Kombinatorikk og sannsynlighet

Ungdomsskole (8.–10. trinn)Statistikk og sannsynlighet

Hva er sannsynligheten for å få sekser TO ganger på rad når du kaster en terning? Og hvor mange ulike antrekk kan du sette sammen av 3 gensere og 4 bukser? I dette kapittelet bygger vi videre på sannsynlighet fra tidligere trinn, og ser på hva som skjer når flere hendelser kombineres.

Forkunnskaper: Sannsynlighet, Sirkel

Teori

Uavhengige og avhengige hendelser

To hendelser er uavhengige når utfallet av den ene IKKE påvirker sannsynligheten for den andre – som å kaste en terning to ganger, eller trekke en kule og legge den TILBAKE før du trekker igjen. To hendelser er avhengige når den første hendelsen påvirker sannsynligheten for den andre – som å trekke to kuler fra en pose UTEN å legge den første tilbake.

Telleprinsippet

Telleprinsippet (multiplikasjonsprinsippet) sier at hvis du skal gjøre flere valg etter hverandre, finner du det totale antallet muligheter ved å GANGE sammen antall valg i hvert steg. Har du 3 gensere og 4 bukser, er antall mulige antrekk 3 * 4 = 12.

Metode

Regne med sammensatt sannsynlighet

Uavhengige hendelser

For uavhengige hendelser A og B finner du sannsynligheten for at BEGGE skjer, ved å GANGE sammen sannsynlighetene.

Sannsynlighet for A og B (uavhengige hendelser)

P(A og B) = P(A) * P(B)

Eksempel: To terningkast

Oppgave: Du kaster en terning to ganger. Hva er sannsynligheten for å få sekser begge gangene?

Løsning: Kastene er uavhengige. P(sekser) = 1/6 hver gang, så P(sekser og sekser) = 1/6 * 1/6 = 1/36.

Tips

"Og" i sannsynlighetsspråk betyr som regel gange, ikke pluss – "sannsynligheten for A OG B" er nesten alltid P(A) * P(B) når hendelsene er uavhengige.

Oppgaver

Du kaster en mynt to ganger. Hva er sannsynligheten for å få mynt begge gangene?

Vis fasit

1/2 * 1/2 = 1/4

Du trekker en kule fra en pose med 2 røde og 3 blå kuler, ser fargen, legger den TILBAKE, og trekker igjen. Hva er sannsynligheten for å trekke rødt begge gangene?

Vis fasit

2/5 * 2/5 = 4/25

Du kaster en terning to ganger. Hva er sannsynligheten for å få en firer begge gangene?

Vis fasit

1/6 * 1/6 = 1/36

Avhengige hendelser

Ved trekning UTEN tilbakelegging endres antallet gjenstander (og dermed sannsynligheten) for hver trekning. Regn ut sannsynligheten for hvert steg for seg, basert på hva som er IGJEN etter forrige trekning, og gang dem sammen.

Eksempel: Trekke to kuler uten tilbakelegging

Oppgave: En pose har 4 kuler: 2 røde og 2 blå. Du trekker to kuler uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for at begge er røde?

Løsning: Første trekning: 2 røde av 4 kuler, altså 2/4. Andre trekning: 1 rød igjen av 3 kuler, altså 1/3. Sannsynlighet: 2/4 * 1/3 = 2/12 = 1/6.

Tips

Skriv opp antallet gjenstander på nytt for hvert steg – det er lett å glemme at nevneren blir én mindre for hver trekning uten tilbakelegging.

Oppgaver

En pose har 5 kuler: 3 røde og 2 blå. Du trekker to kuler uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for at begge er røde?

Vis fasit

3/5 * 2/4 = 6/20 = 3/10

En pose har 6 kort, hvorav 2 er vinnerkort. Du trekker to kort uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for å trekke vinnerkort begge gangene?

Vis fasit

2/6 * 1/5 = 2/30 = 1/15

En pose har 4 kuler: 1 rød og 3 blå. Du trekker to kuler uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for at begge er blå?

Vis fasit

3/4 * 2/3 = 6/12 = 1/2

Telleprinsippet

Skal du gjøre flere valg etter hverandre, ganger du sammen antall muligheter i hvert steg for å finne totalt antall kombinasjoner.

Eksempel: Antrekk

Oppgave: Du har 3 gensere og 4 bukser. Hvor mange ulike antrekk (genser + bukse) kan du sette sammen?

Løsning: 3 gensere * 4 bukser = 12 ulike antrekk.

Tips

Tell antall MULIGHETER i hvert steg for seg først, og gang dem sammen til slutt – ikke legg dem sammen.

Oppgaver

Du har 2 par sko og 3 gensere. Hvor mange ulike kombinasjoner (sko + genser) kan du lage?

Vis fasit

2 * 3 = 6

En meny har 5 forretter og 3 hovedretter. Hvor mange ulike måltider (forrett + hovedrett) kan du velge?

Vis fasit

5 * 3 = 15

Et passord skal ha 2 tegn: én bokstav (5 mulige) og ett tall (10 mulige). Hvor mange ulike passord er mulig?

Vis fasit

5 * 10 = 50

Vanlige feil

Vanlig feil	Gjør heller dette
Å legge sammen sannsynligheter for uavhengige hendelser i stedet for å gange dem, f.eks. regne P(A) + P(B) i stedet for P(A) * P(B).	'Og' i sannsynlighetsspråk betyr gange: P(A og B) = P(A) * P(B) for uavhengige hendelser, ikke pluss.
Å bruke samme sannsynlighet for andre trekning som for første, ved trekning UTEN tilbakelegging.	Ved trekning uten tilbakelegging endres BÅDE antall gunstige utfall OG antall mulige utfall for hver trekning – regn ut hvert steg for seg basert på hva som faktisk er igjen.
Å legge sammen antall valg i telleprinsippet i stedet for å gange dem.	Telleprinsippet bruker MULTIPLIKASJON: antall kombinasjoner = antall valg i steg 1 * antall valg i steg 2 * …
Å tro at alle utfall alltid er like sannsynlige, selv når de ikke er det – f.eks. tro at summen 7 og summen 2 er like sannsynlige ved kast med to terninger.	Sjekk hvor mange ulike kombinasjoner som gir hvert utfall – summen 7 kan lages på flere måter (1+6, 2+5, 3+4 …) enn summen 2 (bare 1+1), så 7 er mer sannsynlig.

Sammendrag

Uavhengige hendelser: utfallet av den ene påvirker ikke den andre (f.eks. med tilbakelegging). Avhengige hendelser: den første påvirker den andre (uten tilbakelegging).
For uavhengige hendelser: P(A og B) = P(A) * P(B).
For avhengige hendelser (uten tilbakelegging): regn ut hvert steg for seg basert på hva som er igjen, og gang sammen.
Telleprinsippet: gang sammen antall valg i hvert steg for å finne totalt antall kombinasjoner.

Sjekk din forståelse

1. Du kaster en terning to ganger. Hva er sannsynligheten for å få sekser begge gangene?

2. Du trekker en kule fra en pose, ser fargen, legger den TILBAKE, og trekker igjen. Er disse to trekningene uavhengige eller avhengige hendelser?

3. Du trekker en kule og legger den IKKE tilbake, så trekker du igjen. Er disse to trekningene uavhengige eller avhengige?

4. Du har 3 gensere og 4 bukser. Hvor mange ulike antrekk kan du sette sammen?

5. Du kaster en mynt to ganger. Hva er sannsynligheten for å få mynt begge gangene?

6. En pose har 4 kuler: 2 røde og 2 blå. Du trekker to kuler uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for at begge er røde?

7. Hva kalles regelen om at du ganger sammen antall valg for å finne totalt antall kombinasjoner?

8. Ved trekning UTEN tilbakelegging, endres sannsynligheten for andre trekning sammenlignet med første. Sant eller usant?

9. Du har 2 par sko og 3 gensere. Hvor mange ulike kombinasjoner kan du lage?

10. For uavhengige hendelser A og B, hva er riktig formel for P(A og B)?

Hva bygger dette videre til: Lineære funksjoner

Videoer

Ordliste

Uavhengige hendelser: Hendelser der utfallet av den ene ikke påvirker sannsynligheten for den andre.
Avhengige hendelser: Hendelser der utfallet av den ene påvirker sannsynligheten for den andre.
Telleprinsippet: Regelen om å gange sammen antall valg i hvert steg for å finne totalt antall kombinasjoner.

Til foreldre/leksehjelper

Slik kan du hjelpe

Bruk faktiske terninger eller kort til å teste uavhengige vs. avhengige hendelser – trekk kort med og uten tilbakelegging og diskuter forskjellen.
Tell sammen faktiske klesplagg hjemme (gensere * bukser) for å gjøre telleprinsippet konkret.
Ved sammensatt sannsynlighet: spør 'skal vi gange eller legge sammen her?' som en fast sjekk før man regner.

Nye begreper

Uavhengige hendelser: Når den ene hendelsen ikke påvirker den andre.
Telleprinsippet: Å gange sammen antall valg for å finne totalt antall kombinasjoner.

Pedagogikken bak

Skillet mellom uavhengige og avhengige hendelser er ofte det mest krevende konseptet i dette kapittelet. Bruk konkrete, fysiske demonstrasjoner (trekk faktiske kuler eller kort med og uten tilbakelegging) fremfor bare å forklare forskjellen verbalt – å SE at sammensetningen i posen endres, gjør det lettere å huske hvorfor sannsynligheten endres fra første til andre trekning.