Skolematte

Rasjonale uttrykk og rasjonale funksjoner

1TTall og algebra

Et rasjonalt tall er en brøk av to hele tall, som 3/4. Et **rasjonalt uttrykk** er den samme ideen med bokstaver: en brøk der teller og nevner er algebraiske uttrykk, som (x+2)/(x−3). I dette kapittelet lærer du å forkorte og legge sammen slike uttrykk, og møter **rasjonale funksjoner** – funksjoner som er "brøker av polynomer", med sine egne definisjonsmengder og asymptoter.

Forkunnskaper: Polynomfunksjoner og polynomdivisjon, Faktorisering og kvadratsetninger, Algebraiske uttrykk

Teori

Hva er et rasjonalt uttrykk

Et rasjonalt uttrykk er en brøk der teller og nevner er algebraiske uttrykk, f.eks. (x+2)/(x−3). Reglene for å regne med rasjonale uttrykk er nøyaktig de samme som for vanlige tallbrøker: for å FORKORTE, faktoriser teller og nevner fullstendig og fjern felles faktorer. For å legge sammen eller trekke fra, finn en fellesnevner akkurat som med tallbrøker. Den ene store forskjellen: en nevner kan ALDRI være null, så du må alltid sjekke hvilke x-verdier som gjør nevneren null – disse skal utelukkes.

Rasjonale funksjoner: definisjonsmengde og asymptoter

En rasjonal funksjon har formen under, der P(x) og Q(x) er polynomer og Q(x) ≠ 0. Definisjonsmengden utelukker alle x-verdier som gjør nevneren null. Der nevneren er null (og telleren ikke er det), får grafen en vertikal asymptote – en loddrett linje grafen nærmer seg, men aldri krysser. Når x går mot uendelig (i positiv eller negativ retning), nærmer grafen seg ofte en fast y-verdi – en horisontal asymptote.

Rasjonal funksjon

f(x) = P(x) / Q(x), der Q(x) ≠ 0

xy
y = 2/(x−1) + 1

Metode

Rasjonale uttrykk

Forkorte rasjonale uttrykk

Faktoriser teller og nevner FULLSTENDIG først (bruk gjerne konjugatsetningen eller kvadratsetningene fra tidligere), og fjern deretter felles faktorer. Husk: du kan bare forkorte bort HELE faktorer, aldri enkeltledd inni en sum.

Eksempel: Forkorte med konjugatsetningen

Oppgave: Forkort uttrykket (x² − 9)/(x − 3).

Løsning: Faktoriser telleren med konjugatsetningen: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Uttrykket blir da (x−3)(x+3)/(x−3) = x + 3, for x ≠ 3 (nevneren i det opprinnelige uttrykket kan ikke være null).

Tips

  • Restriksjonen fra den OPPRINNELIGE nevneren gjelder fortsatt etter at du har forkortet – den forsvinner ikke bare fordi faktoren er kansellert bort.

Oppgaver

(x² − 9)/(x − 3) forenkles til x + 3, for x ≠ 3. Hva er verdien når x = 5?

Vis fasit

5 + 3 = 8

Hvilken x-verdi må utelukkes fra definisjonsmengden til (x² − 9)/(x − 3)?

Vis fasit

Nevneren x−3 er null når x=3

(x² − 16)/(x − 4) forenkles til x + 4, for x ≠ 4. Hva er verdien når x = 10?

Vis fasit

10 + 4 = 14

Utvide og legge sammen rasjonale uttrykk

Finn en fellesnevner, akkurat som med tallbrøker – multipliser teller og nevner i hver brøk med det som mangler for å nå fellesnevneren. Legg deretter sammen tellerne over den felles nevneren.

Eksempel: Legge sammen to rasjonale uttrykk

Oppgave: Legg sammen 1/x + 2/(x+1).

Løsning: Fellesnevner: x(x+1). Utvid hver brøk: 1/x = (x+1)/(x(x+1)) og 2/(x+1) = 2x/(x(x+1)). Legg sammen tellerne: (x+1+2x)/(x(x+1)) = (3x+1)/(x(x+1)).

Tips

  • Den enkleste fellesnevneren er ofte bare produktet av de to opprinnelige nevnerne, hvis de ikke har noen felles faktorer.

Oppgaver

1/x + 2/(x+1) = (3x+1)/(x(x+1)). Hva er verdien av høyresiden når x = 2?

Vis fasit

(3*2+1)/(2*3) = 7/6

1/x + 2/(x+1). Hvilken x-verdi gjør nevneren x null?

Vis fasit

x = 0 gjør den første nevneren null

1/x + 2/(x+1). Hvilken x-verdi gjør nevneren (x+1) null?

Vis fasit

x + 1 = 0 gir x = −1

Rasjonale funksjoner

Finne definisjonsmengden

Sett nevneren lik null og løs for x. Definisjonsmengden består av alle reelle tall UNNTATT disse løsningene.

Eksempel: Finne definisjonsmengden til en rasjonal funksjon

Oppgave: Finn definisjonsmengden til f(x) = (x+1)/(x−3).

Løsning: Nevneren x−3 er null når x = 3. Definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt x = 3, altså Df = R \ {3}.

xy
f(x) = (x+1)/(x−3), definert for x≠3

Tips

  • Skriv definisjonsmengden som Df = R \ {tallet/tallene som er utelukket} – denne notasjonen brukes gjennomgående i 1T.

Oppgaver

Finn x-verdien som må utelukkes fra definisjonsmengden til f(x) = (x+5)/(x−7).

Vis fasit

Nevneren x−7 er null når x=7

Finn x-verdien som må utelukkes fra definisjonsmengden til f(x) = 3/(x+2).

Vis fasit

Nevneren x+2 er null når x=−2

f(x) = (2x)/(x−4). Er x=4 en del av definisjonsmengden?

Vis fasit

Nevneren blir null ved x=4, så x=4 er UTENFOR definisjonsmengden

Finne vertikal og horisontal asymptote

For en rasjonal funksjon på formen under er den vertikale asymptoten den loddrette linjen x = h (der nevneren er null). Den horisontale asymptoten er den vannrette linjen y = k – leddet a/(x−h) går mot 0 når x går mot ±∞, så f(x) nærmer seg k.

Rasjonal funksjon med asymptoter x=h og y=k

f(x) = a/(x−h) + k

Eksempel: Finne begge asymptotene

Oppgave: Finn asymptotene til f(x) = 2/(x−1) + 3.

Løsning: Vertikal asymptote: x = 1 (der nevneren x−1 er null). Horisontal asymptote: y = 3 (leddet 2/(x−1) går mot 0 når x går mot ±∞, så f(x) nærmer seg 3).

xy
y = 2/(x−1) + 3

Tips

  • Vertikal asymptote er alltid en x = -linje. Horisontal asymptote er alltid en y = -linje. Ikke bland dem sammen.

Oppgaver

f(x) = 5/(x−2) + 4. Hva er den vertikale asymptoten (x=)?

Vis fasit

Nevneren x−2 er null når x=2

f(x) = 5/(x−2) + 4. Hva er den horisontale asymptoten (y=)?

Vis fasit

5/(x−2) går mot 0 når x går mot ±∞, så f(x) nærmer seg 4

f(x) = −3/(x+1) − 2. Hva er den horisontale asymptoten (y=)?

Vis fasit

−3/(x+1) går mot 0 når x går mot ±∞, så f(x) nærmer seg −2

Vanlige feil

Vanlig feilGjør heller dette
Å forkorte enkeltledd inni en sum, f.eks. å forkorte (x+3)/x til bare 3.Du kan KUN forkorte bort hele faktorer, aldri enkeltledd inni en sum eller differanse. (x+3)/x kan ikke forenkles videre i det hele tatt.
Å glemme å utelukke x-verdien fra definisjonsmengden etter at uttrykket er forkortet.Restriksjonen kommer fra den OPPRINNELIGE nevneren, og gjelder fortsatt selv om faktoren kanselleres bort under forkortingen.
Å tro at 0/0 betyr at funksjonen er 0 der.0/0 er udefinert, ikke 0. Er BÅDE teller og nevner null i samme punkt, er funksjonen fortsatt udefinert der (må undersøkes nærmere, f.eks. med polynomdivisjon).
Å blande sammen vertikal og horisontal asymptote.Vertikal asymptote er alltid skrevet som x = (et tall). Horisontal asymptote er alltid skrevet som y = (et tall). Sjekk hvilken bokstav som står foran likhetstegnet.

Sammendrag

  • Et rasjonalt uttrykk er en brøk med algebraiske uttrykk i teller og nevner. Forkort ved å faktorisere fullstendig og fjerne felles FAKTORER (aldri enkeltledd).
  • Restriksjonen fra den opprinnelige nevneren gjelder fortsatt etter forkorting – den forsvinner ikke.
  • En rasjonal funksjon f(x) = P(x)/Q(x) har definisjonsmengde som utelukker alle x-verdier der Q(x) = 0.
  • For f(x) = a/(x−h) + k: vertikal asymptote er x = h, horisontal asymptote er y = k.

Sjekk din forståelse

1. Hva kalles en brøk der teller og nevner er algebraiske uttrykk?

2. (x² − 9)/(x − 3) forenkles til x + 3, for x ≠ 3. Hva er verdien når x = 5?

3. Kan du forkorte (x + 3)/x videre?

4. Finn x-verdien som må utelukkes fra definisjonsmengden til f(x) = (x+5)/(x−7).

5. f(x) = (2x)/(x−4). Er x=4 en del av definisjonsmengden?

6. f(x) = 5/(x−2) + 4. Hva er den vertikale asymptoten?

7. f(x) = 5/(x−2) + 4. Hva er den horisontale asymptoten?

8. Hva betyr det at Df = R \ {3} for en funksjon f?

9. Hva betyr 0/0 for en rasjonal funksjon i et punkt der både teller og nevner er null?

10. 1/x + 2/(x+1). Hva er den enkleste fellesnevneren, hvis de to nevnerne ikke har noen felles faktorer?

Hva bygger dette videre til: Trigonometri