Likningssystemer

1TTall og algebra

Noen ganger har vi to ukjente tall samtidig, og to ulike sammenhenger mellom dem – f.eks. "summen av to tall er 10" og "differansen mellom dem er 2". Da trenger vi et **likningssystem**: to likninger som begge må stemme samtidig, for å finne begge de ukjente.

Forkunnskaper: Andregradslikninger

Teori

Hva er et likningssystem

Et likningssystem er to (eller flere) likninger med de samme ukjente, som alle skal være sanne SAMTIDIG. En enkelt likning med to ukjente har uendelig mange løsninger, men med to likninger sammen kan vi som regel finne nøyaktig ett tallpar som løser begge.

Løsningen som skjæringspunkt

Hver likning i systemet kan tegnes som en rett linje. Løsningen av likningssystemet er nettopp punktet der de to linjene skjærer hverandre – det eneste punktet som ligger på begge linjene samtidig.

y = 2x + 1 og y = −3x + 11 (fra 3x + y = 11)

Metode

Løse likningssystemer

Innsettingsmetoden

Løs én av likningene for én variabel, og sett dette uttrykket inn i den ANDRE likningen. Da får du én likning med kun én ukjent, som du kan løse som vanlig.

Eksempel: Løse med innsettingsmetoden

Oppgave: Løs likningssystemet: y = 2x + 1 og 3x + y = 11.

Løsning: Sett uttrykket for y inn i den andre likningen: 3x + (2x + 1) = 11, som gir 5x + 1 = 11, altså 5x = 10 og x = 2. Sett x = 2 inn i y = 2x + 1: y = 5. Løsning: x = 2, y = 5.

y = 2x + 1 og y = −3x + 11

Tips

Løs alltid for den variabelen som er enklest å isolere først – hvis en av likningene allerede har "y = ..." alene, bruk den direkte.

Oppgaver

Løs likningssystemet: y = 3x − 1 og 2x + y = 9. Hva er x?

Vis fasit

2x + (3x−1) = 9
5x−1=9
5x=10
x=2

Løs likningssystemet: y = 3x − 1 og 2x + y = 9. Hva er y?

Vis fasit

y = 3*2 − 1 = 5

Løs likningssystemet: y = x + 4 og 2x + y = 13. Hva er x?

Vis fasit

2x + (x+4) = 13
3x+4=13
3x=9
x=3

Addisjonsmetoden

Legg sammen eller trekk fra de to likningene for å ELIMINERE én av variablene. Still likningene oppunder hverandre, akkurat som et vanlig plussregnestykke eller minusregnestykke – da blir det tydelig hvilke ledd som kansellerer.

Eksempel: Løse med addisjonsmetoden

Oppgave: Løs likningssystemet: 2x + 3y = 12 og 2x − y = 4.

Løsning: Begge likningene har leddet 2x, så vi trekker den ene fra den andre: (2x + 3y) − (2x − y) = 12 − 4, som gir 4y = 8, altså y = 2. Sett y = 2 inn i 2x − y = 4: 2x − 2 = 4, så 2x = 6 og x = 3. Løsning: x = 3, y = 2.

Tips

Sjekk om noen av variablene allerede har like (eller motsatte) koeffisienter i begge likningene – da fungerer addisjon eller subtraksjon direkte, uten å gange opp noe først.

Oppgaver

Løs likningssystemet: x + y = 10 og x − y = 2. Hva er x?

Vis fasit

Legg sammen: 2x = 12, x = 6

Løs likningssystemet: x + y = 10 og x − y = 2. Hva er y?

Vis fasit

x=6, så y = 10−6 = 4

Løs likningssystemet: 2x + y = 11 og 2x − y = 1. Hva er x?

Vis fasit

Legg sammen: 4x = 12, x = 3

Grafisk løsning

Tegn grafene til begge likningene. Skjæringspunktet mellom grafene er nettopp løsningen av likningssystemet.

Eksempel: Løse grafisk

Oppgave: Løs likningssystemet grafisk: y = 2x + 1 og y = −3x + 11.

Løsning: Grafene til de to likningene skjærer hverandre i punktet (2, 5), som er løsningen: x = 2, y = 5.

y = 2x + 1 og y = −3x + 11

Tips

Grafisk løsning er spesielt nyttig for å sjekke et svar du har regnet ut algebraisk – finner du samme punkt begge veier, vet du at svaret stemmer.

Oppgaver

To grafer er y = x + 1 og y = −x + 5. Hva er x-verdien der de skjærer hverandre?

Vis fasit

x+1 = −x+5
2x=4
x=2

To grafer er y = x + 1 og y = −x + 5. Hva er y-verdien der de skjærer hverandre?

Vis fasit

y = 2+1 = 3

To grafer er y = 4x og y = x + 9. Hva er x-verdien der de skjærer hverandre?

Vis fasit

4x = x+9
3x=9
x=3

Vanlige feil

Vanlig feil	Gjør heller dette
Å sette det løste uttrykket inn i SAMME likning man løste for, i stedet for i den andre likningen.	Ved innsettingsmetoden skal uttrykket alltid settes inn i den ANDRE likningen – den du ikke allerede har løst.
Å glemme å sette den funne verdien tilbake for å finne den andre variabelen, og stoppe etter å ha funnet bare x (eller bare y).	Et likningssystem har alltid TO ukjente som skal finnes – husk å sette den første løsningen tilbake for å finne den andre.
Å legge sammen eller trekke fra likningene feil ved addisjonsmetoden, uten å stille dem systematisk oppunder hverandre.	Skriv alltid likningene rett under hverandre, ledd for ledd, akkurat som et vanlig oppstilt regnestykke – da blir det tydelig hva som kansellerer.
Å tro et likningssystem alltid har akkurat én løsning.	To parallelle linjer (samme stigningstall) skjærer aldri hverandre – null løsninger. To identiske likninger overlapper helt – uendelig mange løsninger.

Sammendrag

Et likningssystem er to eller flere likninger som skal være sanne samtidig, med de samme ukjente.
Innsettingsmetoden: løs for én variabel, sett inn i den andre likningen.
Addisjonsmetoden: legg sammen eller trekk fra likningene, oppstilt systematisk, for å eliminere én variabel.
Grafisk løsning: løsningen er skjæringspunktet mellom grafene til de to likningene.
Parallelle linjer gir ingen løsning. Identiske linjer gir uendelig mange løsninger.

Sjekk din forståelse

1. Løs likningssystemet: y = 2x + 1 og 3x + y = 11. Hva er x?

2. Løs likningssystemet: y = 2x + 1 og 3x + y = 11. Hva er y?

3. Løs likningssystemet: x + y = 10 og x − y = 2. Hva er x?

4. Løs likningssystemet: x + y = 10 og x − y = 2. Hva er y?

5. Hva representerer skjæringspunktet mellom grafene til to likninger i et likningssystem?

6. Ved innsettingsmetoden: hva gjør du etter å ha løst én likning for én variabel?

7. Ved addisjonsmetoden: hvorfor stiller vi likningene oppunder hverandre?

8. To parallelle linjer (samme stigningstall, ulikt konstantledd) representerer et likningssystem. Hvor mange løsninger har systemet?

9. Løs likningssystemet: 2x + y = 11 og 2x − y = 1. Hva er x?

10. To grafer er y = x + 1 og y = −x + 5. Hva er x-verdien der de skjærer hverandre?

Hva bygger dette videre til: Andregradsfunksjoner

Videoer

Ordliste

Likningssystem: To eller flere likninger med de samme ukjente, som skal være sanne samtidig.
Innsettingsmetoden: Å løse én likning for én variabel, og sette uttrykket inn i den andre likningen.
Addisjonsmetoden: Å legge sammen eller trekke fra to likninger for å eliminere én variabel.

Til foreldre/leksehjelper

Slik kan du hjelpe

Lag konkrete hverdagseksempler med to ukjente, f.eks. 'to billetter og tre snacks kostet 100 kr, tre billetter og to snacks kostet 110 kr' – hva koster hver?
Ved addisjonsmetoden: la eleven fysisk skrive likningene rett under hverandre på papir, med lik plassering av x- og y-leddene.
Bruk GeoGebra eller lignende sammen for å tegne begge linjene og se skjæringspunktet visuelt, som en kontroll av det algebraiske svaret.

Nye begreper

Likningssystem: To likninger med samme ukjente, som løses sammen.
Addisjonsmetoden: Å legge sammen eller trekke fra likninger for å fjerne én ukjent.

Pedagogikken bak

Den grafiske tolkningen (skjæringspunkt) er den mest intuitive inngangen til likningssystemer, og bør introduseres FØR de to algebraiske metodene – det gir elevene en visuell forståelse av HVA de faktisk leter etter, før de lærer HVORDAN de finner det uten å tegne. Bruk gjerne begge algebraiske metoder på samme system, slik at elevene ser at de gir identisk svar.