Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 4 poeng

$n!$ leses som « $n$ fakultet» og er produktet av de naturlige tallene fra og med 1 til og med $n$ :

$1! = 1$
$2! = 1 \cdot 2$
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3$
$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4$
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$
$\ldots$
a) Lag et program som kan regne ut $n!$ for et gitt naturlig tall $n$ . Bruk programmet til å regne ut $5!$ , $10!$ og $15!$ .
b) $100!$ er et produkt av 100 faktorer, $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100$ . Gjør rede for hvilke faktorer som gjør at det er 24 nuller i slutten av tallet $100!$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal lage et program som regner ut $n!$ for et gitt naturlig tall $n$ , bruke det til å finne $5!$ , $10!$ og $15!$ , og forklare hvorfor $100!$ har nøyaktig 24 nuller på slutten.

Strategi og formel: For a) bruker vi en løkke som multipliserer sammen tallene fra 1 til $n$ . For b) teller vi hvor mange ganger 10 (altså par av faktorene 2 og 5) går opp i produktet, siden det finnes langt flere partall (faktorer av 2) enn multipler av 5 blant tallene 1 til 100, er det antall faktorer av 5 som avgjør antall nuller.

Trinnvis utregning:

a) et program kan starte med produkt $=1$ , gå gjennom tallene fra $1$ til $n$ i en løkke, og for hver runde gange produkt med tallet
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$
$10! = 3\,628\,800$
$15! = 1\,307\,674\,368\,000$
b) hver null på slutten av tallet kommer fra en faktor $10 = 2 \cdot 5$ i produktet
blant tallene $1$ til $100$ finnes det mange flere faktorer av $2$ enn av $5$ , så antall faktorer av $5$ avgjør svaret
multipler av $5$ i dette området: $\frac{100}{5}=20$ tall
men multipler av $25=5^2$ (som $25, 50, 75, 100$ ) bidrar med en EKSTRA faktor $5$ hver: $\frac{100}{25}=4$ tall
totalt antall faktorer av $5$ : $20+4=24$

Svar: a) Programmet gir $5!=120$ , $10!=3\,628\,800$ og $15!=1\,307\,674\,368\,000$ . b) $100!$ har 24 nuller på slutten, fordi det finnes 24 faktorer av 5 blant tallene 1 til 100 (20 fra multipler av 5, pluss 4 ekstra fra multipler av 25).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Lager et fungerende program som riktig regner ut 5!, 10! og 15! (a), og forklarer riktig hvorfor 100! har 24 nuller ved å telle faktorer av 5, inkludert de ekstra fra multipler av 25 (b).
2-3/4	Riktig program med riktige fakultetsverdier (a), men b) mangler enten poenget om at antall 5-faktorer avgjør svaret, eller glemmer de ekstra faktorene fra multipler av 25 (og svarer 20 i stedet for 24).
0-1/4	Feil eller manglende program, eller ingen begrunnelse i b) utover et gjettet tall.

Sensor-tips

Den vanligste feilen i b) er å telle bare multipler av 5 (20 stykker) og glemme at 25, 50, 75 og 100 hver bidrar med en EKSTRA faktor 5.
Poenget om at faktorer av 2 er langt vanligere enn faktorer av 5 (så 2-faktorene ikke er «flaskehalsen») bør nevnes eksplisitt. Det er derfor det holder å telle 5-faktorer.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Høst 2024, Del 2, Oppgave 4

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 5 poeng

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Du skal lage et program som beregner og skriver ut hvor mange små grønne kvadrater det vil være i hver av de 20 første figurene.

a) Sett opp en algoritme du kan bruke for å lage programmet.
b) Ta utgangspunkt i algoritmen fra oppgave a) og lag programmet.

Tenk deg at du har 1 000 000 små kvadrater. Du starter med å lage figur 1 og fortsetter så med å lage figur 2, figur 3 osv.

c) Lag et program som du kan bruke for å finne ut hvor mange figurer du kan lage, og hvor mange små kvadrater du har igjen når du har laget alle figurene.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne en regel for antall kvadrater i figur $n$ , sette opp en algoritme med løkke, lage programmer for a) og b), og bruke et program til å finne hvor mange figurer 1 000 000 kvadrater rekker til.

Strategi og formel: Først teller vi kvadratene i de tre figurene og finner mønsteret. I figur $n$ ligger det en $n \times n$ -blokk øverst, ett kvadrat til venstre, en trapp med $n$ kvadrater og en kolonne med $n$ kvadrater til høyre. Det gir $n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$ kvadrater. Så skriver vi algoritmen med en løkke, gjør den om til Python, og bruker en while-løkke til å trekke fra kvadrater helt til det ikke er nok til neste figur.

Trinnvis utregning:

Figur 1: $4$ , figur 2: $9$ , figur 3: $16$ kvadrater
mønsteret er $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$
a) algoritme: sett $n = 1$
regn ut $(n+1)^2$ og skriv ut
øk $n$ med $1$
gjenta til $n = 20$ er med
b) programmet skriver ut $4, 9, 16, \ldots, 441$
c) algoritme: start med $1\ 000\ 000$ kvadrater og $n = 0$
så lenge det er minst $(n+2)^2$ kvadrater igjen, lag figur $n+1$ og trekk fra $(n+1)^2$
programmet stopper med $n = 142$
da er det brukt $\sum_{n=1}^{142} (n+1)^2 = 984\ 983$ kvadrater
rest: $1\ 000\ 000 - 984\ 983 = 15\ 017$
figur 143 trenger $144^2 = 20\ 736$ kvadrater, og det er mer enn det som er igjen

Programkode:

Program til b):

for n in range(1, 21):
    kvadrater = (n + 1) ** 2
    print(kvadrater)

Program til c):

rest = 1000000
n = 0
while rest >= (n + 2) ** 2:
    n = n + 1
    rest = rest - (n + 1) ** 2
print(n, rest)

Programmet skriver ut 142 15017.

Svar: a) Algoritmen står i utregningen over (løkke fra $n = 1$ til $n = 20$ med $(n+1)^2$ ). b) Programmet i programkoden over skriver ut antall kvadrater i de 20 første figurene. c) Man kan lage 142 figurer, og da er det $15\ 017$ kvadrater igjen.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 5 poeng)

Poeng	Krav
5/5	a) Algoritme som beskriver en steg-for-steg-framgangsmåte med løkke, b) et fungerende program som skriver ut antall kvadrater i de 20 første figurene, og c) et program som gir at 142 figurer kan lages og at 15 017 kvadrater er til overs.
3-4/5	Riktig mønster og riktig algoritme med løkke, men programmet i b) eller c) er bare delvis riktig. Et delvis riktig program kan gi 1 poeng.
1-2/5	Finner regelen for antall kvadrater, men setter ikke opp en algoritme med løkke, eller får ikke til noe program.
0/5	Ingen riktig regel og ingen algoritme.

Sensor-tips

Sensor: for å få poeng i a) må algoritmen beskrive en steg-for-steg-framgangsmåte som inkluderer en løkke. En kode som er godt forklart kan også gi uttelling i a).
Mange teller kvadratene som $n^2 + 4$ eller $4n$ . Sjekk regelen mot alle tre figurene: figur 3 har 16 kvadrater, ikke 13 eller 12.
I c) er det lett å telle én figur for mye eller for lite. Betingelsen må sjekke at det finnes nok kvadrater til NESTE figur, $(n+2)^2$ , før den lages. Riktig svar er 142 figurer og 15 017 kvadrater igjen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Vår 2025, Del 2, Oppgave 4

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 3 poeng

Maria tegner en likesidet trekant. Hun deler trekanten i flere og flere små likesidede trekanter og fargelegger et mønster. Figurene nedenfor viser hvordan hun arbeider.

Tenk deg at Maria fortsetter å dele opp trekanten og fargelegge etter samme mønster.

a) Sett opp en algoritme Maria kan bruke for å finne summen av arealene av de 100 første trekantene som vil bli grå.
b) Ta utgangspunkt i algoritmen og lag et program som regner ut summen av arealene dersom arealet av den likesidede trekanten hun starter med er 36.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal beskrive en algoritme for summen av arealene av de 100 første grå trekantene, og lage et program som regner ut summen når den store trekanten har areal 36.

Strategi og formel: Hver gang Maria deler opp den øverste trekanten, blir den nye grå trekanten en fjerdedel så stor som trekanten den ligger i. Arealet av grå trekant nummer $k$ er derfor $36 : 4^k$ . Algoritmen legger sammen disse arealene med en løkke.

Trinnvis utregning:

Grå trekant 1 er en fjerdedel av hele trekanten: $36 : 4 = 9$
grå trekant 2 ligger i den øverste delen med areal $9$ og er en fjerdedel av den: $9 : 4 = 2{,}25$
grå trekant 3: $2{,}25 : 4 = 0{,}5625$
hver grå trekant er en fjerdedel av forrige
a) algoritme: sett areal = 36 og sum = 0
gjenta 100 ganger: del areal på 4, legg det nye arealet til sum
skriv ut sum
b) programmet gir en sum som er svært nær $12$ (summen $9 + 2{,}25 + 0{,}5625 + \ldots$ kommer aldri helt opp til $12$ , men over 100 trekanter er forskjellen mindre enn $10^{-58}$ )

Programkode:

areal = 36
sum_areal = 0
for k in range(100):
    areal = areal / 4
    sum_areal = sum_areal + areal
print(sum_areal)

Svar: a) Algoritmen står i utregningen over: start med areal 36, del på 4 for hver grå trekant og legg arealet til en sum, 100 ganger. b) Programmet i programkoden over skriver ut en sum på ca. 12 (Python skriver ut 11.999999999999998).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	a) En algoritme som beskriver en steg-for-steg-framgangsmåte (areal delt på 4 for hver grå trekant, summert 100 ganger), og b) et riktig program som gir en sum på omtrent 12.
1-2/3	Riktig algoritme men et program som bare delvis virker (sensor: et delvis riktig program kan gi 1 poeng), eller riktig program uten at algoritmen er forklart.
0/3	Ingen riktig algoritme og intet fungerende program.

Sensor-tips

Sensor: det er viktig å se helheten i besvarelsen av a) og b). Algoritmen må være en steg-for-steg-framgangsmåte, ikke bare en formel.
En vanlig feil er å dele på 2 i stedet for 4. Linjestykkene halveres, men AREALET av en likesidet trekant blir en fjerdedel når sidene halveres.
Programmet kan også skrives med en while-løkke som teller opp til 100. Poenget er at løkken gjentas 100 ganger, ikke at man bruker en bestemt løkketype.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Høst 2025, Del 2, Oppgave 4

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 3 poeng

Kristian er kunstner. Han arbeider med et prosjekt der han skal lage en serie med figurer ved å lime kuler på pinner.

Ovenfor ser du de fire først figurene i serien. For å lage figur 4 har Kristian brukt 7 pinner og 12 kuler.

Tenk deg at Kristian skal lage de 50 første figurene i denne serien.

Lag et program som beregner og skriver ut hvor mange kuler han vil trenge, og hvor mange pinner han vil trenge.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal lage et program som regner ut hvor mange kuler og hvor mange pinner som trengs til sammen for de 50 første figurene.

Strategi og formel: Vi finner først en regel for hver figur. Figur $n$ har $n$ loddrette og $n - 1$ vannrette pinner, og en kule der pinnene krysser hverandre. Det gir $2n - 1$ pinner og $n \cdot (n-1)$ kuler. Så bruker vi en løkke som legger sammen tallene for $n = 1, 2, \ldots, 50$ .

Trinnvis utregning:

Figur 1: $1$ pinne og $0$ kuler
figur 2: $3$ pinner og $2$ kuler
figur 3: $5$ pinner og $6$ kuler
figur 4: $7$ pinner og $12$ kuler
regelen er $2n - 1$ pinner og $n \cdot (n-1)$ kuler
sjekk figur 4: $2 \cdot 4 - 1 = 7$ og $4 \cdot 3 = 12$
programmet legger sammen disse for $n = 1$ til $50$
kuler: $\sum_{n=1}^{50} n(n-1) = 41\ 650$
pinner: $\sum_{n=1}^{50} (2n-1) = 50^2 = 2\ 500$

Programkode:

kuler = 0
pinner = 0
for n in range(1, 51):
    kuler = kuler + n * (n - 1)
    pinner = pinner + (2 * n - 1)
print(kuler, pinner)

Programmet skriver ut 41650 2500.

Svar: Kristian trenger $41\ 650$ kuler og $2\ 500$ pinner til de 50 første figurene. Programmet står i programkoden over.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	Kommer helt i mål med fire ting: en riktig sammenheng for antall kuler, en riktig sammenheng for antall pinner, en programkode med løkke som regner ut antallet i hver av de 50 første figurene, og en programkode som beregner og skriver ut summene.
2/3	Kommer helt i mål med to av punktene over og nesten i mål med ett av de to andre.
1/3	Kommer helt i mål med ett av punktene og nesten i mål med et annet.
0/3	Ingen av punktene er oppfylt.

Sensor-tips

Sensor: en kandidat som har regnet hvert linjestykke som en pinne, kan også få uttelling. Poenget er å se at antall pinner er $2n - 1$ og at antall kuler er produktet av antall søyler og rader.
Husk at oppgaven spør om summen for ALLE 50 figurene, ikke bare figur 50. Figur 50 alene har $99$ pinner og $2\ 450$ kuler.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Vår 2026, Del 2, Oppgave 4

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 2 – Oppgave 3

Med hjelpemidler – 7 poeng

I denne oppgaven skal du arbeide med linjestykker som settes sammen til en figur.

Skissen nedenfor viser de 16 første linjestykkene i figuren. Lengden av et linjestykke er alltid 90 % av lengden av det forrige linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm langt.

a) Bestem summen av lengdene av de 8 første linjestykkene i figuren.
b) Lag et program som du kan bruke til å bestemme summen av lengdene av linjestykkene dersom det er mange linjestykker i figuren.

Hvor mange linjestykker må vi ha med i figuren dersom summen av lengdene skal bli minst 9 meter?
c) Hvor mange prosent øker summen av lengdene dersom vi øker antall linjestykker i figuren fra 50 til 100?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne summen av de 8 første linjestykkene, lage et program som legger sammen lengder til summen når 9 meter, og regne ut den prosentvise økningen i summen fra 50 til 100 linjestykker.

Strategi og formel: Lengdene er $100,\ 100 \cdot 0{,}9,\ 100 \cdot 0{,}9^2,\ \ldots$ cm. Vi legger dem sammen med en løkke: i hver runde legges lengden til summen, og lengden ganges med $0{,}9$ . For b) lar vi løkken gå helt til summen er minst $900$ cm, og teller runder. For c) finner vi summen for 50 og for 100 linjestykker og regner prosentvis endring.

Trinnvis utregning:

a) lengdene er $100,\ 90,\ 81,\ 72{,}9,\ 65{,}61,\ 59{,}049,\ 53{,}144,\ 47{,}830$ cm
summen er $569{,}5$ cm
b) $9$ meter er $900$ cm
programmet legger til lengde etter lengde og stopper når summen er minst $900$
etter 21 linjestykker er summen $890{,}6$ cm, og etter 22 er den $901{,}5$ cm
c) summen for 50 linjestykker: $994{,}85$ cm
summen for 100 linjestykker: $999{,}97$ cm
økning: $\frac{999{,}97 - 994{,}85}{994{,}85} \approx 0{,}0052 = 0{,}52\ \%$

Programkode:

Program til a) og b):

lengde = 100
sum_lengde = 0
antall = 0
while sum_lengde < 900:
    sum_lengde = sum_lengde + lengde
    lengde = lengde * 0.9
    antall = antall + 1
print(antall, sum_lengde)

Programmet skriver ut 22 901.5229097816391.

For a) kan man endre betingelsen til antall < 8. Da skriver programmet ut 8 569.5327900000001.

Svar: a) Summen er ca. $569{,}5$ cm. b) Figuren må ha 22 linjestykker. c) Summen øker med ca. $0{,}52\ \%$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 7 poeng)

Poeng	Krav
7/7	a) Riktig sum (ca. 569,5 cm) med utregning, b) et fungerende program og svaret 22 linjestykker, og c) riktig prosentvis økning (ca. 0,52 %).
4-6/7	To av tre deloppgaver riktige, eller alle tre med mindre feil. Et delvis riktig program i b) kan gi 1 poeng.
1-3/7	Gjør noen riktige beregninger, for eksempel lengden av noen av linjestykkene, uten å komme til riktig svar.
0/7	Ingen riktige beregninger.

Sensor-tips

Sensor fordeler poengene 2 + 3 + 2 på a), b) og c) (der b) har både program og svar). I a) kan en kandidat som gjør noen riktige beregninger få 1 poeng.
Det er lett å regne 90 % av 100 som 90 og så trekke fra 10 % hver gang. Lengden ganges med $0{,}9$ i HVER runde. Summen kan aldri bli mer enn $1\ 000$ cm, og det er derfor 9 meter nås, men ikke 10 meter.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Høst 2023, Del 2, Oppgave 3