Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 6

Med hjelpemidler – 2 poeng

Guro utforsker volumet til kuler og lager koden nedenfor.

Koden (som tekst):

radius_liten_kule = float(input("skriv ønsket radius for minste kule: "))
radius_stor_kule = float(input("skriv ønsket radius for største kule: "))

volum_liten_kule = (4 * 3.14 * radius_liten_kule ** 3)/3
volum_stor_kule = (4 * 3.14 * radius_stor_kule ** 3)/3

forhold_mellom_kulene = volum_stor_kule/volum_liten_kule

print("forholdet mellom kulene er: ", forhold_mellom_kulene)

Guro tester koden med å skrive inn en radius til to kuler og får dette resultatet:

Skriv ønsket radius til den minste kulen: 2
Skriv ønsket radius til den største kulen: 4
Forholdet mellom kulene er: 8.0

a) Forklar hva som skjer når koden kjøres.

b) Forklar hvordan volumet til en kule endres, når radius dobles.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Hva koden gjør steg for steg (a), og hvordan volumet av en kule endres når radiusen dobles, basert på testresultatet i oppgaven (b).

Strategi og formel: Vi leser koden linje for linje: den ber om to radier, regner ut volumet til hver kule med kuleformelen $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , og regner ut forholdet mellom det største og det minste volumet. For b) bruker vi Guros eget testresultat (radius dobles fra 2 til 4, forholdet blir 8) til å se mønsteret.

Trinnvis utregning:

a) Koden leser inn to radiuser
regner ut volumet til hver kule med $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
deler det største volumet på det minste for å finne forholdet
skriver ut forholdet
b) radius dobles fra 2 til 4
forholdet mellom volumene blir 8
$2^3 = 8$

Svar: a) Koden regner ut volumet til to kuler ut fra oppgitte radier, og skriver ut forholdet mellom det største og det minste volumet. b) Når radiusen dobles, blir volumet 8 ganger så stort (siden $2^3=8$ ). Ikke bare dobbelt så stort.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Forklarer riktig hva koden gjør (a) OG at volumet blir 8 ganger større – ikke doblet – når radius dobles (b), med henvisning til $2^3=8$ .
1/2	Får riktig svar på ett av delspørsmålene, f.eks. riktig forklaring i a) uten å koble b) til $2^3=8$ , eller motsatt.
0/2	Tror volumet dobles proporsjonalt med radien (lineær tankegang), eller feiltolker hva koden regner ut i a).

Sensor-tips

En vanlig feil i b) er å tro at volumet dobles når radiusen dobles (lineær tankegang): testresultatet i oppgaven (forholdet er 8, ikke 2) er nettopp designet for å avsløre denne misoppfatningen.
Sjekk at eleven kobler observasjonen (forhold = 8) til at $2^3 = 8$ , ikke bare gjengir tallet 8 uten forklaring på HVORFOR.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 6

Utdanningsdirektoratet

Høst 2021, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 2 poeng

Bildet viser en algoritme som kan programmeres.

Flytskjema (gjengitt som tekst):

Start
$h$ = «Skriv inn den lengste siden i trekanten»
$k_1$ = «Skriv inn en annen side i trekanten»
$k_2$ = «Skriv inn den siste siden i trekanten»
Sjekk: er $k_1^2 + k_2^2 = h^2$ ?
- Ja → Output a:
- Nei → Output b:

Vurder og kommuniser hva algoritmen undersøker.

Gi eksempler på output når $h$ , $k_1$ og $k_2$ får forskjellige verdier.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Hva algoritmen faktisk undersøker/tester, og eksempler på hvilken output den gir for ulike verdier av $h$ , $k_1$ og $k_2$ .

Strategi og formel: I en rettvinklet trekant er det en fast sammenheng mellom sidene: kvadratet av den lengste siden (hypotenusen) er alltid lik summen av kvadratene til de to andre sidene. Det kalles Pytagoras' setning, og skrives $k_1^2+k_2^2=h^2$ når $h$ er den lengste siden. Vi kjenner igjen nettopp denne sjekken i algoritmen: den ber om de tre sidene i en trekant (der $h$ skal være den lengste) og tester om sammenhengen stemmer, altså om trekanten er rettvinklet.

Trinnvis utregning:

Algoritmen leser inn tre sidelengder ( $h$ = lengste, $k_1$ , $k_2$ = de to andre)
sjekker om $k_1^2+k_2^2=h^2$ (Pytagoras' setning)
gir «Output a» hvis testen stemmer (rettvinklet trekant), «Output b» hvis ikke
eksempel 1: $h=5$ , $k_1=3$ , $k_2=4$
$3^2+4^2=9+16=25=5^2$
Output a
eksempel 2: $h=5$ , $k_1=2$ , $k_2=3$
$2^2+3^2=4+9=13 \neq 25$
Output b

Svar: Algoritmen sjekker om en trekant med sidene h, k1 og k2 er rettvinklet, ved å teste Pytagoras' setning. Eksempel: h=5, k1=3, k2=4 gir Output a (rettvinklet); h=5, k1=2, k2=3 gir Output b (ikke rettvinklet).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Identifiserer at algoritmen tester Pytagoras' setning/om trekanten er rettvinklet, OG gir minst to korrekte eksempler som viser begge utfallene (ett Output a, ett Output b).
1/2	Beskriver riktig hva sjekken gjør uten konkrete talleksempler, eller gir riktige eksempler uten å forklare hva algoritmen faktisk undersøker.
0/2	Feiltolker sjekken (f.eks. tror den regner ut arealet eller omkretsen av trekanten), eller gir eksempler som ikke faktisk tester begge utfallene.

Sensor-tips

Nøkkelen er å kjenne igjen $k_1^2+k_2^2=h^2$ som Pytagoras' setning, uten det blir svaret bare en beskrivelse av kodestegene, ikke en forklaring av HVA algoritmen faktisk undersøker.
Gode eksempler bør vise BEGGE utfallene (både en rettvinklet og en ikke-rettvinklet trekant). Det viser at eleven forstår at algoritmen skiller mellom to tilfeller, ikke bare regner ut ett tall.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Høst 2021, Del 2, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2021, Del 1 – Oppgave 4

Nedenfor ser du en algoritme som styrer en penn i et koordinatsystem.

Pennen går fremover i den retningen som pilen peker.

Start på (0, 0)
Gjenta 4 ganger:
- Gå 100 frem
- Snu 90 grader til høyre
Flytt til (150, 150)
Gjenta 4 ganger:
- Gå 100 frem
- Snu 90 grader til høyre

Hvilken figur stemmer med algoritmen?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal avgjøre hvilken av de fire figurene algoritmen tegner.

Strategi og formel: Vi følger pennen steg for steg. Pennen starter i (0, 0) og peker mot høyre. Fire ganger «gå 100 frem» med 90 graders høyresvingning tegner en firkant. Så flyttes pennen til (150, 150), og den samme firkanten tegnes en gang til.

Trinnvis utregning:

Start i $(0, 0)$ og peker mot høyre
fire ganger «gå 100 frem, snu 90° til høyre» gir hjørnene $(100, 0)$ , $(100, -100)$ , $(0, -100)$ og $(0, 0)$
første figur er en kvadrat med sider 100, under x-aksen
flytt til $(150, 150)$
samme fire steg gir en kvadrat med hjørner $(150, 150)$ , $(250, 150)$ , $(250, 50)$ og $(150, 50)$
figuren har to like store kvadrater, og ingen flere

Svar: Figur 2 stemmer med algoritmen: to kvadrater med sider 100, det ene under x-aksen med hjørne i origo og det andre med øvre venstre hjørne i $(150, 150)$ .

Vurdering

Poeng	Krav
Fullt svar	Svarer Figur 2, gjerne med en begrunnelse (to kvadrater med sider 100, ett fra origo og ett fra (150, 150)).
Ingen poeng	Svarer en annen figur.

Sensor-tips

Udir har ikke oppgitt poeng for eksempeloppgaven (oppgavetype 1, som rettes automatisk), så vurderingen over er Numisums egen.
Figur 1 har en kvadrat for mye, og Figur 3 og 4 har rektangler som ikke har sider på 100 både i bredde og høyde. Sjekk alltid at lengdene stemmer med «Gå 100 frem».

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2021, Del 1, Oppgave 4