Vekstfaktor og halveringstid

Vekstfaktoren er tallet du ganger med for hver periode. En økning på $20\ \%$ gir vekstfaktor $1{,}20$ , og en nedgang på $20\ \%$ gir $0{,}80$ . Doblingstid er tiden det tar før verdien er doblet; halveringstid er tiden før den er halvert. Begge finner du ved å lete i en verditabell eller lese av grafen – den formelle logaritmemetoden kommer i R1/S1.

Vekstfaktor

$\text{vekstfaktor} = 1 + \frac{p}{100}$

Halveringstid (gitt T)

$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$

Tips

Prosent til vekstfaktor: legg til eller trekk fra fra $1$ . Vekst på $5\ \%$ gir $1{,}05$ ; nedgang på $5\ \%$ gir $0{,}95$ .
To påfølgende endringer ganges sammen, de legges ikke sammen. $+10\ \%$ og så $-10\ \%$ gir $1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$ , altså en liten NEDGANG.
Oppgir oppgaven halveringstiden $T$ direkte, trenger du ikke bygge en tabell steg for steg – sett rett inn i $N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ . Et stoff starter på $N_0 = 800$ gram med halveringstid $T = 3$ timer: etter $t = 9$ timer er eksponenten $\frac{9}{3} = 3$ , så $N(9) = 800 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 800 \cdot \frac{1}{8} = 100$ gram. Å FINNE selve halveringstiden $T$ fra en vekstfaktor krever logaritmer og kommer først i R1/S1 – å BRUKE en oppgitt halveringstid er fullt mulig allerede i 1T, også når $t/T$ ikke er et helt tall.

Eksempel: Fra prosent til eksponentialmodell

Et beløp på 2 000 kr vokser med 5 % per år. Skriv en modell og finn beløpet etter 3 år.

Beløp år for år
År	Utregning	Beløp (kr)
0	2000	2000
1	2000 * 1,05	2 100
2	2 100 * 1,05	2 205
3	2 205 * 1,05	2 315,25

Løsning:

Vi finner først vekstfaktoren: $5\ \%$ vekst gir $1 + \frac{5}{100} = 1{,}05$
startverdien er $2000$ , så modellen blir $f(x) = 2000 \cdot 1{,}05^x$ der $x$ er antall år
sett inn $x = 3$ : $1{,}05^3 = 1{,}157625$
gang med startverdien: $2000 \cdot 1{,}157625 = 2 315{,}25$ . Beløpet er $2 315{,}25$ kr.

Alternativ forklaring/metode: Bygg tabellen i et regneark

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regneark

I et regneark skriver du startverdien i én celle og formelen «forrige celle gange $1{,}05$ » i den neste, og drar nedover. Da ser du hele forløpet år for år, og kan lett lete opp når beløpet passerer en grense – for eksempel når det er doblet. Dette er en fullt gyldig framgangsmåte på eksamen del 2, og ofte raskere enn å regne for hånd.

Regneark: 1 000 kr med 5 % årlig vekst
År	Beløp (kr)
0	1 000
1	1 050
2	1 102,50
3	1 157,63

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er vekstfaktoren ved 10 % økning?

Vis fasit

Beregning	Resultat
10 % økning
1 pluss 10 delt på 100
1,10

10 % økning
1 pluss 10 delt på 100
1,10

L-22Hva er vekstfaktoren ved 25 % nedgang?

Vis fasit

Beregning	Resultat
25 % nedgang
1 minus 25 delt på 100
0,75

25 % nedgang
1 minus 25 delt på 100
0,75

L-23Hva er vekstfaktoren ved 100 % økning?

Vis fasit

Beregning	Resultat
100 % økning
1 pluss 1
2, altså en dobling

100 % økning
1 pluss 1
2, altså en dobling

Middels(3)

M-211 000 kr vokser med 10 % per år. Hva er beløpet etter 2 år?

Vis fasit

Beregning	Resultat
1 000 gange 1,10	1 100
1 100 gange 1,10	1 210

1 000 gange 1,10 = 1 100
1 100 gange 1,10 = 1 210

M-22Skriv modellen for 500 kr som vokser 4 % per år.

Vis fasit

Beregning	Resultat
Startverdi 500, vekst 4 % gir faktor 1,04
f(x) = 500 gange 1,04^x

Startverdi 500, vekst 4 % gir faktor 1,04
f(x) = 500 gange 1,04^x

M-23Et stoff halveres hvert år. Hva er vekstfaktoren?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Halvering betyr at det blir igjen halvparten
vekstfaktor 0,5

Halvering betyr at det blir igjen halvparten
vekstfaktor 0,5

Vanskelig(4)

V-21En vare øker 10 % og synker så 10 %. Er prisen tilbake til start?

Vis fasit

Beregning	Resultat
10 % opp gir faktor 1,1 og 10 % ned gir 0,9
1,1 gange 0,9	0,99
nei, prisen er 99 % av start, altså 1 % lavere

10 % opp gir faktor 1,1 og 10 % ned gir 0,9
1,1 gange 0,9 = 0,99
nei, prisen er 99 % av start, altså 1 % lavere

V-22100 g av et stoff har halveringstid 2 år. Hvor mye er igjen etter 4 år?

Vis fasit

Beregning	Resultat
100 g halveres etter 2 år
50 g
halveres igjen etter 2 år til
25 g

100 g halveres etter 2 år
50 g
halveres igjen etter 2 år til
25 g

V-23Hvor mange år tar det før 1 000 kr med 100 % vekst per år blir 8 000 kr?

Vis fasit

Beregning	Resultat
1 000
2000
4 000
8 000
tre doblinger
3 år

1 000
2000
4 000
8 000
tre doblinger
3 år

V-24500 g av et stoff har halveringstid

T = 4

timer. Bruk formelen

N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

til å finne hvor mye som er igjen etter

t = 6

timer.

Vis fasit

Beregning	Resultat
N0 = 500, T = 4, t	6
t/T	1,5 (ikke et helt antall halveringer, så tabellmetoden strekker ikke til)
N(6)	500 gange (0,5)^1,5
ca. 176,8 g

N0 = 500, T = 4, t = 6
t/T = 1,5 (ikke et helt antall halveringer, så tabellmetoden strekker ikke til)
N(6) = 500 gange (0,5)^1,5
ca. 176,8 g