Programmering som matematisk verktøy

Et program er en algoritme skrevet så en maskin kan utføre den. Du trenger fire byggeklosser: VARIABLER (lagre en verdi), REGNEUTTRYKK (bruke den), VALG med if (gjøre noe bare i visse tilfeller) og LØKKER med for/while (gjenta et steg). Merk at = i programmering betyr «legg denne verdien i variabelen», ikke «er lik» – derfor gir x = x + 1 mening som kode, men er en umulig likning. Likhetstesten skrives ==.

Tilordning

$\text{variabel} \leftarrow \text{verdi}$

Løsningene

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Program for abc-formelen (Python)
Kode	Hva den gjør
`from math import sqrt`	henter kvadratrota
`a = 1; b = 2; c = -3`	lagrer koeffisientene
`D = b*2 - 4a*c`	regner diskriminanten
`if D < 0: print('ingen')`	valg
`x1 = (-b + sqrt(D))/(2*a)`	første løsning
`x2 = (-b - sqrt(D))/(2*a)`	andre løsning

Tips

= tilordner, == sammenligner. Bruker du = der du mente en test, får du enten feilmelding eller et lumsk feil svar.
Skriv ut mellomverdier mens du utvikler. Ser du at $D$ ble $-8$ når du ventet $16$ , vet du med én gang hvilket steg som er galt.

Eksempel: Spore et program steg for steg

Et program setter s = 0, og gjentar s = s + i for $i = 1, 2, 3, 4$ . Hva er s til slutt?

Sportabell
i	s før	s etter
1	0	1
2	1	3
3	3	6
4	6	10

Løsning:

Vi sporer verdien fra $s = 0$ etter hver runde i løkken
start: $s = 0$
$i = 1$ gir $s = 0 + 1 = 1$
$i = 2$ gir $s = 1 + 2 = 3$
$i = 3$ gir $s = 3 + 3 = 6$
$i = 4$ gir $s = 6 + 4 = 10$
løkken er ferdig. Verdien er $s = 10$ , som er summen $1 + 2 + 3 + 4$ .

Alternativ forklaring/metode: Bygg algoritmen som kolonner

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regneark i stedet for kode

Er programmering fortsatt uvant, kan mange av de samme algoritmene bygges i et regneark: én rad per runde i løkken, og en formel i cellen som viser til raden over. Du ser da alle mellomverdiene samtidig, ikke bare sluttsvaret. Metoden gir ikke like generelle løsninger som kode, men den gjør selve algoritmen synlig – og det er algoritmen kompetansemålet handler om, ikke programmeringsspråket.

Samme løkke som regneark: s = s + i
Rad	Celleformel	Verdi av s
1	=0 + 1	1
2	=B1 + 2	3
3	=B2 + 3	6
4	=B3 + 4	10

Alternativ forklaring/metode: Finn nullpunkt for enhver funksjon, ikke bare andregradsuttrykk

Tilleggsinformasjon – ikke pensum på dette nivået

Newtons metode (Newton-Raphson)

Forutsetninger:

Bruker verktøy du allerede har (den deriverte fra «Derivasjon»), men selve metoden er ikke 1T-pensum – den er normalt R2-stoff, tatt med her som en smakebit på hvor algoritmisk tenkning og derivasjon møtes.

abc-formelen finner bare nullpunkter til andregradsuttrykk. Newtons metode finner nullpunkter til så godt som en HVILKEN SOM HELST funksjon, ved å gjenta: $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ – du starter med en gjetning, og bruker tangenten i det punktet til å gjette bedre. Programmet er en løkke som gjentar akkurat denne formelen. For $f(x) = x^2 - 2$ (nullpunktet er $\sqrt2$ ) med startgjetning $x_0 = 1$ : $f'(x) = 2x$ , så $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = 1{,}5$ → $x_2 = 1{,}5 - \frac{0{,}25}{3} \approx 1{,}4167$ → $x_3 \approx 1{,}4142$ – allerede etter 3 runder er svaret riktig til 4 desimaler.

Newtons metode på f(x) = x² - 2, x₀ = 1
n	xₙ	f(xₙ)
0	1	-1
1	1,5	0,25
2	1,4167	0,0069
3	1,4142	≈0

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva betyr = i programmering?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Ett likhetstegn i kode betyr tilordning
legg verdien i variabelen

Ett likhetstegn i kode betyr tilordning
legg verdien i variabelen

L-22Hva bruker du for å sammenligne to verdier i Python?

Vis fasit

Beregning	Resultat
For likhetstest brukes 2 likhetstegn
dobbelt likhetstegn

For likhetstest brukes 2 likhetstegn
dobbelt likhetstegn

L-23Hva kalles en konstruksjon som gjentar et steg?

Vis fasit

Beregning	Resultat
En konstruksjon som gjentar 1 eller flere steg
gjentakelsen er poenget
en løkke

En konstruksjon som gjentar 1 eller flere steg
gjentakelsen er poenget
en løkke

Middels(3)

M-21s = 0, så s = s + i for

i = 1, 2, 3

. Hva er s?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Start s	0
etter i	1: 1
etter i	2: 3
etter i	3: 6

Start s = 0
etter i = 1: 1
etter i = 2: 3
etter i = 3: 6

M-22p = 1, så p = p * i for

i = 1, 2, 3, 4

. Hva er p?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Start p	1
1 gange 2	2
2 gange 3	6
6 gange 4	24

Start p = 1
1 gange 2 = 2
2 gange 3 = 6
6 gange 4 = 24

M-23Hvorfor gir x = x + 1 mening i kode, men ikke som likning?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Likningen x = x + 1 gir 0	1
men i kode betyr det «øk x med 1»
tilordning, ikke likhet

Likningen x = x + 1 gir 0 = 1
men i kode betyr det «øk x med 1»
tilordning, ikke likhet

Vanskelig(3)

V-21Skriv

D

for

x^2 + 2x - 3

som kode og regn ut verdien.

Vis fasit

Beregning	Resultat
a = 1, b = 2, c	-3
D	4 - 4 gange 1 gange (-3)
4 + 12	16

a = 1, b = 2, c = -3
D = 4 - 4 gange 1 gange (-3)
4 + 12 = 16

V-22Med

D = 16

: hva blir de to løsningene?

Vis fasit

Beregning	Resultat
D	16 gir roten 4
(-2 + 4) delt på 2 = 1, og (-2 - 4) delt på 2	x = 1 og x = -3

D = 16 gir roten 4
(-2 + 4) delt på 2 = 1, og (-2 - 4) delt på 2 = x = 1 og x = -3

V-23En løkke går fra

i = 1

til

i = 100

og summerer. Hva blir summen?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Summen fra 1 til 100 er 100 gange 101 delt på 2	5 050

Summen fra 1 til 100 er 100 gange 101 delt på 2 = 5 050