Andregradslikninger
Noen likninger kan ikke løses ved å bare legge til eller dele på begge sider – som x² − 5x + 6 = 0, der x er opphøyd i andre. For slike **andregradslikninger** finnes det en egen formel som alltid fungerer: andregradsformelen (ofte kalt "abc-formelen").
Forkunnskaper: Faktorisering og kvadratsetninger
Teori
Hva er en andregradslikning
En andregradslikning har formen ax² + bx + c = 0, der a ≠ 0. Navnet kommer av at den høyeste potensen av x er 2 (andre grad). I motsetning til lineære likninger kan en andregradslikning ha null, én eller to løsninger.
Andregradslikning
ax² + bx + c = 0, der a ≠ 0
Andregradsformelen
Enhver andregradslikning kan løses med andregradsformelen (ofte kalt "abc-formelen"), uansett om uttrykket lar seg faktorisere pent eller ikke. Sett inn verdiene for a, b og c, og regn ut begge løsningene (pluss- og minus-varianten under ±).
Andregradsformelen (abc-formelen)
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Diskriminanten
Uttrykket under rottegnet i andregradsformelen, b² − 4ac, kalles diskriminanten. Den forteller deg HVOR MANGE løsninger likningen har, før du i det hele tatt regner ut selve løsningene: positiv diskriminant gir to løsninger, null gir én (dobbel) løsning, og negativ diskriminant gir ingen reelle løsninger.
Diskriminanten
b² − 4ac
Metode
Løse andregradslikninger
Andregradsformelen
Enhver andregradslikning ax² + bx + c = 0 kan løses med andregradsformelen. Sett inn verdiene for a, b og c, og regn ut begge løsningene (pluss- og minus-varianten).
Andregradsformelen (abc-formelen)
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Eksempel: Løse 2x² − 3x − 2 = 0
Oppgave: Løs 2x² − 3x − 2 = 0.
Løsning: a = 2, b = −3, c = −2. Diskriminant: (−3)² − 42(−2) = 9 + 16 = 25. x = (3 ± √25) / 4 = (3 ± 5) / 4. Dette gir x₁ = 8/4 = 2 og x₂ = −2/4 = −0,5.
Tips
- Ikke glem ± i formelen! Så lenge diskriminanten er positiv, finnes det ALLTID to løsninger – husk å regne ut begge, ikke bare den ene.
Oppgaver
Løs x² − 5x + 6 = 0. Oppgi den STØRSTE løsningen.
Vis fasit
- a=1,b=−5,c=6. x=(5±√(25−24))/2=(5±1)/2
- x=3 eller x=2. Størst: 3
Løs x² − 5x + 6 = 0. Oppgi den MINSTE løsningen.
Vis fasit
- x=(5±1)/2
- x=3 eller x=2. Minst: 2
Løs x² + 2x − 8 = 0. Oppgi den STØRSTE løsningen.
Vis fasit
- a=1,b=2,c=−8. x=(−2±√(4+32))/2=(−2±6)/2
- x=2 eller x=−4. Størst: 2
Diskriminanten og antall løsninger
Regn ut diskriminanten FØR du eventuelt tar kvadratroten videre. Fortegnet på diskriminanten forteller deg med én gang hvor mange løsninger likningen har.
Diskriminanten
b² − 4ac
Eksempel: Sjekke diskriminanten
Oppgave: Hvor mange løsninger har x² + 4x + 5 = 0?
Løsning: Diskriminant: 4² − 415 = 16 − 20 = −4. Diskriminanten er negativ, så likningen har ingen reelle løsninger.
Tips
- Regn alltid ut diskriminanten først og sjekk fortegnet, før du går videre til hele formelen – det sparer deg for unødvendig arbeid hvis svaret blir at det ikke finnes noen reelle løsninger.
Oppgaver
Hvor mange løsninger har x² − 6x + 9 = 0? (Svar med tall: 0, 1 eller 2)
Vis fasit
Diskriminant: 36 − 36 = 0, altså én (dobbel) løsning
Hvor mange løsninger har x² + x + 1 = 0? (Svar med tall: 0, 1 eller 2)
Vis fasit
Diskriminant: 1 − 4 = −3, negativ, altså ingen reelle løsninger
Hvor mange løsninger har x² − 4 = 0? (Svar med tall: 0, 1 eller 2)
Vis fasit
Diskriminant: 0 − 4*1*(−4) = 16, positiv, altså to løsninger
Nullpunktfaktorisering
Har andregradsuttrykket ax² + bx + c nullpunktene x₁ og x₂, kan det skrives som et produkt. Dette kobler sammen andregradslikninger og faktorisering fra forrige kapittel.
Nullpunktfaktorisering
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
Eksempel: Faktorisere med nullpunktene
Oppgave: Faktoriser x² − 5x + 6 ved hjelp av nullpunktene.
Løsning: Andregradsformelen gir nullpunktene x₁ = 3 og x₂ = 2. Uttrykket kan da skrives x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).
Tips
- Kontroller svaret ved å gange ut (x − x₁)(x − x₂) igjen – det skal gi tilbake det opprinnelige uttrykket.
Oppgaver
Faktoriser x² + 2x − 8 ved hjelp av nullpunktene (x=2 og x=−4).
Vis fasit
Nullpunktene er 2 og −4, så uttrykket er (x−2)(x−(−4)) = (x−2)(x+4)
Faktoriser x² − 6x + 9 ved hjelp av nullpunktet (dobbel løsning x=3).
Vis fasit
Dobbel løsning x=3 gir (x−3)(x−3) = (x−3)²
Faktoriser x² − 4 ved hjelp av nullpunktene (x=2 og x=−2).
Vis fasit
Nullpunktene er 2 og −2, så uttrykket er (x−2)(x+2)
Vanlige feil
| Vanlig feil | Gjør heller dette |
|---|---|
| Å glemme ± i andregradsformelen, og bare skrive den ene løsningen. | Så lenge diskriminanten er positiv, finnes det ALLTID to løsninger – regn ut både pluss- og minus-varianten. |
| Å bytte om fortegn på b når man setter inn i formelen, spesielt når b i seg selv er negativ. | Skriv opp a, b og c med riktig fortegn FØR du setter dem inn i formelen – sett gjerne parentes rundt negative verdier. |
| Å tro en negativ diskriminant betyr at man har regnet feil, i stedet for at det rett og slett ikke finnes reelle løsninger. | En negativ diskriminant er et gyldig svar i seg selv – det betyr at likningen ikke har noen reelle løsninger, ikke at utregningen er feil. |
| Å glemme å dele HELE telleren (−b ± √...) på 2a, og bare dele rot-delen. | Hele uttrykket −b ± √(b²−4ac) skal deles på 2a – ikke bare kvadratroten, men også −b. |
Sammendrag
- En andregradslikning har formen ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), og kan ha 0, 1 eller 2 løsninger.
- Andregradsformelen: x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a).
- Diskriminanten b² − 4ac forteller antall løsninger: positiv → 2, null → 1, negativ → 0.
- Nullpunktene x₁, x₂ gir nullpunktfaktorisering: ax² + bx + c = a(x−x₁)(x−x₂).
Sjekk din forståelse
1. Løs x² − 5x + 6 = 0. Hva er den største løsningen?
x = (5 ± 1) / 2 gir x = 3 eller x = 2. Størst er 3.
2. Hva kalles uttrykket b² − 4ac i andregradsformelen?
b² − 4ac kalles diskriminanten, og forteller hvor mange løsninger likningen har.
3. Diskriminanten til en andregradslikning er negativ. Hvor mange reelle løsninger har likningen?
Negativ diskriminant betyr at det ikke finnes noen reelle løsninger.
4. Diskriminanten til en andregradslikning er 0. Hvor mange løsninger har likningen?
Diskriminant lik 0 gir nøyaktig én (dobbel) løsning.
5. Løs x² + 2x − 8 = 0. Hva er den minste løsningen?
x = (−2 ± 6) / 2 gir x = 2 eller x = −4. Minst er −4.
6. Regn ut diskriminanten til x² − 4x + 4 = 0.
b² − 4ac = 16 − 16 = 0.
7. Regn ut diskriminanten til x² − 4 = 0, skrevet som b² − 4ac.
a=1, b=0, c=−4. Diskriminant: 0² − 4*1*(−4) = 16.
8. En andregradslikning har nullpunktene x=3 og x=2. Hvordan faktoriseres uttrykket x² − 5x + 6?
Nullpunktfaktorisering: a(x−x₁)(x−x₂) = (x−3)(x−2).
9. Hva må ALLTID sjekkes før du setter i gang med hele andregradsformelen?
Andregradsformelen krever a ≠ 0 – ellers er det ikke en andregradslikning i det hele tatt.
10. Hvilken formel er andregradsformelen (abc-formelen)?
Andregradsformelen: x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a).
Hva bygger dette videre til: Likningssystemer