NumiSum

Bevis

Du forventes å kunne dette beviset til eksamen

For et grunntall bb og positive heltall mm og nn gjelder bm⋅bn=bm+nb^m \cdot b^n = b^{m+n}.

Forutsetninger:

  • Definisjonen av en heltallig potens: bmb^m betyr bb multiplisert med seg selv mm ganger, altså bm=b⋅b⋯b⏟m faktorerb^m = \underbrace{b \cdot b \cdots b}_{m \text{ faktorer}}.
  1. Skriv ut begge potensene som gjentatt multiplikasjon, etter definisjonen:
    bm⋅bn=b⋅b⋯b⏟m faktorer⋅b⋅b⋯b⏟n faktorerb^m \cdot b^n = \underbrace{b \cdot b \cdots b}_{m \text{ faktorer}} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdots b}_{n \text{ faktorer}}
  2. Multiplikasjon er assosiativ, så parentesene mellom de to gruppene kan fjernes – hele uttrykket er bare bb ganget med seg selv gjentatte ganger, uten noe skille mellom «de mm første» og «de nn neste» faktorene:
    =b⋅b⋯b⏟m faktorer⋅b⋅b⋯b⏟n faktorer=b⋅b⋯b⏟m+n faktorer= \underbrace{b \cdot b \cdots b}_{m \text{ faktorer}} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdots b}_{n \text{ faktorer}} = \underbrace{b \cdot b \cdots b}_{m + n \text{ faktorer}}
  3. Et produkt med m+nm + n like faktorer bb er per definisjon nøyaktig bm+nb^{m+n}:
    b⋅b⋯b⏟m+n faktorer=bm+n\underbrace{b \cdot b \cdots b}_{m + n \text{ faktorer}} = b^{m+n}

bm⋅bn=bm+nb^m \cdot b^n = b^{m+n}