NumiSum

Bevis

Du forventes å kunne dette beviset til eksamen

For et grunntall bb og positive heltall mm og nn gjelder bm⋅bn=bm+nb^m \cdot b^n = b^{m+n}.

Forutsetninger:

  • Definisjonen av en heltallig potens: bmb^m betyr bb multiplisert med seg selv mm ganger, altså bm=b⋅b⋯b⏟m faktorerb^m = \underbrace{b \cdot b \cdots b}_{m \text{ faktorer}}.
  1. Skriv ut begge potensene som gjentatt multiplikasjon, etter definisjonen:
    bm⋅bn=b⋅b⋯b⏟m faktorer⋅b⋅b⋯b⏟n faktorerb^m \cdot b^n = \underbrace{b \cdot b \cdots b}_{m \text{ faktorer}} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdots b}_{n \text{ faktorer}}
  2. Multiplikasjon er assosiativ, så parentesene mellom de to gruppene kan fjernes, hele uttrykket er bare bb ganget med seg selv gjentatte ganger, uten noe skille mellom «de mm første» og «de nn neste» faktorene:
    =b⋅b⋯b⏟m faktorer⋅b⋅b⋯b⏟n faktorer=b⋅b⋯b⏟m+n faktorer= \underbrace{b \cdot b \cdots b}_{m \text{ faktorer}} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdots b}_{n \text{ faktorer}} = \underbrace{b \cdot b \cdots b}_{m + n \text{ faktorer}}
  3. Et produkt med m+nm + n like faktorer bb er per definisjon nøyaktig bm+nb^{m+n}:
    b⋅b⋯b⏟m+n faktorer=bm+n\underbrace{b \cdot b \cdots b}_{m + n \text{ faktorer}} = b^{m+n}

bm⋅bn=bm+nb^m \cdot b^n = b^{m+n}