Skolematte

Likninger og ulikheter

Ungdomsskole (8.–10. trinn)Tall og algebra

"Jeg tenker på et tall. Legger jeg til 5, får jeg 12. Hvilket tall tenkte jeg på?" Dette er en **likning**: x + 5 = 12. Å løse likninger og ulikheter handler om å finne ut hvilke tall som gjør et utsagn sant.

Forkunnskaper: Algebraiske uttrykk

Teori

Hva er en likning

En likning er et utsagn om at to uttrykk er like, med en ukjent (ofte kalt x) vi skal finne verdien av. Tenk på likningen som en vippe i balanse: det som står på venstre side veier akkurat det samme som det som står på høyre side. Gjør du noe med den ene siden, må du gjøre nøyaktig det samme med den andre for at balansen skal holde seg.

Hva er en ulikhet

En ulikhet ligner en likning, men bruker tegnene <, >, ≤ eller ≥ i stedet for likhetstegn. Mens en likning som regel har ÉN løsning, har en ulikhet ofte UENDELIG mange løsninger – f.eks. betyr x > 3 at alle tall større enn 3 er løsninger.

Metode

Løse likninger

Likninger med addisjon/subtraksjon

For å finne x, gjør du samme operasjon på BEGGE sider av likhetstegnet slik at x blir alene på den ene siden. Står det +5 sammen med x, trekker du 5 fra begge sider.

Eksempel: Løse x + 5 = 12

Oppgave: Løs likningen x + 5 = 12.

Løsning: Trekk 5 fra begge sider: x + 5 − 5 = 12 − 5, som gir x = 7.

Tips

  • Tenk på likningen som en vippe i likevekt – gjør du noe med den ene siden, må du gjøre akkurat det samme med den andre, ellers mister den balansen.

Oppgaver

Løs likningen x + 4 = 10.

Vis fasit

x = 10 − 4 = 6

Løs likningen x − 3 = 8.

Vis fasit

x = 8 + 3 = 11

Løs likningen x + 9 = 9.

Vis fasit

x = 9 − 9 = 0

Likninger med multiplikasjon/divisjon

Hvis x er ganget med et tall, deler du begge sider på det tallet for å finne x alene.

Eksempel: Løse 3x = 15

Oppgave: Løs likningen 3x = 15.

Løsning: Del begge sider på 3: x = 15 ÷ 3 = 5.

Tips

  • Sjekk hva x er ganget med, og del begge sider på nøyaktig det tallet – ikke på et tall du bare gjetter deg til.

Oppgaver

Løs likningen 4x = 20.

Vis fasit

x = 20 ÷ 4 = 5

Løs likningen 7x = 63.

Vis fasit

x = 63 ÷ 7 = 9

Løs likningen 6x = 42.

Vis fasit

x = 42 ÷ 6 = 7

Likninger med flere steg

Noen likninger krever flere steg. Fjern først løse tall (addisjon/subtraksjon) fra x-siden, og gang/del med tallet foran x til slutt.

Eksempel: Løse 2x + 3 = 11

Oppgave: Løs likningen 2x + 3 = 11.

Løsning: Trekk 3 fra begge sider: 2x = 8. Del begge sider på 2: x = 4.

Tips

  • Løs alltid addisjon/subtraksjon FØR multiplikasjon/divisjon når du isolerer x – akkurat motsatt rekkefølge av vanlig regnerekkefølge.

Oppgaver

Løs likningen 3x + 4 = 19.

Vis fasit

3x = 15, x = 5

Løs likningen 5x − 2 = 18.

Vis fasit

5x = 20, x = 4

Løs likningen 2x + 7 = 1.

Vis fasit

2x = −6, x = −3

Løse ulikheter

En ulikhet løses akkurat som en likning, med ETT viktig unntak: ganger eller deler du begge sider med et NEGATIVT tall, må du snu ulikhetstegnet (> blir <, og omvendt).

Eksempel: Løse en ulikhet med negativt tall

Oppgave: Løs ulikheten −2x > 6.

Løsning: Del begge sider på −2, og snu ulikhetstegnet siden vi deler på et negativt tall: x < −3.

Tips

  • Sjekk alltid til slutt om du ganget eller delte med et negativt tall underveis – det er da folk oftest glemmer å snu tegnet.
Oppgaver

Løs ulikheten x + 3 > 8. Skriv svaret på formen x > (tall).

Vis fasit

x > 8 − 3 = 5

Løs ulikheten 2x ≤ 10. Skriv svaret på formen x ≤ (tall).

Vis fasit

x ≤ 10 ÷ 2 = 5

Løs ulikheten −3x < 9 (husk å snu tegnet). Skriv svaret på formen x > (tall).

Vis fasit

x < 9 ÷ (−3) blir x > −3 når tegnet snus

Vanlige feil

Vanlig feilGjør heller dette
Å gjøre en operasjon på bare én side av likhetstegnet i stedet for begge.Det du gjør på den ene siden av likhetstegnet, må du ALLTID gjøre på den andre siden også, for at likningen skal holde seg i balanse.
Å glemme å snu ulikhetstegnet når man ganger eller deler begge sider med et negativt tall.Ganger eller deler du en ulikhet med et NEGATIVT tall, må du snu ulikhetstegnet (> blir <, og omvendt).
Å blande sammen rekkefølgen på stegene, f.eks. dele på tallet foran x før man har fjernet et løst ledd.Fjern først løse tall (addisjon/subtraksjon) fra x-siden, og gang/del med tallet foran x til slutt.
Å glemme å sjekke svaret ved å sette det inn igjen i den opprinnelige likningen.Sett alltid svaret inn igjen i den opprinnelige likningen for å dobbeltsjekke at begge sider blir like.

Sammendrag

  • En likning er et utsagn om at to uttrykk er like – å løse den betyr å finne verdien av x som gjør det sant.
  • Gjør alltid samme operasjon på BEGGE sider av likhetstegnet for å holde likningen i balanse.
  • Ved flere steg: fjern løse tall først, gang/del med tallet foran x til slutt.
  • En ulikhet løses som en likning, men ulikhetstegnet må snus hvis du ganger/deler med et negativt tall.

Sjekk din forståelse

1. Løs likningen x + 4 = 10.

2. Løs likningen x − 3 = 8.

3. Løs likningen 4x = 20.

4. Løs likningen 2x + 3 = 11.

5. Løs likningen 5x − 2 = 18.

6. Løs ulikheten x + 3 > 8. Skriv svaret på formen x > (tall).

7. Løs ulikheten −3x < 9 (husk å snu tegnet). Skriv svaret på formen x > (tall).

8. Hva må du gjøre med ulikhetstegnet hvis du ganger eller deler begge sider med et negativt tall?

9. Løs likningen x + 9 = 9.

10. Løs likningen 7x = 63.

Hva bygger dette videre til: Pytagoras' setning