Eksamensoppgaver – Eksponentialfunksjoner (1T)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 1 – Oppgave 4

Uten hjelpemidler – 2 poeng

For fem år siden vant Oskar i Lotto. Han satte pengene i banken og har fått 4,5 % rente per år. I dag har han 250 000 kroner på kontoen.

Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan vi bruke for å regne ut hvor mye Oskar vant i Lotto?

1. $250\,000 \cdot 0{,}955^5$
1. $\dfrac{250\,000}{1{,}045^5}$
1. $250\,000 \cdot 1{,}045^5$
1. $250\,000 \cdot 0{,}955^{-5}$
1. $\dfrac{250\,000}{0{,}955^5}$
1. $250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne hvilket eller hvilke av de seks uttrykkene som riktig regner ut hvor mye Oskar vant i Lotto for fem år siden.

Strategi og formel: Vi setter opp likningen for vekst med rente, lar $X$ være beløpet Oskar vant, og løser likningen for $X$ – deretter sammenligner vi uttrykket med de seks alternativene.

Trinnvis utregning:

La $X$ = beløpet Oskar vant
med $4{,}5\%$ rente i 5 år er beløpet i dag $X \cdot 1{,}045^5$
dette skal være lik $250\,000$ : $X \cdot 1{,}045^5 = 250\,000$
løs for $X$ : $X = \frac{250\,000}{1{,}045^5} = 250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}$
dette er nøyaktig uttrykk 2) og uttrykk 6) (samme verdi, skrevet på to måter)
de andre uttrykkene bruker enten feil vekstfaktor ( $0{,}955$ , som ville vært en NEDGANG på $4{,}5\%$ , ikke en renteVEKST) eller feil retning (ganger med $1{,}045^5$ i stedet for å dele)

Svar: Uttrykk 2) og uttrykk 6) er riktige (de gir samme verdi, ca. 200 613 kr).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Krysser av for BÅDE uttrykk 2 og uttrykk 6, med begrunnelse for hvorfor beløpet skal deles på (eller ganges med negativ eksponent av) vekstfaktoren.
1/2	Krysser av for kun ett av de to riktige uttrykkene, eller begge riktige pluss ett feil alternativ.
0/2	Ingen riktige alternativ krysset av, eller kun gjetting uten begrunnelse.

Sensor-tips

0,955 er IKKE riktig vekstfaktor her – det ville vært brukt for en NEDGANG på 4,5 % per år, ikke en renteøkning.
Å dele på 1,045^5 og å gange med 1,045^(-5) er matematisk identisk – begge uttrykk skal telle som riktige.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Høst 2025, Del 1, Oppgave 4

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 8 poeng

Lufttrykk måles ofte i hektopascal (hPa). Jo høyere over havet vi befinner oss, jo lavere er lufttrykket. Lufttrykket ved havets overflate er ca. 1000 hPa.

Når lufttrykket er lavere enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vann være lavere enn 100 °C. Se tabellen nedenfor.

Lufttrykk (hPa)	1000	500	200	80	40
Kokepunkt for vann (°C)	100	81,4	60,1	41,5	29

a) Bestem en modell $K$ på formen $K(x) = a \cdot x^b$ som tilnærmet viser sammenhengen mellom lufttrykket $x$ hPa og kokepunktet $K(x)$ °C.

Ari: Betyr dette at det ikke går an få egg hardkokte oppe på et høyt fjell? Et egg blir ikke hardkokt dersom temperaturen i vannet er lavere enn 85 °C.

Lisa: Det kommer vel an på hvor høyt fjellet er?

Ari: Jeg vil lage en modell som viser hvor høyt lufttrykket er $x$ kilometer over havets overflate. Jeg har lært at lufttrykket minker med ca. 12 % per km.

Lisa: Jeg har lært at lufttrykket halveres for hver 5,5 km. Jeg vil ta utgangspunkt i dette og lage en modell på samme form som den du lager, Ari.

b) Lag modellene for Ari og Lisa.

c) Omtrent hvor høyt over havet er det mulig å få egg hardkokte?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? a) En potensmodell $K(x) = a \cdot x^b$ for kokepunktet som funksjon av lufttrykket. b) To eksponentialmodeller for lufttrykket som funksjon av høyden, én for Ari og én for Lisa. c) Høyden der kokepunktet akkurat er $85$ °C – grensen for å klare å hardkoke et egg.

Strategi og formel: I a) bruker vi potensregresjon i graftegneren, akkurat som i «Potensfunksjoner»-temaet. I b) oversetter vi «minker 12 % per km» direkte til en vekstfaktor, og «halveres per 5,5 km» til en vekstfaktor via $c^{5{,}5} = 0{,}5$ . I c) setter vi de to modellene inn i hverandre (høyde → lufttrykk → kokepunkt) og finner grafisk hvor den sammensatte funksjonen krysser $y = 85$ .

Trinnvis utregning:

a) Potensregresjon på tabellen gir $K(x) \approx 7{,}56 \cdot x^{0{,}38}$
b) Ari: lufttrykket minker $12\ \%$ per km, altså vekstfaktor $1 - 0{,}12 = 0{,}88$
$P_{\text{Ari}}(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x$
Lisa: halveres per $5{,}5$ km betyr $c^{5{,}5} = 0{,}5$ , så $c = 0{,}5^{1/5{,}5} \approx 0{,}8816$
$P_{\text{Lisa}}(x) = 1000 \cdot 0{,}8816^x$
legg merke til at $0{,}88$ og $0{,}8816$ er nesten identiske – Ari og Lisa har (uvitende) beskrevet nesten samme nedgang på to ulike måter
c) sett $P(x)$ inn i $K$ : tegn $h(x) = K(P(x))$ for begge modellene i graftegneren, og finn skjæringen med den vannrette linjen $y = 85$
begge modellene gir $x \approx 4{,}3$ km

Svar: Ca. 4,3 km over havet er grensen for å klare å hardkoke et egg – begge modellene (Ari og Lisa) gir omtrent samme svar, siden vekstfaktorene deres nesten er like.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 8 poeng)

Poeng	Krav
8/8 (2+4+2)	a) Riktig potensmodell (2 p). b) To riktige eksponentialmodeller, 2 poeng for hver (4 p). c) Riktig høyde funnet grafisk med tydelig strategi (2 p).
delvis	a) En kandidat som velger riktig strategi, men ikke kommer fram til en potensfunksjon, får ingen uttelling på a). b) En kandidat som velger riktig strategi, men ikke kommer helt i mål med modellen, kan få 1 av 2 poeng per modell. c) En kandidat som velger riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 av 2 poeng.
0/8	Ingen brukbar modell i noen av deloppgavene, eller kun gjetting uten strategi.

Sensor-tips

Denne oppgaven er hentet fra en annen del av eksamenssettet enn resten av dette temaets oppgaver, og bruker derfor en litt annen poengstruktur (8 poeng fordelt 2+4+2 over a/b/c) enn de andre eksamensoppgavene på siden.
0,88 (Aris 12 %/km) og 0,8816 (Lisas halveringshøyde) er såpass like at begge modellene bør gi omtrent samme svar i c) – to modeller som spriker mye bør flagges som mistenkelig, ikke bare godtas.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 5