Potens- og eksponentialfunksjoner
Hva er forskjellen mellom å doble et beløp hvert år, og å legge til et fast beløp hvert år? Begge gir vekst – men på svært forskjellige måter. I dette kapittelet møter du to nye funksjonstyper: **potensfunksjoner** (f(x) = a·xⁿ, der eksponenten n er FAST) og **eksponentialfunksjoner** (f(x) = a·bˣ, der eksponenten x VARIERER). Å skille disse to fra hverandre er nøkkelen til hele kapittelet.
Forkunnskaper: Andregradsfunksjoner, Personlig økonomi
Teori
Hva er en potensfunksjon
En potensfunksjon har formen f(x) = a·xⁿ, der eksponenten n er et FAST tall. Andregradsfunksjonen f(x) = x² fra forrige kapittel er faktisk et spesialtilfelle av en potensfunksjon, med n = 2. Er n = 1, får du en rett linje gjennom origo. Er n et oddetall (3, 5, ...), får grafen en helt annen form enn ved partall-eksponenter. n trenger ikke engang være et helt tall – en rotfunksjon som f(x) = √x er også en potensfunksjon, med n = 1/2.
Potensfunksjon
f(x) = a·xⁿ, der n er et fast tall
Hva er en eksponentialfunksjon
En eksponentialfunksjon har formen f(x) = a·bˣ, der GRUNNTALLET b er fast og x er eksponenten som varierer. a er startverdien (y-skjæringspunktet, siden b⁰ = 1 gir f(0) = a). Er b > 1, VOKSER funksjonen – jo større x, jo raskere øker verdien. Er 0 < b < 1, AVTAR funksjonen mot null uten noen gang å bli negativ. Dette er den samme matematikken som ligger bak rentesrente-regningen fra Personlig økonomi: vekstfaktoren b tilsvarer nettopp 1 + rentesatsen.
Eksponentialfunksjon
f(x) = a·bˣ, der b > 0 og b ≠ 1
Metode
Potensfunksjoner
Regne ut funksjonsverdier for en potensfunksjon
Sett x-verdien inn i uttrykket a·xⁿ, og regn ut – husk potensregelen for hvilken rekkefølge du opphøyer og ganger i.
Eksempel: Regne ut f(3) for en potensfunksjon
Oppgave: f(x) = 2x³. Hva er f(3)?
Løsning: Regn ut 3³ først: 3³ = 27. Gang deretter med a = 2: f(3) = 2 * 27 = 54.
Tips
- Regn ut xⁿ FØRST, og gang med a til slutt – ikke gang a og x sammen før du opphøyer.
Oppgaver
f(x) = 3x². Hva er f(2)?
Vis fasit
3 * 2² = 3 * 4 = 12
f(x) = x⁴. Hva er f(2)?
Vis fasit
2⁴ = 16
f(x) = 0,5x³. Hva er f(4)?
Vis fasit
0,5 * 4³ = 0,5 * 64 = 32
Sammenligne vekstfart for ulike eksponenter n
Jo større eksponenten n er, jo raskere vokser potensfunksjonen når x blir stor. For x mellom 0 og 1 er det motsatt: da gir en STØRRE eksponent et MINDRE tall.
Eksempel: Sammenligne x² og x³
Oppgave: Hva er størst av 2² og 2³?
Løsning: 2² = 4, mens 2³ = 8. Ved x = 2 er potensfunksjonen med den høyeste eksponenten (n = 3) størst.
Tips
- Test med et konkret tall (f.eks. x = 2 eller x = 0,5) hvis du er usikker på hvilken funksjon som vokser raskest.
Oppgaver
Hva er størst av 3² og 3³?
Vis fasit
3² = 9, 3³ = 27, og 27 > 9
Hva er størst av 0,5² og 0,5³?
Vis fasit
0,5² = 0,25, 0,5³ = 0,125, og 0,25 > 0,125
f(x) = x⁵ og g(x) = x². Hvilken funksjon vokser raskest for store x-verdier?
Vis fasit
Høyere eksponent gir raskere vekst når x er stor
Eksponentialfunksjoner
Kjenne igjen vekst og avtagende funksjoner
Se på grunntallet b i f(x) = a·bˣ. Er b > 1, vokser funksjonen. Er 0 < b < 1, avtar funksjonen. b kan aldri være negativ eller null i en eksponentialfunksjon.
Eksempel: Vokser eller avtar funksjonen?
Oppgave: f(x) = 2 · 3ˣ. Vokser eller avtar funksjonen?
Løsning: Grunntallet er b = 3, og 3 > 1. Funksjonen VOKSER, og vokser raskere og raskere jo større x blir.
Tips
- Sammenlign b med tallet 1 – det er ALT du trenger for å avgjøre om funksjonen vokser eller avtar.
Oppgaver
f(x) = 5 · 0,8ˣ. Vokser eller avtar funksjonen?
Vis fasit
b = 0,8, og 0 < 0,8 < 1, så funksjonen avtar
f(x) = 10 · 1,5ˣ. Vokser eller avtar funksjonen?
Vis fasit
b = 1,5 > 1, så funksjonen vokser
f(x) = 4 · 0,25ˣ. Vokser eller avtar funksjonen?
Vis fasit
b = 0,25, og 0 < 0,25 < 1, så funksjonen avtar
Regne ut funksjonsverdier for en avtagende eksponentialfunksjon
Sett x-verdien inn i uttrykket a·bˣ, akkurat som for en voksende eksponentialfunksjon – regelen for utregning er den samme uansett om b er større eller mindre enn 1.
Eksempel: Halveringstid
Oppgave: f(x) = 100 · 0,5ˣ. Hva er f(3)?
Løsning: 0,5³ = 0,125. f(3) = 100 * 0,125 = 12,5.
Tips
- Bruk kalkulator for å regne ut bˣ når x ikke er et lite helt tall.
Oppgaver
f(x) = 100 · 0,5ˣ. Hva er f(1)?
Vis fasit
100 * 0,5¹ = 50
f(x) = 100 · 0,5ˣ. Hva er f(2)?
Vis fasit
100 * 0,5² = 100 * 0,25 = 25
f(x) = 200 · 0,1ˣ. Hva er f(2)?
Vis fasit
200 * 0,1² = 200 * 0,01 = 2
Rentesrente som eksponentialfunksjon
Fra Personlig økonomi husker du at beløpet etter n år med rentesrente er K = K₀ · (1 + p)ⁿ, der p er rentesatsen som desimaltall. Dette ER en eksponentialfunksjon: startbeløpet K₀ er a, vekstfaktoren (1 + p) er b, og antall år n er x.
Eksempel: Rentesrente som funksjon
Oppgave: Du setter inn 1000 kr med 10 % rente per år, med rentesrente. Skriv dette som en eksponentialfunksjon K(n), og finn K(2).
Løsning: Vekstfaktoren er b = 1 + 0,10 = 1,1, så K(n) = 1000 · 1,1ⁿ. K(2) = 1000 * 1,1² = 1000 * 1,21 = 1210 kr.
Tips
- Vekstfaktoren b = 1 + p er alltid større enn 1 så lenge renten p er positiv – rentesrente er derfor alltid en VOKSENDE eksponentialfunksjon.
Oppgaver
Du setter inn 2000 kr med 5 % rente per år, med rentesrente. Hva er vekstfaktoren b?
Vis fasit
b = 1 + 0,05 = 1,05
K(n) = 2000 · 1,05ⁿ. Hva er K(2)?
Vis fasit
2000 * 1,05² = 2000 * 1,1025 = 2205
K(n) = 500 · 1,2ⁿ. Hva er startbeløpet K₀?
Vis fasit
Startbeløpet er a, altså verdien når n = 0
Vanlige feil
| Vanlig feil | Gjør heller dette |
|---|---|
| Å blande sammen potensfunksjoner (a·xⁿ) og eksponentialfunksjoner (a·bˣ). | Se på HVOR bokstaven står. Står den variable størrelsen (x) i grunntallet, er det en potensfunksjon. Står den i eksponenten, er det en eksponentialfunksjon. |
| Å tro alle potensfunksjoner ligner på f(x) = x² (parabelen). | Formen på grafen avhenger sterkt av eksponenten n. Oddetalls-eksponenter, negative eksponenter og brøk-eksponenter gir helt andre kurveformer enn n = 2. |
| Å forveksle b > 1 (vekst) med 0 < b < 1 (avtagende), spesielt når b er skrevet som prosent. | Skriv alltid om til desimaltall og sammenlign direkte med 1. Er b > 1, vokser funksjonen. Er b < 1 (men positiv), avtar den. |
| Å tro at a i f(x) = a·bˣ er vekstfaktoren. | a er STARTVERDIEN (y-skjæringspunktet), ikke vekstfaktoren. Det er b som avgjør om funksjonen vokser eller avtar. |
Sammendrag
- Potensfunksjon: f(x) = a·xⁿ, der eksponenten n er FAST. Eksponentialfunksjon: f(x) = a·bˣ, der grunntallet b er fast og x varierer.
- For eksponentialfunksjoner: b > 1 gir vekst, 0 < b < 1 gir avtagende funksjon. a er alltid startverdien (y-skjæringspunktet).
- Andregradsfunksjonen f(x) = x² er et spesialtilfelle av en potensfunksjon, med n = 2.
- Rentesrente K = K₀ · (1 + p)ⁿ er en eksponentialfunksjon, med vekstfaktor b = 1 + p.
Sjekk din forståelse
1. f(x) = 5x³ – er dette en potensfunksjon eller en eksponentialfunksjon?
Den variable størrelsen x står i grunntallet, med fast eksponent 3 – dette er en potensfunksjon.
2. f(x) = 5 · 3ˣ – er dette en potensfunksjon eller en eksponentialfunksjon?
Den variable størrelsen x står i eksponenten, med fast grunntall 3 – dette er en eksponentialfunksjon.
3. f(x) = 2x³. Hva er f(3)?
2 * 27 er riktig utregning satt opp, men ikke regnet ferdig ut: det blir 54.
4. f(x) = 4 · 0,5ˣ. Vokser eller avtar funksjonen?
Grunntallet b = 0,5, og 0 < 0,5 < 1, så funksjonen avtar.
5. f(x) = 4 · 1,2ˣ. Vokser eller avtar funksjonen?
Grunntallet b = 1,2 > 1, så funksjonen vokser.
6. f(x) = 100 · 0,5ˣ. Hva er f(2)?
100 * 0,5² = 100 * 0,25 = 25.
7. K(n) = 1000 · 1,1ⁿ beskriver rentesrente. Hva tilsvarer tallet 1,1 i denne sammenhengen?
1,1 = 1 + 0,10, altså vekstfaktoren for 10 % rente – dette er b i eksponentialfunksjonen.
8. Er f(x) = x^(1/2) (kvadratroten av x) en potensfunksjon?
Eksponenten n = 1/2 er fast, selv om den ikke er et helt tall – dette er fortsatt en potensfunksjon.
9. Hva er startverdien a i eksponentialfunksjonen f(x) = 7 · 2ˣ?
a er tallet foran grunntallet – startverdien når x = 0, siden 2⁰ = 1.
10. Kan grunntallet b i en eksponentialfunksjon være negativt?
b må alltid være positivt (og ulikt 1) for at f(x) = a·bˣ skal være en veldefinert eksponentialfunksjon for alle x.
Hva bygger dette videre til: Polynomfunksjoner og polynomdivisjon