Lineære funksjoner
En taxitur koster ofte en fast grunnpris pluss et beløp per kilometer. Denne sammenhengen mellom antall kilometer og total pris er et eksempel på en **funksjon** – en regel som gir én bestemt utverdi (y) for hver innverdi (x). I dette kapittelet ser vi på **lineære funksjoner**, der sammenhengen kan tegnes som en rett linje.
Forkunnskaper: Likninger og ulikheter, Kombinatorikk og sannsynlighet
Teori
Hva er en funksjon
En funksjon er en regel som gir nøyaktig én utverdi (y) for hver innverdi (x). Funksjonen y = 2x + 3 betyr: ta x, gang med 2, og legg til 3. Setter du inn ulike x-verdier, får du ulike y-verdier – sammen danner disse punktene en graf.
Stigningstall og konstantledd
En lineær funksjon skrives på formen under, og gir alltid en RETT LINJE som graf. Stigningstallet a forteller hvor mye y endrer seg når x øker med 1 – hvor bratt linja er. Konstantleddet b forteller hvor linja krysser y-aksen, altså y-verdien når x = 0.
Lineær funksjon
y = ax + b
Metode
Lineære funksjoner
Sette inn x for å finne y
I en funksjon som y = 2x + 3 finner du y-verdien for en hvilken som helst x-verdi ved å sette inn tallet for x og regne ut, akkurat som ved innsetting i algebraiske uttrykk.
Eksempel: Finne y-verdier
Oppgave: Funksjonen er y = 2x + 3. Hva er y når x = 4?
Løsning: Sett inn 4 for x: y = 2 * 4 + 3 = 8 + 3 = 11.
Tips
- Lag gjerne en liten tabell med noen x-verdier og de tilhørende y-verdiene – det gjør det lettere å se mønsteret og tegne grafen.
Oppgaver
Funksjonen er y = 3x + 5. Hva er y når x = 4?
Vis fasit
y = 3 * 4 + 5 = 12 + 5 = 17
Funksjonen er y = 2x − 1. Hva er y når x = 3?
Vis fasit
y = 2 * 3 − 1 = 6 − 1 = 5
Funksjonen er y = 5x. Hva er y når x = 6?
Vis fasit
y = 5 * 6 = 30
Finne stigningstall og konstantledd
I en lineær funksjon skrevet på formen y = ax + b, kalles a for stigningstallet og b for konstantleddet. Stigningstallet er alltid tallet rett foran x, og konstantleddet er alltid tallet UTEN x.
Eksempel: Lese av a og b
Oppgave: Funksjonen er y = 4x + 7. Hva er stigningstallet og konstantleddet?
Løsning: Stigningstallet er tallet foran x: a = 4. Konstantleddet er tallet uten x: b = 7.
Tips
- Konstantleddet b er alltid tallet uten x foran seg – stigningstallet a er alltid tallet som står rett foran x.
Oppgaver
I funksjonen y = 4x + 7, hva er stigningstallet?
Vis fasit
Tallet foran x er stigningstallet: 4
I funksjonen y = 4x + 7, hva er konstantleddet?
Vis fasit
Tallet uten x er konstantleddet: 7
I funksjonen y = −2x + 10, hva er stigningstallet?
Vis fasit
Tallet foran x, inkludert fortegn: −2
Tolke en graf i praksis
I praktiske sammenhenger forteller stigningstallet ofte en RATE (pris per enhet, hastighet), og konstantleddet en STARTVERDI (fast avgift, startpunkt).
Eksempel: Taxipris
Oppgave: En taxitur koster y = 20 + 15x kroner, der x er antall kilometer. Hva koster en tur på 5 km?
Løsning: y = 20 + 15 * 5 = 20 + 75 = 95 kroner.
Tips
- Spør deg selv "hva er verdien når x = 0?" for å finne konstantleddet i en praktisk sammenheng, og "hvor mye endres y per enhet x?" for stigningstallet.
Oppgaver
En taxitur koster y = 20 + 15x kroner. Hva koster en tur på 3 km?
Vis fasit
y = 20 + 15 * 3 = 20 + 45 = 65
En taxitur koster y = 30 + 12x kroner. Hva koster en tur på 4 km?
Vis fasit
y = 30 + 12 * 4 = 30 + 48 = 78
En abonnementstjeneste koster y = 50 + 10x kroner per måned, der x er antall ekstra brukere. Hva koster det med 2 ekstra brukere?
Vis fasit
y = 50 + 10 * 2 = 50 + 20 = 70
Vanlige feil
| Vanlig feil | Gjør heller dette |
|---|---|
| Å forveksle stigningstall (a) og konstantledd (b), f.eks. sette dem inn feil vei i formelen. | Stigningstallet a står alltid RETT FORAN x. Konstantleddet b står alltid ALENE, uten x. |
| Å tro stigningstallet alltid må være positivt, og bli usikker når grafen synker. | Stigningstallet kan være negativt – da synker grafen når x øker, i stedet for å stige. |
| Å lese av grafen feil ved å bytte om x- og y-aksen. | x-aksen er alltid den vannrette aksen (innverdien), y-aksen er alltid den loddrette (utverdien) – sjekk aksemerkingen før du leser av. |
| Å tro at konstantleddet b er der linja krysser x-aksen, i stedet for y-aksen. | Konstantleddet b er y-verdien når x = 0 – det er der linja krysser Y-AKSEN, ikke x-aksen. |
Sammendrag
- En funksjon gir én bestemt y-verdi for hver x-verdi.
- En lineær funksjon y = ax + b gir en rett linje som graf.
- Stigningstallet a forteller hvor bratt linja er (endring i y per økning på 1 i x). Kan være negativt.
- Konstantleddet b forteller hvor grafen krysser y-aksen – y-verdien når x = 0.
- I praktiske sammenhenger er a ofte en rate (pris per enhet) og b en startverdi (fast avgift).
Sjekk din forståelse
1. En funksjon er y = 3x + 5. Hva er y når x = 4?
3 * 4 + 5 er riktig oppsett, men ikke regnet ferdig ut: 3 * 4 + 5 = 17.
2. En funksjon er y = 2x − 1. Hva er y når x = 3?
y = 2 * 3 − 1 = 6 − 1 = 5.
3. I funksjonen y = 4x + 7, hva er stigningstallet?
Stigningstallet er tallet foran x: 4.
4. I funksjonen y = 4x + 7, hva er konstantleddet?
Konstantleddet er tallet uten x: 7.
5. Hva forteller stigningstallet i en lineær funksjon?
Stigningstallet forteller hvor bratt linja er, altså endringen i y per økning på 1 i x.
6. En taxitur koster y = 20 + 15x kroner, der x er antall km. Hva koster en tur på 5 km?
y = 20 + 15 * 5 = 20 + 75 = 95.
7. I taxiformelen y = 20 + 15x, hva betyr tallet 20?
20 er konstantleddet – prisen når x = 0 km, altså grunnprisen.
8. Kan stigningstallet i en lineær funksjon være negativt?
Et negativt stigningstall betyr at grafen synker når x øker.
9. Hvor krysser grafen til y = ax + b y-aksen?
Når x = 0, er y = a * 0 + b = b, så grafen krysser y-aksen i punktet (0, b).
10. En funksjon er y = 5x. Hva er y når x = 6?
y = 5 * 6 = 30.
Hva bygger dette videre til: Personlig økonomi