Formlikhet og målestokk
Et fotografi kan forstørres eller forminskes uten at motivet ser forvrengt ut – formen er den samme, bare størrelsen endres. Slike figurer kalles **formlike**. I dette kapittelet bygger vi videre på målestokk fra tidligere trinn, og ser på hvordan formlikhet lar oss finne ukjente lengder – og hvordan areal endres når vi skalerer en figur.
Forkunnskaper: Målestokk, Pytagoras' setning
Teori
Formlike figurer
To figurer er formlike når de har samme form: tilsvarende vinkler er like store, og tilsvarende sider har samme forhold til hverandre (samme forstørrings- eller forminskningsfaktor). Formlike figurer kan ha helt ulik størrelse, men ser "like ut" – som et fotografi og en forstørret kopi av det.
Målestokk og forstørring/forminskning
Målestokk skrives som et forhold, f.eks. 1:200, og forteller hvor mange ganger mindre (eller større) en tegning er enn virkeligheten. En figur som forstørres eller forminskes med en målestokk, blir alltid formlik med den opprinnelige figuren – formen endres ikke, bare størrelsen.
Metode
Formlikhet og målestokk
Finne ukjent side i formlike figurer
Kjenner du to tilsvarende sider i formlike figurer, finner du forstørrings-/forminskningsfaktoren ved å dele dem på hverandre. Deretter bruker du samme faktor på de andre sidene.
Eksempel: Formlike trekanter
Oppgave: Trekant A har sider 3, 4 og 5. Trekant B er formlik med trekant A, og siden i B som tilsvarer siden 3 i A, er 6. Hvor lang er siden i B som tilsvarer siden 4 i A?
Løsning: Forholdet mellom tilsvarende sider er 6 ÷ 3 = 2. Siden som tilsvarer 4, blir da 4 * 2 = 8.
Tips
- Sett opp forholdet mellom to KJENTE tilsvarende sider først – det gir deg faktoren, som du så bruker på de resterende ukjente sidene.
Oppgaver
Trekant A har sider 5, 12, 13. Trekant B er formlik, og siden som tilsvarer 5, er 10 i B. Hvor lang er siden i B som tilsvarer 13?
Vis fasit
Faktor: 10 ÷ 5 = 2. 13 * 2 = 26
To formlike rektangler: det minste har bredde 4 cm og høyde 3 cm. Det største har bredde 12 cm. Hvor høyt er det største?
Vis fasit
Faktor: 12 ÷ 4 = 3. 3 * 3 = 9
Trekant A har sider 6, 8, 10. Trekant B er formlik, og siden som tilsvarer 10, er 15 i B. Hvor lang er siden i B som tilsvarer 6?
Vis fasit
Faktor: 15 ÷ 10 = 1,5. 6 * 1,5 = 9
Målestokk: fra tegning til virkelighet
Ved målestokk 1:200 tilsvarer 1 cm på tegningen 200 cm i virkeligheten. Gang tegningens mål med det andre tallet i målestokken for å finne virkelig lengde. Gå motsatt vei ved å dele.
Eksempel: Fra tegning til virkelighet
Oppgave: En bygning er tegnet i målestokk 1:200. På tegningen er bygningen 8 cm lang. Hvor lang er bygningen i virkeligheten, i meter?
Løsning: 8 cm * 200 = 1600 cm = 16 m.
Tips
- Regn alltid om til samme måleenhet før du sammenligner eller svarer – svar gjerne i den enheten oppgaven spør etter (cm, m eller km).
Oppgaver
Et kart har målestokk 1:50 000. Avstanden på kartet er 6 cm. Hvor mange km er det i virkeligheten?
Vis fasit
6 * 50 000 = 300 000 cm = 3000 m = 3 km
En modellbil er bygget i målestokk 1:18. Modellen er 25 cm lang. Hvor mange cm lang er den ekte bilen?
Vis fasit
25 * 18 = 450 cm
En tegning har målestokk 1:200. Den ekte bygningen er 24 m høy. Hvor mange cm høy er bygningen på tegningen?
Vis fasit
24 m = 2400 cm. 2400 ÷ 200 = 12 cm
Areal av formlike figurer
Når en figur forstørres eller forminskes med en faktor k (lengdene ganges med k), blir AREALET k² ganger så stort – ikke bare k ganger. Dobler du alle lengdene (k = 2), firedobles arealet (2² = 4).
Arealforhold ved formlikhet
Arealforhold = k², der k er lengdeforholdet
Eksempel: Dobbel størrelse, firedobbelt areal
Oppgave: Et rektangel forstørres med målestokk 2:1 (alle lengder dobles). Hvor mange ganger større blir arealet?
Løsning: Lengdeforholdet er 2, så arealforholdet er 2² = 4. Arealet blir 4 ganger så stort.
Tips
- Ikke bland sammen lengdeforholdet og arealforholdet – arealforholdet er alltid lengdeforholdet i ANDRE POTENS.
Oppgaver
Et kvadrat forstørres med målestokk 3:1. Hvor mange ganger større blir arealet?
Vis fasit
Arealforhold = 3² = 9
Et rektangel forminskes med målestokk 1:5 (alle lengder blir 5 ganger mindre). Hvor mange ganger mindre blir arealet?
Vis fasit
Arealforhold = 5² = 25
Et kvadrat har areal 16 cm². Det forstørres med målestokk 2:1. Hva er arealet av det forstørrede kvadratet?
Vis fasit
16 * 2² = 16 * 4 = 64 cm²
Vanlige feil
| Vanlig feil | Gjør heller dette |
|---|---|
| Å tro at arealet forstørres like mye som lengden, f.eks. tro at dobbel lengde gir dobbelt areal. | Arealforholdet er alltid lengdeforholdet i ANDRE POTENS: dobler du lengdene (faktor 2), firedobles arealet (2² = 4). |
| Å blande sammen hvilke sider som faktisk tilsvarer hverandre i formlike figurer, og sette opp feil forhold. | Sammenlign sider som har samme 'rolle' i figuren – f.eks. den lengste siden i den ene med den lengste siden i den andre. |
| Å gange når man skulle dele (eller omvendt) ved omregning mellom tegning og virkelighet. | Fra tegning til virkelighet: GANG med det andre tallet i målestokken. Fra virkelighet til tegning: DEL på det. |
| Å blande enheter (cm, m, km) uten å regne om til samme enhet før man sammenligner eller svarer. | Regn alltid om til samme måleenhet før du sammenligner tall, og sjekk hvilken enhet oppgaven faktisk spør etter i svaret. |
Sammendrag
- To figurer er formlike når de har samme form: tilsvarende vinkler er like, og tilsvarende sider har samme forhold.
- Finn skaleringsfaktoren ved å dele to kjente tilsvarende sider på hverandre, og bruk den på de ukjente sidene.
- Ved målestokk 1:n: gang med n for å gå fra tegning til virkelighet, del på n for motsatt vei.
- Arealforholdet mellom formlike figurer er lengdeforholdet i andre potens (k²), ikke bare k.
Sjekk din forståelse
1. Trekant A har sider 6, 8, 10. Trekant B er formlik, og siden som tilsvarer 6, er 9 i B. Hvor lang er siden i B som tilsvarer 8?
1,5 er riktig skaleringsfaktor (9 ÷ 6), men oppgaven spør om selve sidelengden: 8 * 1,5 = 12.
2. Et kart har målestokk 1:50 000. Avstanden på kartet er 6 cm. Hvor mange km er det i virkeligheten?
6 * 50 000 = 300 000 cm = 3 km.
3. En modellbil er bygget i målestokk 1:18. Modellen er 25 cm lang. Hvor mange cm lang er den ekte bilen?
25 * 18 = 450 cm.
4. Et rektangel forstørres med målestokk 2:1. Hvor mange ganger større blir arealet?
Arealforholdet er lengdeforholdet i andre potens: 2² = 4.
5. Et kvadrat forstørres med målestokk 3:1. Hvor mange ganger større blir arealet?
Arealforholdet er 3² = 9.
6. Et kvadrat har areal 16 cm². Det forstørres med målestokk 2:1. Hva er arealet av det forstørrede kvadratet?
16 * 2² = 16 * 4 = 64 cm².
7. Hva betyr det at to figurer er formlike?
Formlike figurer har samme form (like vinkler), men kan ha ulik størrelse – tilsvarende sider har samme forhold til hverandre.
8. To formlike rektangler: det minste har bredde 4 cm og høyde 3 cm. Det største har bredde 12 cm. Hvor høyt er det største?
Faktor: 12 ÷ 4 = 3. Høyden blir 3 * 3 = 9 cm.
9. Ved målestokk 1:200, hvor mange cm i virkeligheten tilsvarer 1 cm på tegningen?
Målestokk 1:200 betyr at 1 cm på tegningen er 200 cm i virkeligheten.
10. Arealforholdet mellom to formlike figurer er alltid lengdeforholdet i hvilken potens?
Arealforholdet er alltid lengdeforholdet opphøyd i andre (kvadrert).
Hva bygger dette videre til: Sirkel