NumiSum

Vekstfaktor og halveringstid

Vekstfaktoren er tallet du ganger med for hver periode. En økning på 20 %20\ \% gir vekstfaktor 1,201{,}20, og en nedgang på 20 %20\ \% gir 0,800{,}80. Doblingstid er tiden det tar før verdien er doblet; halveringstid er tiden før den er halvert. Begge finner du ved å lete i en verditabell eller lese av grafen. Den formelle logaritmemetoden kommer i R1/S1.

Vekstfaktor

vekstfaktor=1+p100\text{vekstfaktor} = 1 + \frac{p}{100}

Halveringstid (gitt T)

N(t)=N0⋅(12)t/TN(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

Tips

  • Prosent til vekstfaktor: legg til eller trekk fra fra 11. Vekst på 5 %5\ \% gir 1,051{,}05; nedgang på 5 %5\ \% gir 0,950{,}95.
  • To påfølgende endringer ganges sammen, de legges ikke sammen. +10 %+10\ \% og så −10 %-10\ \% gir 1,1⋅0,9=0,991{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99, altså en liten NEDGANG.
  • Oppgir oppgaven halveringstiden TT direkte, trenger du ikke bygge en tabell steg for steg: sett rett inn i N(t)=N0⋅(12)t/TN(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}. Et stoff starter på N0=800N_0 = 800 gram med halveringstid T=3T = 3 timer: etter t=9t = 9 timer er eksponenten 93=3\frac{9}{3} = 3, så N(9)=800⋅(12)3=800⋅18=100N(9) = 800 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 800 \cdot \frac{1}{8} = 100 gram. Å FINNE selve halveringstiden TT fra en vekstfaktor krever logaritmer og kommer først i R1/S1, å BRUKE en oppgitt halveringstid er fullt mulig allerede i 1T, også når t/Tt/T ikke er et helt tall.

Eksempel: Fra prosent til eksponentialmodell

Et beløp på 2 000 kr vokser med 5 % per år. Skriv en modell og finn beløpet etter 3 år.

Løsning:
  1. Vi finner først vekstfaktoren: 5 %5\ \% vekst gir 1+5100=1,051 + \frac{5}{100} = 1{,}05
  2. startverdien er 20002000, så modellen blir f(x)=2000⋅1,05xf(x) = 2000 \cdot 1{,}05^x der xx er antall år
  3. sett inn x=3x = 3: 1,053=1,1576251{,}05^3 = 1{,}157625
  4. gang med startverdien: 2000⋅1,157625=2 315,252000 \cdot 1{,}157625 = 2\ 315{,}25. Beløpet er 2 315,252\ 315{,}25 kr.
Beløp år for år
ÅrUtregningBeløp (kr)
020002000
12000 * 1,052 100
22 100 * 1,052 205
32 205 * 1,052 315,25
Alternativ forklaring/metode: Bygg tabellen i et regneark

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regneark

I et regneark skriver du startverdien i én celle og formelen «forrige celle gange 1,051{,}05» i den neste, og drar nedover. Da ser du hele forløpet år for år, og kan lett lete opp når beløpet passerer en grense, for eksempel når det er doblet. Dette er en fullt gyldig framgangsmåte på eksamen del 2, og ofte raskere enn å regne for hånd.

Regneark: 1 000 kr med 5 % årlig vekst
ÅrBeløp (kr)
01 000
11 050
21 102,50
31 157,63

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva er vekstfaktoren ved 10 % økning?

Vis fasit
  1. 10 %10\ \% økning
  2. 1+101001 + \frac{10}{100}
  3. 1,101{,}10

L-32Hva er vekstfaktoren ved 25 % nedgang?

Vis fasit
  1. 25 %25\ \% nedgang
  2. 1−251001 - \frac{25}{100}
  3. 0,750{,}75

L-33Hva er vekstfaktoren ved 100 % økning?

Vis fasit
  1. 100 % økning
  2. 1 + 1 = 2
  3. 2, altså en dobling
Middels(3)

M-311 000 kr vokser med 10 % per år. Hva er beløpet etter 2 år?

Vis fasit
  1. 1 000⋅1,10=1 1001\,000 \cdot 1{,}10 = 1\,100
  2. 1 100⋅1,10=1\,100 \cdot 1{,}10 = 1 2101\,210

M-32Skriv modellen for 500 kr som vokser 4 % per år.

Vis fasit
  1. Startverdi 500500, vekst 4 %4\ \% gir faktor 1,041{,}04
  2. f(x)=500⋅1,04xf(x) = 500 \cdot 1{,}04^x

M-33Et stoff halveres hvert år. Hva er vekstfaktoren?

Vis fasit
  1. Halvering betyr at det blir igjen halvparten
  2. vekstfaktor 0,5
Vanskelig(4)

V-31En vare øker 10 % og synker så 10 %. Er prisen tilbake til start?

Vis fasit
  1. 10 %10\ \% opp gir faktor 1,11{,}1 og 10 %10\ \% ned gir 0,90{,}9
  2. 1,1⋅0,9=0,991{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99
  3. nei, prisen er 99 %99\ \% av start, altså 1 %1\ \% lavere

V-32100 g av et stoff har halveringstid 2 år. Hvor mye er igjen etter 4 år? Svar i g.

Vis fasit
  1. 100 g halveres etter 2 år
  2. 50 g
  3. halveres igjen etter 2 år til
  4. 25 g

V-33Hvor mange år tar det før 1 000 kr med 100 % vekst per år blir 8 000 kr?

Vis fasit
  1. 1 000
  2. 2000
  3. 4 000
  4. 8 000
  5. tre doblinger
  6. 3 år

V-34500 g av et stoff har halveringstid T=4T = 4 timer. Bruk formelen N(t)=N0⋅(12)t/TN(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} til å finne hvor mye som er igjen etter t=6t = 6 timer. Svar i gram, avrundet til én desimal.

Vis fasit
  1. N0=500N_0 = 500, T=4T = 4, t=6t = 6
  2. tT=1,5\frac{t}{T} = 1{,}5 (ikke et helt antall halveringer, så tabellmetoden strekker ikke til)
  3. N(6)=500⋅0,51,5≈N(6) = 500 \cdot 0{,}5^{1{,}5} \approx 176,8176{,}8 g