Trigonometri

1TGeometri

Pytagoras' setning fungerer bare i rettvinklede trekanter. Men de fleste trekanter i den virkelige verden – i navigasjon, oppmåling og konstruksjon – har ingen rett vinkel. **Trigonometri** gir deg verktøyene til begge deler: sinus, cosinus og tangens for rettvinklede trekanter, og sinussetningen, cosinussetningen og arealsetningen for alle andre trekanter.

Forkunnskaper: Pytagoras' setning

Teori

Sinus, cosinus og tangens i en rettvinklet trekant

For en spiss vinkel v i en rettvinklet trekant er de tre trigonometriske forholdene definert ut fra sidene sett fra vinkelen. Disse forholdene er alltid de samme for en gitt vinkel, uansett hvor stor trekanten er.

Sinus

sin(v) = motstående katet / hypotenus

Cosinus

cos(v) = hosliggende katet / hypotenus

Tangens

tan(v) = motstående katet / hosliggende katet = sin(v)/cos(v)

Vinkel 30°: sin(30°) = 5/10 = 0,5

Vilkårlige trekanter: arealsetningen, sinussetningen og cosinussetningen

sin, cos og tan slik de er definert over gjelder KUN i rettvinklede trekanter. For en trekant ABC uten rett vinkel, med sider a, b og c (motstående henholdsvis hjørne A, B og C), trenger vi tre nye setninger i stedet. I arealsetningen er C vinkelen MELLOM sidene a og b. Alle tre kan bevises ut fra én og samme hjelpelinje: høyden fra hjørne B ned til siden AC.

Arealsetningen

Areal = ½·a·b·sin(C)

Sinussetningen

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Cosinussetningen

c² = a² + b² − 2ab·cos(C)

Metode

Rettvinklet trigonometri

Finne en side med sinus, cosinus eller tangens

Avgjør hvilket forhold (sin, cos eller tan) som knytter sammen den kjente vinkelen, den kjente siden og den ukjente siden, og løs for den ukjente.

Eksempel: Finne motstående katet

Oppgave: En rettvinklet trekant har hypotenus 10 og en vinkel på 30°. Finn den motstående kateten.

Løsning: sin(30°) = motstående/10. Løs for motstående: motstående = 10 * sin(30°) = 10 * 0,5 = 5.

Tips

Spør deg selv: er den kjente og den ukjente siden hypotenusen og en katet (bruk sin eller cos), eller to kateter (bruk tan)?

Oppgaver

En rettvinklet trekant har hypotenus 20 og en vinkel på 30°. Hva er den motstående kateten?

Vis fasit

sin(30°) * 20 = 0,5 * 20 = 10

En rettvinklet trekant har hypotenus 8 og en vinkel på 60° (cos(60°)=0,5). Hva er den hosliggende kateten?

Vis fasit

cos(60°) * 8 = 0,5 * 8 = 4

En rettvinklet trekant har hosliggende katet 6 og en vinkel på 45° (tan(45°)=1). Hva er motstående katet?

Vis fasit

tan(45°) = motstående/hosliggende = 1, så motstående = hosliggende = 6

Finne en vinkel med invers trigonometrisk funksjon

Når du kjenner to sider i en rettvinklet trekant, finner du vinkelen ved å regne ut forholdet mellom sidene og deretter bruke den inverse funksjonen (sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹) på kalkulatoren.

Eksempel: Finne en vinkel

Oppgave: En rettvinklet trekant har motstående katet 5 og hypotenus 10. Finn vinkelen v.

Løsning: sin(v) = 5/10 = 0,5. Bruk den inverse funksjonen: v = sin⁻¹(0,5) = 30°.

Tips

Sjekk at kalkulatoren står i modus for GRADER (ikke radianer) før du regner ut inverse trigonometriske funksjoner.

Oppgaver

En rettvinklet trekant har motstående katet 6 og hypotenus 12. Hva er vinkelen v (i grader)?

Vis fasit

sin(v) = 6/12 = 0,5, v = sin⁻¹(0,5) = 30°

tan(v) = 1. Hva er vinkelen v (i grader)?

Vis fasit

v = tan⁻¹(1) = 45°

cos(v) = 0,5. Hva er vinkelen v (i grader)?

Vis fasit

v = cos⁻¹(0,5) = 60°

Vilkårlige trekanter

Bruke arealsetningen

C er vinkelen MELLOM sidene a og b. Denne setningen fungerer for ALLE trekanter, ikke bare rettvinklede – du trenger ikke vite høyden på forhånd.

Arealsetningen

Areal = ½·a·b·sin(C)

Eksempel: Finne arealet med to sider og mellomliggende vinkel

Oppgave: En trekant har a=7 og b=10, med vinkel C=55° mellom dem. Finn arealet.

Løsning: Areal = ½ * 7 * 10 * sin(55°) ≈ ½ * 70 * 0,819 ≈ 28,7.

Tips

Pass på at vinkelen du setter inn faktisk ligger MELLOM de to sidene du bruker – ellers stemmer ikke formelen.

Oppgaver

En trekant har a=8 og b=5, med vinkel C=90° mellom dem (sin(90°)=1). Hva er arealet?

Vis fasit

½ * 8 * 5 * 1 = 20

En trekant har a=6 og b=6, med vinkel C=30° mellom dem (sin(30°)=0,5). Hva er arealet?

Vis fasit

½ * 6 * 6 * 0,5 = 9

Arealsetningen er Areal = ½·a·b·sin(C). Hvilken vinkel må stå MELLOM sidene a og b for at formelen skal stemme?

Vis fasit

Vinkelen C er nettopp vinkelen mellom sidene a og b

Bruke sinussetningen

Bruk denne når du kjenner ett "par" (en side og dens motstående vinkel) pluss én side eller vinkel til – da kan du finne resten.

Sinussetningen

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Eksempel: Finne en side med sinussetningen

Oppgave: En trekant har a=10, vinkel A=40°, og vinkel B=70°. Finn siden b.

Løsning: a/sin(A) = b/sin(B), så b = a * sin(B)/sin(A) = 10 * sin(70°)/sin(40°) ≈ 10 * 0,940/0,643 ≈ 14,6.

Tips

Sett bare opp den delen av likheten som faktisk inneholder kjente og ukjente størrelser – du trenger sjelden alle tre brøkene samtidig.

Oppgaver

a/sin(A) = b/sin(B). a=8, vinkel A=30°, vinkel B=90° (sin(90°)=1). Hva er b (avrundet til nærmeste heltall)?

Vis fasit

b = 8 * 1/0,5 = 16

I en trekant er a=12 og vinkel A=90°, vinkel C=30° (sin(30°)=0,5). Hva er c (avrundet til nærmeste heltall)?

Vis fasit

c = 12 * 0,5/1 = 6

Hvilke to størrelser danner et 'par' i sinussetningen?

Vis fasit

Siden a hører sammen med vinkel A, siden b med vinkel B, og siden c med vinkel C

Bruke cosinussetningen

Bruk denne når du kjenner to sider og vinkelen MELLOM dem, for å finne den tredje siden – eller når du kjenner alle tre sidene, for å finne en vinkel.

Cosinussetningen

c² = a² + b² − 2ab·cos(C)

Eksempel: Finne en side med cosinussetningen

Oppgave: En trekant har a=7 og b=10, med vinkel C=55° mellom dem. Finn siden c.

Løsning: c² = 7² + 10² − 2710cos(55°) = 49 + 100 − 1400,574 ≈ 68,6. c = √68,6 ≈ 8,3.

Tips

Sett C = 90° inn i cosinussetningen: siden cos(90°) = 0, forsvinner det siste leddet, og du står igjen med akkurat Pytagoras' setning (c² = a² + b²). Cosinussetningen er altså en generalisering av Pytagoras til trekanter uten rett vinkel.

Oppgaver

En trekant har a=3 og b=4, med vinkel C=90° mellom dem (cos(90°)=0). Hva er c²?

Vis fasit

3² + 4² − 2*3*4*cos(90°) = 9 + 16 − 0 = 25 (gjenkjenner du Pytagoras?)

Fra forrige oppgave: c² = 25. Hva er c?

Vis fasit

√25 = 5

Cosinussetningen er c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Hvilken kjent setning får du hvis C = 90° (cos(90°)=0)?

Vis fasit

Da forsvinner siste ledd, og du står igjen med c² = a² + b²

Vanlige feil

Vanlig feil	Gjør heller dette
Å bruke sin/cos/tan (rettvinklet trigonometri) direkte på en trekant uten rett vinkel.	For trekanter UTEN rett vinkel, bruk i stedet sinussetningen, cosinussetningen eller arealsetningen – sin/cos/tan slik de er definert gjelder kun i rettvinklede trekanter.
Å sette inn feil vinkel i arealsetningen – en vinkel som ikke ligger mellom de to sidene som brukes.	Vinkelen i Areal = ½·a·b·sin(C) MÅ være vinkelen mellom nettopp sidene a og b. Bruker du en annen vinkel, blir svaret feil.
Å glemme å ta kvadratroten til slutt når du bruker cosinussetningen, og stoppe ved c² i stedet for c.	Cosinussetningen gir deg c² direkte. Du må ta kvadratroten av svaret for å finne selve siden c.
Å blande sammen hvilken side som hører til hvilken vinkel i sinussetningen.	Side a er alltid MOTSTÅENDE vinkel A, side b er motstående vinkel B, og side c er motstående vinkel C – sjekk denne koblingen før du setter opp likningen.

Sammendrag

I en rettvinklet trekant: sin(v) = motstående/hypotenus, cos(v) = hosliggende/hypotenus, tan(v) = motstående/hosliggende = sin(v)/cos(v).
For trekanter UTEN rett vinkel: arealsetningen (Areal = ½ab·sin(C)), sinussetningen (a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)), og cosinussetningen (c² = a² + b² − 2ab·cos(C)).
Cosinussetningen med C = 90° gir nettopp Pytagoras' setning – en generalisering, ikke et helt nytt verktøy.
Bruk sinussetningen når du har et 'par' (side + motstående vinkel). Bruk cosinussetningen når du har to sider og mellomliggende vinkel, eller alle tre sidene.

Sjekk din forståelse

1. sin(v) = motstående katet / hypotenus. Hva er cos(v)?

2. En rettvinklet trekant har hypotenus 20 og en vinkel på 30°. Hva er den motstående kateten?

3. Kan sin, cos og tan (slik de er definert i rettvinklet trigonometri) brukes direkte på en trekant UTEN rett vinkel?

4. Hva sier arealsetningen?

5. En trekant har a=8 og b=5, med vinkel C=90° mellom dem. Hva er arealet?

6. Hva sier sinussetningen?

7. Hva sier cosinussetningen?

8. Cosinussetningen med C = 90° gir c² = a² + b² (siden cos(90°)=0). Hvilken kjent setning er dette?

9. En trekant har a=3 og b=4, med vinkel C=90° mellom dem. Hva er c² med cosinussetningen (cos(90°)=0)?

10. Hvilken side i en trekant ABC er motstående vinkel B?

Hva bygger dette videre til: Derivasjon

Videoer

Ordliste

Sinus, cosinus, tangens: Forhold mellom sidene i en rettvinklet trekant, definert ut fra en spiss vinkel.
Arealsetningen: Areal = ½·a·b·sin(C), der C er vinkelen mellom sidene a og b. Gjelder for alle trekanter.
Sinussetningen: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Gjelder for alle trekanter.
Cosinussetningen: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Gjelder for alle trekanter, og er en generalisering av Pytagoras' setning.

Til foreldre/leksehjelper

Slik kan du hjelpe

Sjekk sammen at kalkulatoren står i GRADER-modus, ikke radianer – en vanlig og forvirrende feilkilde.
Bruk en trekant tegnet på papir og la eleven merke av hvilken katet som er 'motstående' og hvilken som er 'hosliggende' i forhold til den aktuelle vinkelen, for hver oppgave.
Vis eksplisitt at cosinussetningen blir Pytagoras' setning når vinkelen er 90° – det gjør formelen mindre skremmende og lettere å huske.

Nye begreper

Sinussetningen: En sammenheng mellom sidene og vinklene i en trekant: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C).
Cosinussetningen: En generalisering av Pytagoras' setning til trekanter uten rett vinkel.

Pedagogikken bak

Kapittelet er bevisst bygget opp fra det kjente (rettvinklet trigonometri, som bygger direkte videre på Pytagoras' setning fra ungdomsskolen) til det nye (vilkårlige trekanter). Cosinussetningen introduseres eksplisitt som en generalisering av Pytagoras, ikke som en isolert formel å pugge – elever som ser denne sammenhengen har et konkret holdepunkt (C=90°) å sjekke formelen sin mot, i stedet for å måtte stole blindt på memorering.