Pytagoras' setning
Hvor lang blir stigen du trenger for å nå et vindu 4 meter oppe, hvis den skal stå 3 meter fra veggen? **Pytagoras' setning** lar deg regne ut den tredje siden i en rettvinklet trekant når du kjenner de to andre – uten å måtte måle den direkte.
Forkunnskaper: Potenser og kvadratrøtter
Teori
Rettvinklede trekanter
En rettvinklet trekant har én vinkel på nøyaktig 90°. De to sidene som møtes i den rette vinkelen kalles katetene. Den lengste siden, som ligger rett overfor den rette vinkelen, kalles hypotenusen.
Pytagoras' setning
Pytagoras' setning sier at i en rettvinklet trekant er summen av kvadratene til katetene lik kvadratet av hypotenusen, der c er hypotenusen. Denne sammenhengen gjelder KUN for rettvinklede trekanter.
Pytagoras' setning
a² + b² = c²
Metode
Bruke Pytagoras' setning
Finne hypotenusen
Kjenner du begge katetene, finner du hypotenusen ved å regne ut a² + b², og deretter ta kvadratroten av svaret.
Finne hypotenusen
c = √(a² + b²)
Eksempel: Stigen mot veggen
Oppgave: En stige står 3 meter fra veggen, og når 4 meter opp. Hvor lang er stigen?
Løsning: Stigen er hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter 3 og 4: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. c = √25 = 5. Stigen er 5 meter lang.
Tips
- Ikke glem det siste steget – å ta kvadratroten! Det er lett å stoppe ved c² og tro det er svaret.
Oppgaver
En rettvinklet trekant har kateter 6 og 8. Hva er hypotenusen?
Vis fasit
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. c = √100 = 10
En rettvinklet trekant har kateter 5 og 12. Hva er hypotenusen?
Vis fasit
c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. c = √169 = 13
En rettvinklet trekant har kateter 9 og 12. Hva er hypotenusen?
Vis fasit
c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. c = √225 = 15
Finne en katet
Kjenner du hypotenusen og én katet, finner du den andre kateten ved å snu formelen, og deretter ta kvadratroten.
Finne en katet
a = √(c² − b²)
Eksempel: Finne den manglende kateten
Oppgave: Hypotenusen i en rettvinklet trekant er 10, og én katet er 6. Hva er den andre kateten?
Løsning: a² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64. a = √64 = 8. Den andre kateten er 8.
Tips
- Hypotenusen er alltid det STØRSTE tallet i regnestykket, så den skal trekkes FRA med den kjente kateten, ikke omvendt.
Oppgaver
Hypotenusen i en trekant er 13, og én katet er 5. Hva er den andre kateten?
Vis fasit
a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. a = √144 = 12
Hypotenusen i en trekant er 17, og én katet er 8. Hva er den andre kateten?
Vis fasit
a² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225. a = √225 = 15
Hypotenusen i en trekant er 25, og én katet er 7. Hva er den andre kateten?
Vis fasit
a² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576. a = √576 = 24
Vanlige feil
| Vanlig feil | Gjør heller dette |
|---|---|
| Å bruke Pytagoras' setning på trekanter som IKKE er rettvinklede. | Sjekk alltid at trekanten faktisk har en rett vinkel (90°) før du bruker a² + b² = c² – setningen gjelder kun for rettvinklede trekanter. |
| Å forveksle hvilken side som er hypotenusen, f.eks. bruke en katet i stedet. | Hypotenusen er alltid den LENGSTE siden, og ligger rett overfor den rette vinkelen. Katetene er de to som møtes i den rette vinkelen. |
| Å glemme å ta kvadratroten til slutt, og oppgi c² som svaret i stedet for c. | Etter å ha regnet ut a² + b², må du ALLTID ta kvadratroten av resultatet for å finne selve lengden c. |
| Å trekke feil vei når man finner en katet, f.eks. regne b² − c² i stedet for c² − b². | Hypotenusen (c) er alltid størst. Ved å finne en katet skal du alltid trekke den kjente kateten FRA hypotenusen i kvadrat: a² = c² − b². |
Sammendrag
- En rettvinklet trekant har én vinkel på 90°. Katetene møtes i den rette vinkelen, hypotenusen er den lengste siden, motsatt den rette vinkelen.
- Pytagoras' setning: a² + b² = c², der c er hypotenusen. Gjelder kun rettvinklede trekanter.
- For å finne hypotenusen: c = √(a² + b²). For å finne en katet: a = √(c² − b²).
- Husk alltid å ta kvadratroten til slutt – å stoppe ved c² er ikke svaret.
Sjekk din forståelse
1. En rettvinklet trekant har kateter 3 og 4. Hva er hypotenusen?
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. c = √25 = 5.
2. En rettvinklet trekant har kateter 6 og 8. Hva er hypotenusen?
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. c = √100 = 10.
3. En rettvinklet trekant har kateter 5 og 12. Hva er hypotenusen?
c² = 169 er riktig utregnet, men ikke ferdig – ta kvadratroten: √169 = 13.
4. Hypotenusen i en trekant er 10, og én katet er 6. Hva er den andre kateten?
a² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64. a = √64 = 8.
5. Hypotenusen i en trekant er 13, og én katet er 5. Hva er den andre kateten?
a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. a = √144 = 12.
6. Hvilken side i en rettvinklet trekant er alltid lengst?
Hypotenusen ligger rett overfor den rette vinkelen, og er alltid den lengste siden.
7. Hva kaller vi de to korteste sidene i en rettvinklet trekant?
De to sidene som møtes i den rette vinkelen kalles katetene.
8. Hva er formelen for Pytagoras' setning?
Summen av kvadratene til katetene er lik kvadratet av hypotenusen.
9. Kan du bruke Pytagoras' setning på en trekant som ikke har en rett vinkel?
Pytagoras' setning gjelder kun for rettvinklede trekanter.
10. En rettvinklet trekant har kateter 9 og 12. Hva er hypotenusen?
c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. c = √225 = 15.
Hva bygger dette videre til: Formlikhet og målestokk