Polynomfunksjoner og polynomdivisjon
Lineære funksjoner og andregradsfunksjoner er ikke to separate emner – de er begge spesialtilfeller av en større familie: **polynomfunksjoner**. I dette kapittelet møter du den generelle formen, lærer å dele polynomer på hverandre (**polynomdivisjon**, akkurat som lang divisjon for tall), og bruker dette til å løse likninger av tredje grad – likninger som ikke har noen enkel formel slik andregradslikninger har.
Forkunnskaper: Potens- og eksponentialfunksjoner, Andregradslikninger
Teori
Hva er en polynomfunksjon
En polynomfunksjon av grad n har den generelle formen under. Lineære funksjoner (f(x) = ax + b) og andregradsfunksjoner (f(x) = ax² + bx + c) er begge spesialtilfeller av dette – med henholdsvis grad 1 og grad 2. En polynomfunksjon av grad 3 har gjerne flere "svinger" i grafen enn en parabel.
Polynomfunksjon av grad n
f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
Polynomdivisjon – prinsippet
Polynomdivisjon brukes til å dele ett polynom P(x) på et annet D(x), akkurat som lang divisjon for tall (f.eks. 738 : 3 = 246). Q(x) er kvotienten og R(x) er resten (alltid av lavere grad enn D(x)). Fremgangsmåte, ledd for ledd: del det høyeste leddet som gjenstår på det høyeste leddet i divisoren, multipliser hele divisoren med svaret, trekk fra, og ta ned neste ledd. Gjenta til alle ledd er tatt ned.
Polynomdivisjon
P(x) = Q(x) · D(x) + R(x)
Metode
Polynomdivisjon
Utføre polynomdivisjon
Sett opp divisjonen horisontalt med kolon, akkurat som vanlig tallregning. Del det høyeste leddet på det høyeste leddet i divisoren, multipliser hele divisoren med svaret og trekk fra, ta så ned neste ledd. Gjenta til du har tatt ned alle leddene.
Restsetningen
Resten når P(x) deles på (x − a) er nettopp P(a)
Eksempel: Dele et tredjegradspolynom på en førstegradsfaktor
Oppgave: Del x³ − 2x² − 5x + 6 på (x − 1).
Løsning: Første ledd: x³ : x = x². Multipliser: x²(x−1) = x³ − x². Trekk fra og ta ned −5x: får −x² − 5x. Andre ledd: −x² : x = −x. Multipliser: −x(x−1) = −x² + x. Trekk fra og ta ned +6: får −6x + 6. Tredje ledd: −6x : x = −6. Multipliser: −6(x−1) = −6x + 6. Trekk fra: får 0, ingen rest. Kvotient: Q(x) = x² − x − 6, rest R(x) = 0. Altså: x³ − 2x² − 5x + 6 = (x − 1)(x² − x − 6).
Tips
- Bruk restsetningen til å sjekke resten raskt ved å sette inn x = a, uten å utføre hele divisjonen.
Oppgaver
Hva er resten når x³ − 2x² − 5x + 6 deles på (x − 2)?
Vis fasit
Restsetningen: P(2) = 8 − 8 − 10 + 6 = −4
Hva er resten når x³ − 2x² − 5x + 6 deles på (x − 1)?
Vis fasit
Restsetningen: P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0
Er (x + 1) en faktor i x³ − 2x² − 5x + 6? (Sett inn x = −1 og sjekk om resultatet er 0.)
Vis fasit
P(−1) = −1 − 2 + 5 + 6 = 8, som ikke er 0, så (x+1) er IKKE en faktor
Nullpunktmetoden for tredjegradslikninger
En tredjegradslikning har ingen enkel formel slik andregradslikninger har. I stedet kombinerer du tre steg: (1) prøv deg fram til ett heltallig nullpunkt – prøv gjerne enkle tall som ±1, ±2, ±3 (faktorer av konstantleddet) først, (2) del polynomet på denne faktoren med polynomdivisjon, og (3) løs restlikningen (som nå er av andre grad) med andregradsformelen eller nullpunktfaktorisering. Til slutt bruker du nullproduktsetningen (se boks under).
Nullproduktsetningen
A · B · C = 0 ⟺ A=0 eller B=0 eller C=0
Eksempel: Løse en tredjegradslikning
Oppgave: Løs x³ − 2x² − 5x + 6 = 0.
Løsning: Steg 1: Prøv x = 1: 1³ − 21² − 51 + 6 = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 ✓, så x = 1 er et nullpunkt, og (x−1) er en faktor. Steg 2: Del polynomet på (x−1): x³ − 2x² − 5x + 6 = (x−1)(x² − x − 6). Steg 3: Faktoriser restleddet: x² − x − 6 = (x−3)(x+2). Samlet: x³ − 2x² − 5x + 6 = (x−1)(x−3)(x+2). Steg 4: Nullproduktsetningen gir x = 1, x = 3 eller x = −2.
Tips
- Denne metoden bygger direkte på nullpunktfaktorisering fra Andregradslikninger – bare med ett ekstra steg (polynomdivisjonen) lagt til foran.
Oppgaver
Sjekk om x = 1 er et nullpunkt for x³ − 7x + 6 = 0. Hva blir P(1)?
Vis fasit
1³ − 7*1 + 6 = 1 − 7 + 6 = 0, så x=1 ER et nullpunkt
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 har nullpunktene x=1, x=2 og x=3. Hva er det STØRSTE nullpunktet?
Vis fasit
Nullpunktene er 1, 2 og 3 – størst er 3
x³ − 2x² − 5x + 6 = 0 har nullpunktene x=−2, x=1 og x=3. Hva er det MINSTE nullpunktet?
Vis fasit
Nullpunktene er −2, 1 og 3 – minst er −2
Vanlige feil
| Vanlig feil | Gjør heller dette |
|---|---|
| Å tro at en tredjegradslikning kan løses med en formel, slik andregradslikninger kan. | Det finnes ingen enkel formel for tredjegradslikninger. Bruk i stedet nullpunktmetoden: finn ett nullpunkt ved prøving, del polynomet på denne faktoren, og løs restlikningen. |
| Å glemme at resten etter en polynomdivisjon må ha LAVERE grad enn divisoren. | Del helt til det som er igjen har lavere grad enn divisoren (og helst er lik 0, hvis divisjonen går opp uten rest). |
| Å regne feil fortegn når man trekker fra i polynomdivisjonen. | Vær ekstra nøye med fortegn når du trekker fra – skriv gjerne om subtraksjonen til en addisjon av det motsatte tallet (snu fortegnet på hvert ledd du trekker fra) for å unngå fortegnsfeil. |
| Å tro man må utføre en hel polynomdivisjon for å finne resten. | Bruk restsetningen: resten når P(x) deles på (x − a) er nettopp P(a). Sett bare inn x = a i det opprinnelige uttrykket. |
Sammendrag
- En polynomfunksjon har formen f(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀. Lineære funksjoner og andregradsfunksjoner er spesialtilfeller (grad 1 og 2).
- Polynomdivisjon: P(x) = Q(x) · D(x) + R(x), utført ledd for ledd akkurat som lang divisjon for tall.
- Restsetningen: resten når P(x) deles på (x − a) er nettopp P(a) – rask sjekk uten å utføre hele divisjonen.
- Nullpunktmetoden løser tredjegradslikninger: finn ett nullpunkt ved prøving, del polynomet på denne faktoren, og løs restlikningen med andregradsformelen.
Sjekk din forståelse
1. Hvilken grad har polynomfunksjonen f(x) = 3x⁴ − x² + 5?
Graden til et polynom er den høyeste eksponenten som forekommer – her er det 4.
2. Er en andregradsfunksjon et spesialtilfelle av en polynomfunksjon?
En andregradsfunksjon er en polynomfunksjon av grad 2.
3. Hva er resten når x³ − 2x² − 5x + 6 deles på (x − 2)?
P(2) er riktig oppsett med restsetningen, men ikke regnet ferdig ut: P(2) = 8 − 8 − 10 + 6 = −4.
4. Hva er resten når x³ − 2x² − 5x + 6 deles på (x − 1)?
P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0, så divisjonen går opp uten rest.
5. P(x) = Q(x) · D(x) + R(x). Hva kalles Q(x)?
Q(x) er kvotienten – resultatet av divisjonen, uten resten.
6. Hvilken grad må resten R(x) ha, sammenlignet med divisoren D(x)?
Resten skal alltid ha lavere grad enn divisoren – ellers kunne du delt videre.
7. Hvilke tall er lurt å prøve FØRST når du leter etter et heltalls-nullpunkt i en tredjegradslikning?
I de fleste 1T-oppgaver er minst ett nullpunkt et lite heltall som er en faktor av konstantleddet.
8. x³ − 2x² − 5x + 6 = (x−1)(x−3)(x+2). Hva sier nullproduktsetningen om løsningene?
Et produkt er null hvis og bare hvis minst én faktor er null – det gir hver av løsningene x=1, x=3 og x=−2.
9. Sjekk om x = 1 er et nullpunkt for x³ − 7x + 6 = 0. Hva blir P(1)?
1³ − 7*1 + 6 = 1 − 7 + 6 = 0, så x=1 ER et nullpunkt.
10. x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 har nullpunktene x=1, x=2 og x=3. Hvor mange ganger krysser grafen x-aksen?
Hvert av de tre nullpunktene (1, 2 og 3) er et sted grafen krysser x-aksen.
Hva bygger dette videre til: Rasjonale uttrykk og rasjonale funksjoner