Eksamensoppgaver – Algoritmer og programmering (1T)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 4 poeng

$n!$ leses som « $n$ fakultet» og er produktet av de naturlige tallene fra og med 1 til og med $n$ :

$1! = 1$
$2! = 1 \cdot 2$
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3$
$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4$
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$
$\ldots$
a) Lag et program som kan regne ut $n!$ for et gitt naturlig tall $n$ . Bruk programmet til å regne ut $5!$ , $10!$ og $15!$ .
b) $100!$ er et produkt av 100 faktorer, $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100$ . Gjør rede for hvilke faktorer som gjør at det er 24 nuller i slutten av tallet $100!$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal lage et program som regner ut $n!$ for et gitt naturlig tall $n$ , bruke det til å finne $5!$ , $10!$ og $15!$ , og forklare hvorfor $100!$ har nøyaktig 24 nuller på slutten.

Strategi og formel: For a) bruker vi en løkke som multipliserer sammen tallene fra 1 til $n$ . For b) teller vi hvor mange ganger 10 (altså par av faktorene 2 og 5) går opp i produktet – siden det finnes langt flere partall (faktorer av 2) enn multipler av 5 blant tallene 1 til 100, er det antall faktorer av 5 som avgjør antall nuller.

Trinnvis utregning:

a) et program kan starte med produkt $=1$ , gå gjennom tallene fra $1$ til $n$ i en løkke, og for hver runde gange produkt med tallet
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$
$10! = 3\,628\,800$
$15! = 1\,307\,674\,368\,000$
b) hver null på slutten av tallet kommer fra en faktor $10 = 2 \cdot 5$ i produktet
blant tallene $1$ til $100$ finnes det mange flere faktorer av $2$ enn av $5$ , så antall faktorer av $5$ avgjør svaret
multipler av $5$ i dette området: $\frac{100}{5}=20$ tall
men multipler av $25=5^2$ (som $25, 50, 75, 100$ ) bidrar med en EKSTRA faktor $5$ hver: $\frac{100}{25}=4$ tall
totalt antall faktorer av $5$ : $20+4=24$

Svar: a) Programmet gir $5!=120$ , $10!=3\,628\,800$ og $15!=1\,307\,674\,368\,000$ . b) $100!$ har 24 nuller på slutten, fordi det finnes 24 faktorer av 5 blant tallene 1 til 100 (20 fra multipler av 5, pluss 4 ekstra fra multipler av 25).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Lager et fungerende program som riktig regner ut 5!, 10! og 15! (a), og forklarer riktig hvorfor 100! har 24 nuller ved å telle faktorer av 5, inkludert de ekstra fra multipler av 25 (b).
2-3/4	Riktig program med riktige fakultetsverdier (a), men b) mangler enten poenget om at antall 5-faktorer avgjør svaret, eller glemmer de ekstra faktorene fra multipler av 25 (og svarer 20 i stedet for 24).
0-1/4	Feil eller manglende program, eller ingen begrunnelse i b) utover et gjettet tall.

Sensor-tips

Den vanligste feilen i b) er å telle bare multipler av 5 (20 stykker) og glemme at 25, 50, 75 og 100 hver bidrar med en EKSTRA faktor 5.
Poenget om at faktorer av 2 er langt vanligere enn faktorer av 5 (så 2-faktorene ikke er «flaskehalsen») bør nevnes eksplisitt – det er derfor det holder å telle 5-faktorer.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Høst 2024, Del 2, Oppgave 4