Eksamensoppgaver – Modelleringsprosjekt (1P)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 7 poeng

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk.

Lengde (cm)	50	70	80	100	120	130
Vekt (gram)	1 190	3 320	5 070	9 610	16 080	21 590

Sammenhengen kan beskrives med en modell $F$ gitt på formen

$F(x) = a \cdot x^b$

der $F(x)$ gram er vekten til en fisk som er $x$ centimeter lang.

a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$ . Tegn grafen til $F$ .

b) Hvor lang er en fisk som veier 11,5 kg ifølge modellen?

c) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(75, F(75))$ og $(95, F(95))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

d) Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med 20 % ifølge modellen?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal bestemme konstantene $a$ og $b$ i potensmodellen (a), finne lengden til en fisk med en gitt vekt (b), stigningstallet til en sekantlinje på grafen og hva den forteller praktisk (c), og hvor mange prosent vekten øker med når lengden øker med 20 % (d).

Strategi og formel: For a): bruk to punkter fra tabellen (f.eks. det minste og det største) og logaritmer for å løse ut $b$ , deretter $a$ . For b): sett $F(x)=11\,500$ og løs for $x$ . For c): regn ut $F(75)$ og $F(95)$ med modellen, og finn stigningstallet som vanlig. For d): bruk at en potensmodell med eksponent $b$ gir en vektfaktor $1{,}2^b$ når lengden ganges med $1{,}2$ .

Trinnvis utregning:

a) Med punktene $(50,1190)$ og $(130,21590)$ : $b = \dfrac{\lg(21 590)-\lg(1 190)}{\lg(130)-\lg(50)} \approx 3{,}03$
$a = \dfrac{1 190}{50^{3{,}03}} \approx 0{,}00836$
modellen: $F(x) \approx 0{,}00836 \cdot x^{3{,}03}$ (stemmer godt med tabellen, f.eks. $F(100)\approx 9 742$ mot oppgitt $9 610$ )
b) $11\ 500 = 0{,}00836 \cdot x^{3{,}03} \Rightarrow x = \left(\dfrac{11\ 500}{0{,}00836}\right)^{\frac{1}{3{,}03}} \approx 105{,}6$ cm
c) $F(75)\approx 3 993$ g, $F(95)\approx 8 261$ g
stigningstall $\approx \dfrac{8 261-3 993}{95-75} \approx 213$ g/cm
d) vektfaktor ved 20 % lengdeøkning: $1{,}2^{3{,}03} \approx 1{,}7385$ , altså en økning på $\approx 73{,}9\ \%$

Svar: a) $a \approx 0{,}00836$ og $b \approx 3{,}03$ . b) Fisken er omtrent 106 cm lang. c) Stigningstallet er omtrent 213 g/cm, som betyr at vekten i snitt øker med ca. 213 gram per centimeter ekstra lengde i dette intervallet. d) Vekten øker med omtrent 74 % når lengden øker med 20 %.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 7 poeng)

Poeng	Krav
6–7/7	Alle fire deloppgaver riktig løst – korrekt bestemmelse av $a$ og $b$ med en gyldig metode (regresjon eller to punkter), riktig lengde i b), riktig stigningstall MED praktisk tolkning i c), og riktig prosentvis vektøkning i d).
3–5/7	a) og b) riktige, men c) mangler en praktisk tolkning, eller d) er løst ved å bare beregne $1{,}2 \cdot b$ i stedet for $1{,}2^b$ (en vanlig forveksling mellom lineær og eksponentiell skalering).
0–2/7	$a$ og $b$ er ikke bestemt fra dataene i det hele tatt, eller modellen forveksles med en lineær sammenheng (f.eks. antar at dobbel lengde gir dobbel vekt).

Sensor-tips

I d) er den klassiske fellen å tro at 20 % lengdeøkning gir 20 % vektøkning (lineær tankegang) – riktig metode bruker eksponenten $b$ : vektfaktoren er $1{,}2^b$ , ikke $1{,}2 \cdot b$ eller $1{,}2$ .
Godta små variasjoner i $a$ og $b$ avhengig av hvilke to punkter (eller hvilken regresjon) eleven bruker – det er METODEN og at modellen passer rimelig godt med RESTEN av tabellen, som skal vurderes, ikke ett eksakt fasittall.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1P matematikk, Høst 2025, Del 2, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 2 – Oppgave 6

Med hjelpemidler – 6 poeng

Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.

Formel for volumet av en boks med radius $r$ og høyde $h$ : $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Formel for arealet av overflaten av boksen: $O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$

Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha

et volum $V$ på 450 cm³
minst mulig overflate $O$

Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$ .

a) Lag en oversikt som vist nedenfor. Gjør beregninger og fyll inn verdiene som mangler.

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	35,8	462,6	450
4			450
6			450
8			450

Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius.

b) Sett opp et funksjonsuttrykk Isabel kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom radius og overflate.

c) Hvor stor må radius i boksene være for at overflaten skal bli minst mulig? Hvor stor blir overflaten da?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal fylle ut høyde og overflate for tre nye radiusverdier ved fast volum (a), sette opp overflaten som en funksjon av radius alene og illustrere den grafisk (b), og finne radiusen som gir minst mulig overflate, samt selve minsteverdien (c).

Strategi og formel: For a): finn høyden fra $V=\pi r^2 h$ løst for $h$ , og sett inn i overflateformelen. For b): sett inn uttrykket for $h$ i overflateformelen slik at $O$ bare avhenger av $r$ . For c): finn radiusen som gir lavest overflate ved å teste verdier systematisk rundt der overflaten slutter å synke og begynner å øke igjen (eller med et digitalt verktøys minimumsfunksjon på grafen fra b).

Trinnvis utregning:

$h = \dfrac{V}{\pi r^2} = \dfrac{450}{\pi r^2}$
$r=4$ : $h = \dfrac{450}{\pi \cdot 16} \approx 8{,}95$ cm, $O = \pi \cdot 16 + 2\pi \cdot 4 \cdot 8{,}95 \approx 275{,}3$ cm²
$r=6$ : $h \approx 3{,}98$ cm, $O \approx 263{,}1$ cm²
$r=8$ : $h \approx 2{,}24$ cm, $O \approx 313{,}6$ cm²
b) $O(r) = \pi r^2 + \dfrac{2 \cdot 450}{r} = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}$
c) grafen til $O(r)$ synker fra $r=2$ til den flater ut rundt $r=5$ – $6$ og øker igjen ved $r=8$ – et digitalt verktøy gir minimum ved $r \approx 5{,}23$ cm, som gir $h \approx 5{,}23$ cm og $O \approx 258{,}0$ cm²

Svar: a) Ved $r=4$ : $h \approx$ 8,95 cm, $O \approx$ 275,3 cm². Ved $r=6$ : $h \approx$ 3,98 cm, $O \approx$ 263,1 cm². Ved $r=8$ : $h \approx$ 2,24 cm, $O \approx$ 313,6 cm². b) $O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}$ . c) Overflaten blir minst når radius er omtrent 5,2 cm, og overflaten er da omtrent 258 cm².

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
5–6/6	Riktig utfylt tabell i a), et korrekt funksjonsuttrykk og en fornuftig graf i b), og riktig identifisert minimum (radius ≈ 5,2 cm, overflate ≈ 258 cm²) i c).
2–4/6	Riktig tabell i a), men b) mangler et eksplisitt funksjonsuttrykk (kun tallverdier), eller c) finner et minimum blant tabellverdiene i a) (f.eks. $r=6$ ) i stedet for det faktiske minimumet mellom dem.
0–1/6	Feil sammenheng mellom radius og høyde brukt i tabellen (f.eks. glemmer at $h$ må regnes ut på nytt for hver radius fra det FASTE volumet), som gir feil overflateverdier gjennomgående.

Sensor-tips

Det er lett å tro at overflaten blir minst ved den STØRSTE eller MINSTE radiusen i tabellen – tabellverdiene i a) viser at $O$ først SYNKER (fra $r=2$ til $r=6$ ) og deretter ØKER igjen (ved $r=8$ ), noe som er selve signalet om at et minimum finnes et sted MELLOM disse radiusverdiene, ikke ved en av dem selv.
Full uttelling i c) krever at eleven finner minimumet med en metode utover tabellen i a) (graf med digitalt verktøy, eller systematisk prøving med finere steg) – å bare plukke den laveste av de fire tabellverdiene (263,1 ved $r=6$ ) er ikke det samme som å finne det faktiske minimumet (≈258 ved $r\approx5{,}2$ ).

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1P matematikk, Vår 2025, Del 2, Oppgave 6