Eksamensoppgaver – Modelleringsprosjekt (2P-Y)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 7 poeng

Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene.

I dag har bedriften to produksjonsprosesser. Utslippet fra den ene prosessen er 5 000 tonn per år. Utslippet fra den andre prosessen er 1 000 tonn per år.

Ledelsen mener funksjonen $U$ gitt ved

$U(x) = 5 000 \cdot 0{,}95^{x} + 1 000$

vil være en god modell for utslippet $U(x)$ tonn per år etter $x$ år.

a) Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.

b) Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?

c) Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter 10 år ifølge modellen?

d) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0, U(0))$ og $(30, U(30))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Myndighetene har krevd at bedriften skal redusere det årlige utslippet til 800 tonn per år.

e) Vurder om det ifølge modellen $U$ vil være mulig å oppfylle dette kravet.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal tolke modellen praktisk (a), finne når utslippet er halvert (b), den prosentvise reduksjonen etter 10 år (c), et gjennomsnittlig stigningstall over 30 år med tolkning (d), og vurdere om et myndighetskrav på 800 tonn er oppnåelig ifølge modellen (e).

Strategi og formel: Leddet $5 000 \cdot 0{,}95^x$ er utslippet fra den prosessen som reduseres med 5 % i året, mens $1 000$ er utslippet fra den andre prosessen, som holder seg KONSTANT i modellen. For b) og c) settes inn/løses direkte i formelen. For e) er det avgjørende å se hva som skjer med $U(x)$ når $x$ blir svært stor.

Trinnvis utregning:

a) $U(0) = 5 000+1 000 = 6 000$ tonn i dag
b) Halvert utslipp: $\dfrac{6 000}{2}=3 000$
$5 000 \cdot 0{,}95^x + 1 000 = 3 000 \Rightarrow 0{,}95^x = 0{,}4 \Rightarrow x = \dfrac{\lg 0{,}4}{\lg 0{,}95} \approx 17{,}9$
c) $U(10) = 5 000 \cdot 0{,}95^{10}+1 000 \approx 3 994$ tonn
reduksjon: $\dfrac{6 000-3 994}{6 000} \cdot 100\ \% \approx 33\ \%$
d) $U(30) = 5 000 \cdot 0{,}95^{30}+1 000 \approx 2 073$ tonn
stigningstall $= \dfrac{2 073-6 000}{30} \approx -131$
e) Når $x$ blir svært stor, går $5 000 \cdot 0{,}95^x$ mot $0$ , så $U(x)$ går mot (men når aldri under) $1 000$ tonn – modellen kan derfor ALDRI gi et utslipp under 1 000 tonn per år

Svar: a) Modellen viser at den ene prosessens utslipp reduseres med 5 % hvert år, mens den andre prosessens utslipp på 1 000 tonn holder seg konstant. b) Utslippet er halvert etter omtrent 18 år. c) Utslippet er redusert med omtrent 33 % etter 10 år. d) Stigningstallet er omtrent $-131$ tonn per år, som betyr at utslippet i snitt minker med ca. 131 tonn hvert år over 30-årsperioden. e) Nei – modellen kan aldri gi et utslipp under 1 000 tonn per år, siden den ene prosessen alltid slipper ut 1 000 tonn ifølge modellen, uansett hvor lenge man venter. Kravet på 800 tonn er derfor ikke oppnåelig med denne modellen alene.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 7 poeng)

Poeng	Krav
6–7/7	Alle fem deloppgavene riktig løst, med en tydelig praktisk tolkning i a) og d), og en velbegrunnet konklusjon i e) som eksplisitt bruker at $U(x)$ har en NEDRE GRENSE på 1 000 tonn.
3–5/7	b), c) og d) riktig regnet, men e) mangler en riktig begrunnelse (f.eks. konkluderer «ja» eller «nei» uten å vise at modellen har en nedre grense), eller a) mangler en reell tolkning av de to leddene.
0–2/7	Flere av deloppgavene er feil, eller e) besvares ved å bare sette inn en enkelt stor $x$ -verdi uten å forstå at $U(x)$ ALDRI kommer under 1 000 uansett hvor stor $x$ blir.

Sensor-tips

e) er den mest krevende deloppgaven – en sterk besvarelse ser at $0{,}95^x \to 0$ når $x\to\infty$ , slik at $U(x) \to 1 000$ (aldri under). Godta også en besvarelse som viser dette empirisk ved å sette inn flere stadig større $x$ -verdier og se at $U(x)$ flater ut mot 1 000, så lenge konklusjonen er riktig begrunnet.
I b) er en vanlig feil å halvere bare det avtagende leddet ( $5 000 \to 2 500$ ) i stedet for HELE utslippet ( $6 000 \to 3 000$ ) – sjekk at eleven har brukt riktig utgangspunkt for halveringen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 2P-Y matematikk, Vår 2025, Del 2, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 6 poeng

Alex lager hårspenner og annen hodepynt. I februar 2025 åpnet han en liten nettbutikk. Tabellen nedenfor viser omsetningen de første fem månedene etter at nettbutikken åpnet.

Februar: 1 267 kr. Mars: 1 431 kr. April: 1 619 kr. Mai: 1 788 kr. Juni: 2 032 kr.

a) Lag en modell på formen $f(x) = a \cdot b^{x}$ for omsetningen $f(x)$ kroner $x$ måneder etter februar 2025.

b) Omtrent hvor mange prosent øker omsetningen med per måned, ifølge modellen?

Alex har som mål å omsette for 20 000 kroner per måned.

c) Når kommer Alex til å nå målet, ifølge modellen?

d) Hvor mange prosent må omsetningen øke med per måned etter juni 2025 dersom Alex skal nå målet i løpet av desember 2025?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal bestemme konstantene $a$ og $b$ i en eksponentiell modell for omsetningen (a), tolke $b$ som en prosentvis månedlig vekst (b), finne når modellen når 20 000 kr (c), og finne hvilken vekstrate som i stedet trengs for å nå målet innen desember 2025 (d).

Strategi og formel: Bruk februar- og juni-verdiene (4 måneder fra hverandre) til å bestemme $a$ (startverdien) og $b$ (den månedlige vekstfaktoren) ved å ta 4.-roten av forholdstallet mellom de to verdiene. For c) løses $f(x)=20\ 000$ for $x$ . For d) brukes juni-verdien som nytt utgangspunkt, og det regnes ut hvilken vekstfaktor som gir 20 000 kr etter 6 nye måneder (juni til desember).

Trinnvis utregning:

a) $a = f(0) = 1 267$
$b^{4} = \dfrac{2032}{1 267} \approx 1{,}6039 \Rightarrow b = \sqrt[4]{1{,}6039} \approx 1{,}125$
$f(x) \approx 1 267 \cdot 1{,}125^{x}$
b) $b\approx1{,}125$ tilsvarer en månedlig vekst på ca. $12{,}5\ \%$
c) $1 267 \cdot 1{,}125^{x} = 20\ 000 \Rightarrow x = \dfrac{\lg\left(\dfrac{20\ 000}{1\ 267}\right)}{\lg 1{,}125} \approx 23{,}4$
siden $f(23)\approx19\ 159$ og $f(24)\approx21\ 561$ , nås målet FØRST i måned 24
d) Juni ( $x=4$ ) gir $f(4)\approx2032$ kr. Fra juni til desember er det 6 måneder: $2032 \cdot c^{6} = 20\ 000 \Rightarrow c = \sqrt[6]{\dfrac{20\ 000}{2032}} \approx 1{,}464$

Svar: a) $f(x) \approx 1 267 \cdot 1{,}125^{x}$ . b) Omsetningen øker med omtrent 12,5 % per måned. c) Alex når målet på 20 000 kr i måned 24 etter februar, altså februar 2027. d) For å nå målet innen desember 2025 må omsetningen i stedet øke med omtrent 46,4 % per måned fra og med juli.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
5–6/6	Riktig bestemmelse av $a$ og $b$ i a), riktig tolkning av $b$ som prosent i b), riktig krysningsmåned i c) (inkludert at $x=24$ er FØRSTE hele måned over målet, ikke bare den avrundede desimalverdien), og riktig ny vekstrate i d).
2–4/6	a) og b) riktige, men c) oppgir kun den ikke-avrundede $x$ -verdien (23,4) uten å oversette til riktig kalendermåned, eller d) bruker feil antall måneder (ikke 6) mellom juni og desember.
0–1/6	Feil metode for å bestemme $b$ i a) (f.eks. bruker en enkel differanse i stedet for forholdstall/rot), som gir en modell som ikke passer datapunktene.

Sensor-tips

I c) er $x\approx23{,}4$ KUN et mellomsvar – siden omsetning telles per hele måned, må eleven sjekke at $f(23)$ fortsatt er under 20 000 og $f(24)$ er over, og konkludere med måned 24 (februar 2027), ikke bare oppgi desimaltallet.
I d) er det avgjørende å telle riktig antall måneder fra juni til desember (6 måneder: juli, august, september, oktober, november, desember) – å bruke 5 eller 7 måneder gir et betydelig annet svar.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 2P-Y matematikk, Høst 2025, Del 2, Oppgave 1