Skolematte

Potenser og kvadratrøtter

Ungdomsskole (8.–10. trinn)Tall og algebra

Hvordan skriver vi 2 * 2 * 2 * 2 på en enklere måte? Og hvis vi vet at et kvadrat har areal 25 cm², hvor lang er da hver side? **Potenser** og **kvadratrøtter** er to sider av samme sak – den ene gjentar en multiplikasjon, den andre går den motsatte veien.

Forkunnskaper: Negative tall

Teori

Hva er en potens

En potens er en kortere måte å skrive gjentatt multiplikasjon på. I stedet for å skrive 2 * 2 * 2 * 2, skriver vi 2⁴. Tallet 2 kalles grunntallet, og det lille tallet 4 kalles eksponenten. Eksponenten forteller hvor mange ganger grunntallet skal ganges med seg selv.

Kvadratrøtter

Kvadratroten av et tall er det motsatte av å opphøye i andre (kvadrere). Kvadratroten av 25, skrevet √25, er tallet som gir 25 når det ganges med seg selv – altså 5, siden 5 * 5 = 25. Vi kan tenke på kvadratroten som "hvilket tall er sidelengden i et kvadrat med dette arealet?".

Metode

Potensregler

Å regne ut en potens

For å regne ut en potens, ganger du grunntallet med seg selv så mange ganger som eksponenten sier. Husk at et negativt grunntall i parentes følger vanlige fortegnsregler: (−2)² = (−2) * (−2) = 4.

Eksempel: Areal av et kvadrat

Oppgave: Et kvadrat har sider på 4 cm. Skriv arealet som en potens, og regn det ut.

Løsning: Arealet av et kvadrat er side * side, altså 4² = 4 * 4 = 16. Arealet er 16 cm².

Tips

  • Skriv ut multiplikasjonen i sin helhet hvis du er usikker: 2⁴ = 2 * 2 * 2 * 2 = 16, i stedet for å prøve å huske svaret direkte.

Oppgaver

Regn ut 2³.

Vis fasit

2 * 2 * 2 = 8

Regn ut 5².

Vis fasit

5 * 5 = 25

Regn ut (−2)³.

Vis fasit

(−2) * (−2) * (−2) = 4 * (−2) = −8

Potensregler ved multiplikasjon og divisjon

Når du ganger to potenser med SAMME grunntall, legger du sammen eksponentene. Når du deler to potenser med samme grunntall, trekker du fra eksponentene.

Multiplikasjon av potenser

aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

Divisjon av potenser

aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

Eksempel: Gange potenser med samme grunntall

Oppgave: Regn ut 2³ * 2², skrevet som ett tall.

Løsning: Samme grunntall, så eksponentene legges sammen: 2³ * 2² = 2³⁺² = 2⁵ = 32.

Tips

  • Denne regelen gjelder KUN når grunntallet er det samme i begge potensene – du kan ikke bruke den på f.eks. 2³ * 3².

Oppgaver

Regn ut 3⁴ ÷ 3², skrevet som ett tall.

Vis fasit

3⁴ ÷ 3² = 3⁴⁻² = 3² = 9

Regn ut 2² * 2³, skrevet som ett tall.

Vis fasit

2² * 2³ = 2⁵ = 32

Regn ut 5³ ÷ 5², skrevet som ett tall.

Vis fasit

5³ ÷ 5² = 5¹ = 5

Kvadratrøtter

For å finne kvadratroten av et tall, spør du deg selv: "hvilket tall ganget med seg selv gir dette tallet?". Ikke alle tall har en kvadratrot som er et helt tall – i dette kapittelet ser vi kun på kvadrattall (tall som 1, 4, 9, 16, 25 …) som gir hele tall.

Eksempel: Finne sidelengden

Oppgave: Et kvadrat har areal 49 cm². Hvor lang er hver side?

Løsning: Sidelengden er kvadratroten av arealet: √49 = 7, siden 7 * 7 = 49. Hver side er 7 cm.

Tips

  • Pugg gjerne kvadrattallene fra 1² til 10² (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100) – da kjenner du igjen kvadratrøttene deres direkte.
Oppgaver

Regn ut kvadratroten av 36.

Vis fasit

6 * 6 = 36, så √36 = 6

Regn ut kvadratroten av 81.

Vis fasit

9 * 9 = 81, så √81 = 9

Regn ut kvadratroten av 100.

Vis fasit

10 * 10 = 100, så √100 = 10

Vanlige feil

Vanlig feilGjør heller dette
Å tro at 2³ betyr 2 * 3 i stedet for 2 * 2 * 2.Eksponenten forteller hvor mange ganger grunntallet skal ganges MED SEG SELV, ikke med eksponenten: 2³ = 2 * 2 * 2 = 8.
Å legge sammen grunntallene i stedet for eksponentene ved multiplikasjon av potenser med samme grunntall.Ved aᵐ * aⁿ er det EKSPONENTENE som legges sammen, ikke grunntallet: 2³ * 2² = 2⁵, ikke 4⁵.
Å tro at kvadratroten av et tall alltid blir et helt tall.Bare kvadrattall (1, 4, 9, 16, 25 …) har kvadratrøtter som er hele tall. De fleste andre tall har kvadratrøtter med desimaler.
Å glemme fortegnsregelen når et negativt tall opphøyes i en potens, f.eks. tro (−2)² = −4.(−2)² betyr (−2) * (−2), og minus * minus gir pluss: (−2)² = 4, ikke −4. Sjekk om eksponenten er partall (gir pluss) eller oddetall (gir minus).

Sammendrag

  • En potens aⁿ betyr grunntallet a ganget med seg selv n ganger.
  • Ved multiplikasjon av potenser med samme grunntall: legg sammen eksponentene (aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ). Ved divisjon: trekk fra (aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ).
  • Kvadratroten av et tall er det motsatte av å opphøye i andre – √25 = 5 fordi 5 * 5 = 25.
  • Et negativt tall opphøyd i en PARTALLS-eksponent gir positivt svar, i en ODDETALLS-eksponent gir negativt svar.

Sjekk din forståelse

1. Regn ut 2³.

2. Regn ut 5².

3. Regn ut kvadratroten av 36.

4. Regn ut kvadratroten av 81.

5. Regn ut 2³ * 2², skrevet som ett tall.

6. Regn ut 3⁴ ÷ 3², skrevet som ett tall.

7. Regn ut (−2)².

8. Regn ut (−2)³.

9. Hva kaller vi tallet 3 i uttrykket 3⁵?

10. Hva kaller vi tallet 5 i uttrykket 3⁵?

Hva bygger dette videre til: Algebraiske uttrykk