Statistikk
Hvor mange mål scoret laget ditt i sesongen? Hva er den vanligste skostørrelsen i klassen? Statistikk handler om å samle inn tall og opplysninger, og finne ut hva de forteller oss – ofte ved hjelp av noen få nøkkeltall som oppsummerer hele datasettet.
Forkunnskaper: Desimaltall
Teori
Hva er statistikk
Statistikk handler om å samle inn tall og opplysninger (et datasett), og bruke dem til å beskrive eller sammenligne noe. I stedet for å liste opp alle tallene hver gang, bruker vi ofte noen få sentralmål som oppsummerer hele datasettet i ett tall.
Å lese et søylediagram
Et søylediagram viser tall som stolper – jo høyere stolpe, jo større tall. Det gjør det raskt å sammenligne verdier med øynene, uten å måtte lese hvert eneste tall.
Diagrammet under viser poengsummene til fem elever på en test. Legg merke til den stiplede linja – den viser gjennomsnittet av alle poengsummene.
Metode
Sentralmål
Å finne gjennomsnitt
Gjennomsnittet finner du ved å legge sammen alle tallene i datasettet, og dele summen på hvor mange tall det er.
Eksempel: Gjennomsnittlig poengsum
Oppgave: Finn gjennomsnittet av poengsummene 4, 6, 7, 8, 10.
Løsning: Legg sammen alle tallene: 4 + 6 + 7 + 8 + 10 = 35. Del på antall tall (5): 35 ÷ 5 = 7. Gjennomsnittet er 7.
Tips
- Gjennomsnittet trenger ikke være et tall som faktisk finnes i datasettet – det er ofte et "tenkt" midt-tall, og kan gjerne bli et desimaltall selv om alle tallene i datasettet er hele.
Oppgaver
Finn gjennomsnittet av tallene 2, 4, 6.
Vis fasit
(2 + 4 + 6) ÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4
Finn gjennomsnittet av tallene 5, 5, 5, 5, 10.
Vis fasit
(5 + 5 + 5 + 5 + 10) ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6
Finn gjennomsnittet av tallene 10, 20, 30, 40.
Vis fasit
(10 + 20 + 30 + 40) ÷ 4 = 100 ÷ 4 = 25
Å finne median
Medianen er det midterste tallet i datasettet, når tallene er sortert fra minst til størst. Hvis det er et partall antall tall, er medianen gjennomsnittet av de to midterste tallene.
Eksempel: Finne medianen
Oppgave: Finn medianen av 4, 6, 7, 8, 10.
Løsning: Tallene er allerede sortert fra minst til størst. Med 5 tall er medianen det midterste tallet, altså det tredje: 7.
Tips
- Husk å sortere tallene fra minst til størst FØR du finner det midterste – ellers blir svaret feil, selv om du teller riktig antall plasser inn.
Oppgaver
Finn medianen av 3, 7, 9.
Vis fasit
Tallene er sortert. Midterste tall er 7.
Finn medianen av 2, 5, 6, 8.
Vis fasit
Midt mellom de to midterste tallene (5 og 6): (5 + 6) ÷ 2 = 5,5
Finn medianen av 1, 3, 3, 9, 20.
Vis fasit
Sortert: 1, 3, 3, 9, 20. Midterste tall er 3.
Å finne typetall
Typetallet (også kalt modus) er verdien som forekommer flest ganger i datasettet.
Eksempel: Finne typetallet
Oppgave: Finn typetallet i datasettet 2, 3, 3, 5, 3, 7.
Løsning: Tallet 3 forekommer tre ganger, som er flere enn noe annet tall i datasettet. Typetallet er 3.
Tips
- Et datasett kan ha flere typetall, hvis flere verdier er like hyppige – eller ingen typetall i det hele tatt, hvis alle verdiene forekommer like mange ganger.
Oppgaver
Finn typetallet i 4, 4, 6, 7, 4, 9.
Vis fasit
4 forekommer tre ganger, flest av alle tallene.
Finn typetallet i 1, 2, 2, 3, 3, 3.
Vis fasit
3 forekommer tre ganger, flest av alle tallene.
Finn typetallet i 8, 9, 9, 9, 10, 11.
Vis fasit
9 forekommer tre ganger, flest av alle tallene.
Sentralmål i praksis
Gjennomsnitt, median og typetall kan gi ulike svar for det samme datasettet, og noen ganger passer ett bedre enn de andre. Et tall som er svært annerledes enn de andre (en uteligger) kan trekke gjennomsnittet mye i sin retning, mens medianen ikke påvirkes like mye.
Eksempel: Lommepenger og uteliggere
Oppgave: Fem venner har disse lommepengene: 100, 100, 100, 100, 1000 kroner. Finn gjennomsnitt og median, og vurder hvilket som best beskriver 'vanlige' lommepenger blant vennene.
Løsning: Gjennomsnitt: (100 + 100 + 100 + 100 + 1000) ÷ 5 = 1400 ÷ 5 = 280 kroner. Median: tallene er allerede sortert, midterste tall er 100 kroner. Gjennomsnittet blir trukket kraftig opp av den ene høye verdien (1000), så medianen (100 kroner) gir et mer "vanlig" bilde av lommepengene her.
Tips
- Når et datasett har én verdi som skiller seg sterkt ut fra de andre, sier medianen ofte mer om "det vanlige" enn gjennomsnittet gjør.
Oppgaver
Fire elever har resultatene 5, 6, 6, 40. Hva er gjennomsnittet?
Vis fasit
(5 + 6 + 6 + 40) ÷ 4 = 57 ÷ 4 = 14,25
Samme resultater (5, 6, 6, 40). Hva er medianen?
Vis fasit
Sortert: 5, 6, 6, 40. Midt mellom de to midterste (6 og 6): 6
Hvilket sentralmål blir mest påvirket av en uteligger (et ekstremt tall)?
Vis fasit
Gjennomsnittet regner inn alle tallene direkte, så ett ekstremt tall trekker det mye i sin retning.
Vanlige feil
| Vanlig feil | Gjør heller dette |
|---|---|
| Å glemme å sortere tallene før man finner medianen. | Sorter alltid tallene fra minst til størst før du teller deg fram til det midterste tallet. |
| Å forveksle gjennomsnitt og median – bruke formelen for det ene når oppgaven spør om det andre. | Gjennomsnitt = summen delt på antallet. Median = det midterste tallet i en sortert liste. Sjekk nøye hva oppgaven faktisk spør om. |
| Å glemme å dele på 2 når det er et partall antall tall og man skal finne medianen, og bare bruke det ene av de to midterste tallene. | Med et partall antall tall er medianen gjennomsnittet av de to midterste tallene – ikke bare det ene av dem. |
| Å tro at et datasett alltid har nøyaktig ett typetall. | Sjekk om én verdi faktisk forekommer oftere enn alle andre. Hvis flere verdier deler førsteplassen, kan datasettet ha flere typetall – eller ingen, hvis alle forekommer like ofte. |
Sammendrag
- Gjennomsnitt = summen av alle tallene delt på antall tall.
- Median = det midterste tallet i en sortert liste (eller gjennomsnittet av de to midterste, ved partall antall).
- Typetall (modus) = verdien som forekommer flest ganger.
- Et ekstremt tall (en uteligger) påvirker gjennomsnittet mye mer enn medianen.
Sjekk din forståelse
1. Hva er gjennomsnittet av 2, 4, 6?
(2 + 4 + 6) ÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4.
2. Hva er medianen av 3, 7, 9?
Tallene er sortert. Det midterste tallet er 7.
3. Hva er typetallet i 2, 3, 3, 5, 3, 7?
3 forekommer tre ganger, flere enn noe annet tall.
4. Hvordan finner du gjennomsnittet av et datasett?
Gjennomsnitt = summen av alle tallene delt på hvor mange de er.
5. Hva må du gjøre før du finner medianen?
Medianen er det midterste tallet i en SORTERT liste.
6. Et datasett har et partall antall tall. Hvordan finner du medianen?
Ved partall antall tall er medianen gjennomsnittet av de to midterste tallene i den sorterte listen.
7. Hvilket sentralmål blir mest påvirket av en uteligger (et ekstremt tall)?
Gjennomsnittet regner inn alle tallene direkte, så ett ekstremt tall trekker det mye i sin retning.
8. Hva kalles verdien som forekommer flest ganger i et datasett?
Typetallet (modus) er verdien som forekommer flest ganger.
9. Fire elever har resultatene 5, 6, 6, 40. Hva er medianen?
14,25 er GJENNOMSNITTET, ikke medianen. Medianen er 6 – gjennomsnittet av de to midterste tallene (6 og 6) i den sorterte listen.
10. Hva er gjennomsnittet av 10, 20, 30, 40?
(10 + 20 + 30 + 40) ÷ 4 = 100 ÷ 4 = 25.
Hva bygger dette videre til: Sannsynlighet