Faktorisering og kvadratsetninger

1TTall og algebra

Å utvide (x + 3)² ledd for ledd fungerer, men det finnes raskere snarveier. **Kvadratsetningene** og **konjugatsetningen** er faste mønstre du kan bruke direkte – både til å utvide uttrykk, og til å gå motsatt vei: å faktorisere et utvidet uttrykk tilbake til faktorer.

Forkunnskaper: Algebraiske uttrykk, Likninger og ulikheter

Teori

Kvadratsetningene

Kvadratsetningene er faste mønstre for å utvide et uttrykk i andre potens. I stedet for å gange ut ledd for ledd hver gang, kan du sette rett inn i formelen.

Første kvadratsetning

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Andre kvadratsetning

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Konjugatsetningen

Konjugatsetningen lar deg utvide et produkt av en sum og en differanse av de samme to leddene. Legg merke til at det midterste leddet forsvinner helt – du står igjen med bare differansen mellom to kvadrater.

Konjugatsetningen

(a + b)(a − b) = a² − b²

Metode

Bruke kvadratsetningene og konjugatsetningen

Utvide med kvadratsetningene

Kvadratsetningene lar deg utvide (a + b)² og (a − b)² direkte, uten å gange ut ledd for ledd.

Første kvadratsetning

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Andre kvadratsetning

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Eksempel: Utvide (x+3)²

Oppgave: Utvid (x + 3)².

Løsning: (x + 3)² = x² + 2 * x * 3 + 3² = x² + 6x + 9.

Tips

Husk rekkefølgen: kvadratet av FØRSTE ledd, pluss (eller minus) to ganger produktet av leddene, pluss kvadratet av ANDRE ledd.

Oppgaver

Utvid (x+5)².

Vis fasit

x² + 2*x*5 + 5² = x² + 10x + 25

Utvid (x-4)².

Vis fasit

x² − 2*x*4 + 4² = x² − 8x + 16

Utvid (2x+3)².

Vis fasit

(2x)² + 2*2x*3 + 3² = 4x² + 12x + 9

Utvide med konjugatsetningen

Konjugatsetningen brukes når du ganger sammen en sum og en differanse av de samme to leddene – det midterste leddet forsvinner alltid, og du står igjen med kun differansen av to kvadrater.

Konjugatsetningen

(a + b)(a − b) = a² − b²

Eksempel: Utvide (x+6)(x-6)

Oppgave: Utvid (x + 6)(x − 6).

Løsning: (x + 6)(x − 6) = x² − 6² = x² − 36.

Tips

Sjekk at uttrykket faktisk er på formen (a+b)(a−b), altså samme to ledd med motsatt fortegn i midten – da vet du at svaret blir a² − b² uten mellomledd.

Oppgaver

Utvid (x+8)(x-8).

Vis fasit

x² − 8² = x² − 64

Utvid (x+10)(x-10).

Vis fasit

x² − 10² = x² − 100

Utvid (3x+2)(3x-2).

Vis fasit

(3x)² − 2² = 9x² − 4

Faktorisere med kvadratsetningene og konjugatsetningen

Faktorisering er å gå MOTSATT vei: gjenkjenne at et utvidet uttrykk kommer fra en av setningene, og skrive det tilbake på faktorisert form.

Eksempel: Faktorisere x² + 8x + 16

Oppgave: Faktoriser x² + 8x + 16.

Løsning: x² og 16 er kvadrattall (x² og 4²), og 8x = 2 * x * 4. Dette er kvadratsetningen: x² + 8x + 16 = (x + 4)².

Tips

Sjekk om det første og siste leddet er kvadrattall, og om det midterste leddet stemmer med 2 * roten av første * roten av siste – da kan du bruke kvadratsetningen baklengs.

Oppgaver

Faktoriser x² - 49 med konjugatsetningen.

Vis fasit

x² − 49 = x² − 7² = (x+7)(x−7)

Faktoriser x² - 100.

Vis fasit

x² − 100 = x² − 10² = (x+10)(x−10)

Faktoriser x² - 10x + 25.

Vis fasit

10x = 2*x*5, 25 = 5²
(x−5)²

Vanlige feil

Vanlig feil	Gjør heller dette
Å glemme det midterste leddet (2ab) ved utvidelse av kvadratsetningene, og bare skrive a² + b².	(a + b)² har ALLTID tre ledd: a² + 2ab + b² – ikke glem det midterste leddet 2ab.
Å blande fortegn i (a − b)², og skrive det midterste leddet som positivt.	I (a − b)² blir det midterste leddet NEGATIVT: a² − 2ab + b².
Å tro konjugatsetningen gir tre ledd, akkurat som kvadratsetningene.	Konjugatsetningen (a+b)(a−b) gir kun TO ledd: a² − b² – det midterste leddet kansellerer alltid ut.
Å prøve å faktorisere en SUM av kvadrater (a² + b²) med konjugatsetningen.	Konjugatsetningen fungerer kun på en DIFFERANSE av kvadrater (a² − b²). En sum av kvadrater kan ikke faktoriseres på denne måten.

Sammendrag

(a + b)² = a² + 2ab + b². (a − b)² = a² − 2ab + b².
(a + b)(a − b) = a² − b² (konjugatsetningen) – det midterste leddet forsvinner alltid.
Faktorisering går motsatt vei: gjenkjenn mønsteret i et utvidet uttrykk, og skriv det som faktorer.
Konjugatsetningen fungerer kun på en differanse av kvadrater, ikke en sum.

Sjekk din forståelse

1. Utvid (x+5)².

2. Utvid (x-4)².

3. Utvid (x+6)(x-6).

4. Faktoriser x² + 8x + 16 med kvadratsetningen.

5. Faktoriser x² - 49 med konjugatsetningen.

6. Hva er det midterste leddet når du utvider (a+b)²?

7. Hva er det midterste leddet når du utvider (a-b)²?

8. Hvor mange ledd får du når du utvider konjugatsetningen (a+b)(a-b)?

9. Utvid (2x+3)².

10. Faktoriser x² - 100.

Hva bygger dette videre til: Andregradslikninger

Videoer

Ordliste

Kvadratsetning: Fast mønster for å utvide (a+b)² eller (a−b)².
Konjugatsetning: Fast mønster for å utvide (a+b)(a−b) = a² − b².
Faktorisere: Å skrive et uttrykk som et produkt av faktorer, i stedet for utvidet form.

Til foreldre/leksehjelper

Slik kan du hjelpe

La eleven verifisere kvadratsetningene ved å gange ut ledd for ledd (FOIL) på noen enkle eksempler, for å se at snarveien faktisk stemmer.
Øv på å gjenkjenne mønstrene visuelt: 'er første og siste ledd kvadrattall? stemmer midterste ledd med formelen?'
Sjekk svar ved innsetting av et konkret tall for x på begge sider av likhetstegnet – det avslører raskt om utvidelsen er riktig.

Nye begreper

Kvadratsetning: Snarvei for å utvide (a+b)² eller (a−b)² uten å gange ut ledd for ledd.
Konjugatsetning: Snarvei for å utvide (a+b)(a−b) til a² − b².

Pedagogikken bak

Kvadratsetningene bør introduseres som en SNARVEI for noe elevene allerede kan gjøre (gange ut ledd for ledd), ikke som en ny, isolert regel. La elevene selv oppdage mønsteret ved å gange ut noen få eksempler manuelt før formelen presenteres – det gjør formelen meningsfull i stedet for vilkårlig.