b^t \cdot \ln b \approx 821\cdot 1{,}051^t\cdot \ln(1{,}051)$ . Løser $F'(t)=80$ numerisk (GDC): $t\approx 13{,}5$
altså rundt år $1910+13{,}5\approx 1923$ – $1924$ . c) Gjennomsnittlig vekstfart fra $t=0$ til $t$ : $\dfrac{F(t)-F(0)}{t-0} = \dfrac{F(t)-821}{t}$ . Løser $\dfrac{F(t)-821}{t}>80$ numerisk (GDC): grensen passeres ved $t\approx 24{,}6$ , altså etter ca. $25$ år (rundt år $1934$ – $1935$ ).

Svar: a) $F(t) \approx$ , med gyldighetsområde omtrent $0\leq t\leq 25$ (år 1910–1935). b) Fra ca. 13,5 år etter 1910, altså rundt 1924. c) Etter ca. 25 år (rundt 1935).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
5-6/6	Finner en rimelig eksponentiell modell med regresjon på ALLE datapunktene (ikke bare to), begrunner et fornuftig gyldighetsområde, og løser BÅDE den momentane (b) og gjennomsnittlige (c) vekstfarten riktig med riktig metode for hver.
3-4/6	Finner en rimelig modell i a), men mangler en begrunnelse for gyldighetsområdet, eller blander sammen momentan og gjennomsnittlig vekstfart i b)/c) (bruker samme metode på begge i stedet for å skille dem).
1-2/6	Finner en modell i a) ved kun å bruke to av de åtte datapunktene (ikke full regresjon), og har ingen fungerende strategi i b) eller c).
0/6	Antar en LINEÆR modell i stedet for eksponentiell, eller mangler en fungerende strategi helt.

Sensor-tips

Godta noe avvik i $a$ og $b$ fra fasitverdiene – ulike graftegnere/kalkulatorer kan gi marginalt ulike regresjonsresultater. Se etter METODEN (regresjon på alle punktene), ikke et eksakt tall.
Den vanligste sammenblandingen mellom b) og c) er å bruke $F'(t)$ i BEGGE deloppgavene – minn eleven på at b) spør om en MOMENTAN vekstfart (den deriverte i ett punkt), mens c) spør om en GJENNOMSNITTLIG vekstfart (endring delt på tid, over et helt intervall fra 1910).

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S1 matematikk, Høst 2025, Del 2, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 4 poeng

Beboerne i et boligområde klager på lukt fra et biogassanlegg. Kommunen tar luftprøver og vurderer værdata som vind og temperatur. Prøvene analyseres, og hver prøve gis en luktverdi $C$ . Denne luktverdien er gitt i luktenheter (odour units) per kubikkmeter ( $OU/m^3$ ).

Sammenhengen mellom $C$ og luktintensiteten $I$ er gitt ved

$I = 1{,}4 \cdot \lg(C) - 0{,}3$

Biogassanlegget er pålagt å forholde seg til tabellen nedenfor.

Luktintensitet ( $I$ )	Vurdering
$I \lt 1$	uproblematisk
$1$ – $2$	akseptabelt
$2$ – $3$	kan aksepteres kortvarig
$3$ – $4$	plagsom lukt, bør begrenses
$I \gt 4$	plagsomt, tiltak kreves

Resultatet av prøvene viser luktverdier mellom $500\ OU/m^3$ og $1 400\ OU/m^3$ .

a) Har beboerne grunnlag for å klage?

Biogassanlegget tar klagene på alvor og ønsker å redusere luktplagene.

b) Hvilken luktverdi må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi regne om de MÅLTE luktverdiene ( $C$ ) til luktintensitet ( $I$ ) og se hvor de havner i vurderingstabellen. I b) skal vi snu formelen: finne HVILKEN $C$ -verdi som gir en $I$ -verdi innenfor det ønskede «akseptabelt»-intervallet.

Strategi og formel: I a), sett de to ytterpunktene $C=500$ og $C=1 400$ inn i formelen for $I$ , og sammenlign resultatet med tabellen. I b), løs likningen $I=1{,}4\cdot\lg(C)-0{,}3$ for $C$ (isoler logaritmen først, opphøy deretter begge sider i $10$ ) ved grenseverdien til «akseptabelt»-kategorien.

Trinnvis utregning:

a) $I(500) = 1{,}4\cdot \lg(500) - 0{,}3 \approx 1{,}4\cdot 2{,}699 - 0{,}3 \approx 3{,}48$ . $I(1 400) = 1{,}4\cdot \lg(1 400) - 0{,}3 \approx 1{,}4\cdot 3{,}146 - 0{,}3 \approx 4{,}10$ .
Begge verdiene ligger i intervallet $I>3$ – altså minst «plagsom lukt, bør begrenses», og til dels «plagsomt, tiltak kreves» ( $I>4$ ). b) «Akseptabelt» krever $I\leq 2$ . Løs $1{,}4\cdot\lg(C)-0{,}3=2$ for grensen: $1{,}4\cdot\lg(C) = 2{,}3$
$\lg(C) = \dfrac{2{,}3}{1{,}4} \approx 1{,}643$
$C = 10^{1{,}643} \approx 43{,}9$ .

Svar: a) Ja, beboerne har grunnlag for å klage – luktintensiteten er mellom $I\approx 3{,}5$ og $I\approx 4{,}1$ , altså «plagsom» til «plagsomt, tiltak kreves». b) Nye prøver må vise en luktverdi på under ca. $44\ OU/m^3$ ( $C\lesssim 43{,}9\ OU/m^3$ ) for at intensiteten skal bli akseptabel.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Regner riktig ut $I(500)\approx 3{,}5$ og $I(1 400)\approx 4{,}1$ og kobler dem riktig til tabellen i a), OG løser logaritmelikningen riktig for grensen $C\approx 43{,}9$ i b).
2-3/4	Riktig i a), men gjør en feil i likningsløsningen i b) (f.eks. glemmer å isolere logaritmen før den «fjernes», eller bommer på $10^{1{,}643}$ ).
1/4	Setter $C$ -verdiene inn i formelen for $I$ riktig, men leser tabellen feil (f.eks. konkluderer «uproblematisk»), og har ingen fungerende strategi i b).
0/4	Bytter om $C$ og $I$ i formelen, eller mangler en fungerende strategi helt.

Sensor-tips

Den vanligste feilen i b) er å sette $I=1$ (bunnen av «akseptabelt») i stedet for $I=2$ (toppen) – siden dagens verdier er altfor HØYE, er det den ØVRE grensen for «akseptabelt» som avgjør hvor langt ned $C$ må komme, ikke den nedre.
Godta et lite avvik i sluttsvaret ( $C\approx 44$ vs. $43{,}9$ ) – presisjonen i logaritme-mellomregningen kan variere litt avhengig av avrunding underveis.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S1 matematikk, Høst 2025, Del 2, Oppgave 5